Twierdzenie Grunsky'ego

W matematyce twierdzenie Grunsky'ego , za sprawą niemieckiego matematyka Helmuta Grunsky'ego , jest wynikiem złożonej analizy dotyczącej holomorficznych funkcji jednowartościowych określonych na dysku jednostkowym w liczbach zespolonych . Twierdzenie mówi, że jednowartościowa funkcja zdefiniowana na dysku jednostkowym, ustalająca punkt 0, odwzorowuje każdy dysk |z| < r na domenę podobną do gwiazdy dla r ≤ tanh π/4. Największy r dla którego jest to prawdą, nazywa się promieniem podobieństwa funkcji do gwiazdy.

Oświadczenie

Niech f będzie jednowartościową funkcją holomorficzną na jednostkowym dysku D taką, że f (0) = 0. Wtedy dla wszystkich r ≤ tanh π/4 obraz dysku |z| < r jest gwiaździste względem 0, tj. jest niezmienne przy mnożeniu przez liczby rzeczywiste w (0,1).

Nierówność Grunsky'ego

Jeśli f (z) jest jednowartościowe na D z f (0) = 0, to wtedy

${\ Displaystyle \ lewo | \ log {zf ^ {\ liczba pierwsza} (z) \ ponad f (z)} \ prawo | \ równoważnik \ log {1 + | z | \ponad 1-|z|}.}$

Biorąc rzeczywistą i urojoną część logarytmu, implikuje to dwie nierówności

${\ Displaystyle \ lewo | {zf ^ {\ liczba pierwsza} (z) \ ponad f (z)} \ prawo | \ równoważnik {1 + | z | \ponad 1-|z|}}$

I

${\ Displaystyle \ lewo | \ arg {zf ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad f (z)} \ prawo | \ równoważnik \ log {1 + | z | \ponad 1-|z|}.}$

Dla ustalonego z obie te równości są osiągane przez odpowiednie funkcje Koebe

${\ Displaystyle g_ {w} (\ zeta) = {\ zeta \ ponad (1 - {\ overline {w}} \ zeta) ^ {2} },}$

gdzie |w| = 1.

Dowód

Grunsky (1932) pierwotnie udowodnił te nierówności w oparciu o ekstremalne techniki Ludwiga Bieberbacha . Kolejne dowody, przedstawione w Goluzin (1939) , opierały się na równaniu Loewnera . Następnie podano bardziej elementarne dowody na podstawie nierówności Goluzina , równoważnej postaci nierówności Grunsky'ego (1939) dla macierzy Grunsky'ego .

Dla jednowartościowej funkcji g w z > 1 z rozszerzeniem

${\ Displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + \ cdots.}$

Nierówności Goluzina to stwierdzają

$\ Displaystyle \ lewo | \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ lambda _ {i} \ lambda _{j}\log {g(z_{i})-g(z_{j}) \ponad z_{i}-z_{j}}\right|\równik \suma _{i=1}^{n }\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i}{\overline {\lambda _{j}}}\log {z_{i}{\overline {z_{j}}} \over z_{i}{\overline {z_{j}}}-1},}$

gdzie z _i są odrębnymi punktami z | zi | _{_} > 1 i λ _i są dowolnymi liczbami zespolonymi.

Przyjmując n = 2. gdzie λ ₁ = – λ ₂ = λ, nierówność implikuje

${\ Displaystyle \ lewo | \ log {g ^ {\ pierwsza} (\ zeta) g ^ {\ pierwsza} (\ eta) (\ zeta - \ eta) ^ {2} \ ponad (g (\ zeta) -g (\eta ))^{2}}\right|\leq \log {|1-\zeta {\overline {\eta }}|^{2} \over (|\zeta |^{2}-1) (|\eta |^{2}-1)}.}$

Jeśli g jest funkcją nieparzystą i η = – ζ, to daje

${\ Displaystyle \ lewo | \ log {\ zeta g ^ {\ liczba pierwsza} (\ zeta) \ ponad g (\ zeta)} \ prawo | \ równoważnik {|\ zeta | ^ {2} + 1 \ ponad | \ zeta |^{2}-1}.}$

Wreszcie, jeśli f jest dowolną znormalizowaną jednowartościową funkcją w D , wymagana nierówność dla f wynika z przyjęcia

${\ Displaystyle g (\ zeta) = f (\ zeta ^ {- 2}) ^ {- {1 \ ponad 2}}}$

gdzie ${\ displaystyle z = \ zeta ^ {- 2}.}$

Dowód twierdzenia

Niech f będzie jednowartościową funkcją na D z f (0) = 0. Według kryterium Nevanlinny , f jest gwiaździste na |z| < r wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle \ Re {zf ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad f (z)} \ geq 0}$

dla |z| < r . Równoważnie

${\ Displaystyle \ lewo | \ arg {zf ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad f (z)} \ prawo | \ równoważnik {\ pi \ ponad 2}.}$

Z drugiej strony przez nierówność Grunsky'ego powyżej,

${\ Displaystyle \ lewo | \ arg {zf ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad f (z)} \ prawo | \ równoważnik \ log {1 + | z | \ponad 1-|z|}.}$

Zatem jeśli

${\ Displaystyle \ log {1 + | z | \over 1-|z|}\leq {\pi \over 2},}$

nierówność zachodzi w z . Ten warunek jest równoważny

${\ Displaystyle | z | \ równoważnik \ tanh {\ pi \ ponad 4}}$

stąd f jest gwiaździste na dowolnym dysku |z| < r gdzie r ≤ tanh π/4.

•   Duren, PL (1983), Funkcje jednowartościowe , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 259, Springer-Verlag, s. 95–98, ISBN 0-387-90795-5
• Goluzin, GM (1939), „Wewnętrzne problemy teorii funkcji jednowartościowych” , Uspekhi Mat. Nauk , 6 : 26–89 (po rosyjsku)
• Goluzin, GM (1969), Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 26, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne
•   Goodman, AW (1983), Funkcje jednowartościowe , tom. I, Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-10-X
•   Goodman, AW (1983), Funkcje jednowartościowe , tom. II, Mariner Publishing Co., ISBN 0-936166-11-8
• Grunsky, H. (1932), "Neue Abschätzungen zur konformen Abbildung ein- und mehrfach zusammenhängender Bereiche (rozprawa inauguracyjna)" , Schr. Matematyka Inst. U. Inst. Angew. Matematyka Uniw. Berlin , 1 : 95–140, zarchiwizowane z oryginału w dniu 11.02.2015 , pobrane 07.12.2011 (w języku niemieckim)
• Grunsky, H. (1934), "Zwei Bemerkungen zur konformen Abbildung" , Jber. niemiecki. Matematyka-Verein. , 43 : 140–143 (w języku niemieckim)
•   Hayman, WK (1994), Funkcje wielowartościowe , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 110 (wyd. 2), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Öfvers. Fińska Weterynarz. soc. Forh. , 53 : 1–21
• Pommerenke, C. (1975), Funkcje jednowartościowe, z rozdziałem o różniczkach kwadratowych autorstwa Gerda Jensena , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, tom. 15, Vandenhoeck & Ruprecht