Odwrotna odległość

W geometrii odwrotnej odległość odwrotna jest sposobem pomiaru „ odległości ” między dwoma okręgami , niezależnie od tego, czy okręgi przecinają się, są styczne do siebie, czy też są rozłączne.

Nieruchomości

Odległość odwrotna pozostaje niezmieniona, jeśli koła są odwrócone lub przekształcone przez transformację Möbiusa . Jedna para kół może zostać przekształcona w inną parę za pomocą transformacji Möbiusa wtedy i tylko wtedy, gdy obie pary mają tę samą odległość odwrotną.

Analogia twierdzenia Beckmana – Quarlesa jest $,$ dla odległości odwrotnej: jeśli bijekcja zbioru okręgów na płaszczyźnie odwrotnej zachowuje odwrotną odległość między parami okręgów na wybranej ustalonej odległości to to musi być transformacją Möbiusa, która zachowuje wszystkie odległości odwrotne.

Formuła odległości

$\ Displaystyle$ dwóch okręgów na płaszczyźnie euklidesowej z promieniami $}$ odległością między ich środkami odległość odwrotną można zdefiniować za pomocą wzoru $R$

${\ Displaystyle I = {\ Frac {d ^ {2} -r ^ {2} -R ^ {2}} {2rR}}.}$

Ta formuła daje:

• wartość większa niż 1 dla dwóch rozłącznych okręgów,
• wartość 1 dla dwóch okręgów stycznych do siebie i znajdujących się na zewnątrz siebie,
• wartość między -1 a 1 dla dwóch przecinających się okręgów,
  • wartość 0 dla dwóch okręgów przecinających się pod kątem prostym ,
• wartość −1 dla dwóch okręgów stycznych do siebie, jednego wewnątrz drugiego,
• i wartość mniejsza niż -1, gdy jeden okrąg zawiera drugi.

(Niektórzy autorzy definiują bezwzględną odległość inwersyjną jako wartość bezwzględną odległości inwersyjnej).

Niektórzy autorzy modyfikują ten wzór, przyjmując odwrotny cosinus hiperboliczny wartości podanej powyżej, a nie samą wartość. Oznacza to, że zamiast używać liczby $odwrotnej$ , odległość jest definiowana jako liczba $.$ z równaniem

${\ Displaystyle \ delta = \ nazwa operatora {arcosh} (ja).}$

Chociaż przekształcenie odległości odwrotnej w ten sposób komplikuje formułę odległości i uniemożliwia jej zastosowanie do przecinania par okręgów, ma tę zaletę, że (podobnie jak zwykła odległość punktów na prostej) odległość staje się addytywna dla okręgów ołówka kręgów . To znaczy, jeśli trzy koła należą do wspólnego ołówka, to (używając zamiast odległości $parami$ będzie sumą pozostałych dwóch δ {\ $\ delta}$ .

W innych geometriach

Możliwe jest również zdefiniowanie odległości odwrotnej dla okręgów na kuli lub dla okręgów w płaszczyźnie hiperbolicznej .

Aplikacje

łańcuchy Steinera

Łańcuch Steinera dla dwóch rozłącznych okręgów to skończona cykliczna sekwencja dodatkowych okręgów, z których każdy jest styczny do dwóch danych okręgów i do swoich dwóch sąsiadów w łańcuchu. Poryzm Steinera stwierdza, że ​​jeśli dwa koła mają łańcuch Steinera, to mają nieskończenie wiele takich łańcuchów. Łańcuch może owijać się więcej niż raz wokół dwóch okręgów i można go scharakteryzować liczbą wymierną, $której$ jest liczba okręgów w łańcuchu, a mianownikiem jest liczba okrążeń. Wszystkie łańcuchy dla tych samych dwóch kół mają tę samą wartość ${\ displaystyle p}$ . Jeśli odwrotna odległość między dwoma okręgami (po przyjęciu odwrotnego cosinusa hiperbolicznego) wynosi $}$ to można znaleźć za pomocą wzoru ${\ displaystyle \ delta$

${\ Displaystyle p = {\ Frac {\ pi} {\ sin ^ {-1} \ tanh (\ delta / 2)}}.}$

I odwrotnie, każde dwa rozłączne koła, dla których ten wzór daje liczbę wymierną, będą wspierać łańcuch Steinera. Mówiąc bardziej ogólnie, dowolną parę rozłącznych okręgów można przybliżyć dowolnie za $pomocą$ par okręgów, które obsługują łańcuchy Steinera, których są racjonalnymi przybliżeniami wartości tego wzoru dla danych dwóch okręgów.

Opakowania okrągłe

Odległość odwrotna została wykorzystana do zdefiniowania pojęcia upakowania okręgu o odległości odwrotnej : zbiór okręgów taki, że określony podzbiór par okręgów (odpowiadający krawędziom grafu planarnego ) ma określoną odległość odwrotną względem każdego Inny. Ta koncepcja uogólnia upakowania kołowe opisane przez twierdzenie o upakowaniu kołowym , w którym określone pary okręgów są do siebie styczne. Chociaż mniej wiadomo o istnieniu odwrotnych upakowań okręgów niż w przypadku upakowania stycznych okręgów, wiadomo, że jeśli istnieją, można je jednoznacznie określić (aż do transformacji Möbiusa) przez dany maksymalny wykres planarny i zbiór euklidesowy lub hiperboliczny odległości inwersyjne. Tę właściwość sztywności można ogólnie uogólnić na metryki euklidesowe lub hiperboliczne na triangulowanych rozmaitościach z defektami kątowymi w ich wierzchołkach. Jednak w przypadku kolektorów o geometrii sferycznej uszczelnienia te nie są już unikalne. Z kolei opakowania kołowe o odwrotnej odległości zostały użyte do skonstruowania przybliżeń do odwzorowań konforemnych .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Odwrotna odległość” . MathWorld .