Twierdzenie o duszy

W matematyce twierdzenie o duszy jest twierdzeniem geometrii Riemanna , które w dużej mierze ogranicza badanie kompletnych rozmaitości o nieujemnej krzywiźnie przekroju do przypadku zwartego . Jeff Cheeger i Detlef Gromoll udowodnili to twierdzenie w 1972 roku, uogólniając wynik Gromolla i Wolfganga Meyera z 1969 roku. Powiązana z tym hipoteza duszy , sformułowana wówczas przez Cheegera i Gromolla, została udowodniona dwadzieścia lat później przez Grigorija Perelmana .

Twierdzenie o duszy

Twierdzenie o duszy Cheegera i Gromolla stwierdza:

Jeśli ( M , g ) jest całkowicie spójną rozmaitością Riemanna z nieujemną krzywizną przekroju , to istnieje zamknięta , całkowicie wypukła , całkowicie geodezyjnie osadzona podrozmaitość , której wiązka normalna jest dyfeomorficzna względem M .

Taka podrozmaitość nazywana jest duszą ( M , g ) . Dzięki równaniu Gaussa i całkowitej geodezyjności indukowana metryka riemannowska duszy automatycznie ma nieujemną krzywiznę przekroju. Gromoll i Meyer wcześniej badali przypadek dodatniej krzywizny przekroju, gdzie wykazali, że dusza jest dana przez pojedynczy punkt, a zatem M jest dyfeomorficzna z przestrzenią euklidesową .

Bardzo proste przykłady, jak poniżej, pokazują, że dusza nie jest jednoznacznie określona przez ( M , g ) w ogólności. Jednak Vladimir Sharafutdinov skonstruował wycofanie 1-Lipschitza z M do dowolnej z jego dusz, pokazując w ten sposób, że dowolne dwie dusze są izometryczne . To odwzorowanie jest znane jako retrakcja Sharafutdinova .

Cheeger i Gromoll postawili również odwrotne pytanie, czy istnieje kompletna metryka Riemanna nieujemnej krzywizny przekroju na całkowitej przestrzeni dowolnej wiązki wektorów nad zamkniętymi rozmaitościami o dodatniej krzywiźnie przekroju.

Przykłady.

  • Jak widać bezpośrednio z definicji, każda zwarta rozmaitość jest swoją własną duszą. Z tego powodu twierdzenie to jest często podawane tylko dla rozmaitości niezwartych.
  • 0 Jako bardzo prosty przykład przyjmijmy, Rn że M jest przestrzenią euklidesową . Krzywizna przekroju jest wszędzie i każdy punkt M może służyć jako dusza M .
  • Weźmy teraz paraboloidę M = {( x , y , z ) : z = x 2 + y 2 }, gdzie metryką g jest zwykła odległość euklidesowa wynikająca z osadzenia paraboloidy w przestrzeni euklidesowej R 3 . Tutaj krzywizna przekroju jest wszędzie dodatnia, chociaż nie jest stała. Początek (0, 0, 0) to dusza M . Nie każdy punkt x z M jest duszą M , mogą istnieć pętle geodezyjne oparte na , w którym to przypadku byłoby całkowicie wypukłe
  • 0 Można również rozważyć nieskończony walec M = {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1 }, ponownie z indukowaną metryką euklidesową. Krzywizna przekroju jest wszędzie. Dowolny „poziomy” okrąg {( x , y , z ) : x 2 + y 2 = 1 } ze stałym z jest duszą M . Niepoziome przekroje walca nie są duszami, ponieważ nie są ani całkowicie wypukłe, ani całkowicie geodezyjne.

Przypuszczenie duszy

Jak wspomniano powyżej, Gromoll i Meyer udowodnili, że jeśli g ma dodatnią krzywiznę przekroju, to dusza jest punktem. Cheeger i Gromoll przypuszczali, że byłoby to prawdą, nawet gdyby g miało nieujemną krzywiznę przekroju, przy czym dodatniość wymagana jest tylko dla wszystkich krzywizn przekroju w jednym punkcie. To przypuszczenie duszy zostało udowodnione przez Grigorija Perelmana , który ustalił potężniejszy fakt, że wycofanie się Szarafutdinowa jest riemannowskim zanurzeniem , a nawet submetrią .

Źródła.

Pobrane z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Soul_theorem&oldid=1134885118 ”