Twierdzenie Beltramiego
W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej każda ( pseudo- ) metryka riemannowska określa pewną klasę ścieżek zwaną geodezją . Twierdzenie Beltramiego , nazwane na cześć włoskiego matematyka Eugenio Beltramiego , jest wynikiem odwrotnego problemu określania metryki (pseudo)riemanna na podstawie jej geodezji.
Nietrywialne jest spostrzeżenie, że na dowolnej rozmaitości riemannowskiej o stałej krzywiźnie istnieją gładkie współrzędne, względem których wszystkie geodezyjne niestałe pojawiają się jako linie proste. W przypadku ujemnej krzywizny geometrii hiperbolicznej jest to uzasadnione modelem Beltramiego – Kleina . W przypadku dodatniej krzywizny geometrii sferycznej jest to uzasadnione projekcją gnomoniczną . W języku rzutowej geometrii różniczkowej wykresy te pokazują, że każda rozmaitość Riemanna o stałej krzywiźnie jest lokalnie rzutowo płaska. Mówiąc bardziej ogólnie, każda pseudo-riemanna rozmaitość o stałej krzywiźnie jest lokalnie rzutowo płaska.
Twierdzenie Beltramiego stwierdza coś odwrotnego: każda spójna rozmaitość pseudo-riemanna, która jest lokalnie rzutowo płaska, musi mieć stałą krzywiznę. Przy użyciu rachunku tensorowego dowód jest prosty. Hermann Weyl opisał oryginalny dowód Beltramiego (przeprowadzony w dwuwymiarowym przypadku Riemanna) jako znacznie bardziej skomplikowany. W stosunku do wykresu rzutowo płaskiego istnieją funkcje ρ i takie, że symbole Christoffela przyjmują postać
Bezpośrednie obliczenie pokazuje następnie, że tensor krzywizny Riemanna jest określony wzorem
Z symetrii krzywizny R ijkl + R jikl = 0 wynika, że ∂ i ρ j = ∂ j ρ i . Druga symetria krzywizny R ijkl = R klij , prześledzona po i i l , mówi wtedy, że
gdzie n jest wymiarem rozmaitości. Można bezpośrednio sprawdzić, czy lewa strona jest (lokalnie zdefiniowanym) tensorem Codazziego , używając tylko podanej postaci symboli Christoffela. Z lematu Schura wynika , że g il (∂ i ρ l − ρ i ρ l ) jest stała. Podstawiając powyższą tożsamość do tensora Riemanna, jak podano powyżej, wynika z tego, że dziedzina wykresu ma stałą krzywiznę przekroju - 1 / n g il (∂ i ρ l - ρ i ρ l ) . Poprzez powiązanie rozmaitości ta lokalna stałość implikuje globalną stałość.
Twierdzenie Beltramiego można sformułować w języku map geodezyjnych : jeśli dana jest mapa geodezyjna między rozmaitościami pseudo-riemannowskimi, to jedna rozmaitość ma stałą krzywiznę wtedy i tylko wtedy, gdy druga ma stałą krzywiznę.
Źródła.
- Beltrami, Eugenio (1868). "Teoria fondamentale degli spazii di krzywizny kosztów" . Annali di Matematica Pura ed Applicata . Seria II. 2 (1): 232–255. doi : 10.1007/BF02419615 . JFM 01.0208.03 . S2CID 120773141 .
- do Carmo, Manfredo P. (2016). Różniczkowa geometria krzywych i powierzchni (poprawione i zaktualizowane drugie wydanie oryginalnego wydania z 1976 r.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . MR 3837152 . Zbl 1352.53002 .
- Eisenharta, Luthera Pfahlera (1926). geometria riemannowska . Przedruk w 1997. Princeton: Princeton University Press . doi : 10.1515/9781400884216 . ISBN 0-691-02353-0 . JFM 52.0721.01 .
- Schouten, JA (1954). Rachunek Ricciego. Wprowadzenie do analizy tensorowej i jej zastosowań geometrycznych . Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Tom. 10 (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1923 r.). Berlin – Getynga – Heidelberg: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-12927-2 . ISBN 978-3-540-01805-6 . MR 0066025 . Zbl 0057.37803 .
- Struik, Dirk J. (1961). Wykłady z klasycznej geometrii różniczkowej . Przedruk w 1988 r. (Drugie wydanie oryginalnego wydania z 1950 r.). Londyn: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8 . MR 0939369 . Zbl 0105.14707 .
- Weyl, H. (1921). „Zur Infinitesimalgeometrie: Einordnung der projektiven und der konformen Auffassung” . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 99–112. JFM 48.0844.04 .