Twierdzenie o sześciu wykładnikach

W matematyce , a konkretnie w teorii liczb przestępnych , twierdzenie o sześciu wykładnikach jest wynikiem, który przy odpowiednich warunkach na wykładnikach gwarantuje przekroczenie co najmniej jednego ze zbioru wykładników.

Oświadczenie

Jeśli x ₁ , x ₂ , ..., x _d to d liczb zespolonych , które są liniowo niezależne od liczb wymiernych , a y ₁ , y ₂ , ..., y _l to l liczb zespolonych, które są również liniowo niezależne od liczby wymierne, a jeśli dl > d + l , to co najmniej jedno z następujących dl liczby są transcendentalne :

{\ Displaystyle \ exp (x_ {i} y_ {j}), \ quad (1 \ równoważnik ja \ równoważnik d, \ 1 \ równoważnik j \ równoważnik l).}

Najciekawszy przypadek występuje, gdy d = 3 i l = 2, w którym to przypadku występuje sześć wykładników, stąd nazwa wyniku. Twierdzenie to jest słabsze niż pokrewne, ale jak dotąd nie udowodnione hipoteza czterech wykładników , w której ścisła nierówność dl > d + l jest zastępowana przez dl ≥ d + l , dopuszczając w ten sposób d = l = 2.

Twierdzenie można wyrazić za pomocą logarytmów, wprowadzając zbiór L logarytmów liczb algebraicznych :

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = \ {\ lambda \ w \ mathbb {C} \,: \, e ^ {\ lambda} \ w {\ overline {\ mathbb {Q}}} \}.}

Twierdzenie mówi wtedy, że jeśli λ _ij są elementami L dla i = 1, 2 i j = 1, 2, 3, takimi, że λ ₁₁ , λ ₁₂ i λ ₁₃ są liniowo niezależne od liczb wymiernych, a λ ₁₁ i λ ₂₁ są również liniowo niezależne od liczb wymiernych, a następnie od macierzy

{\ Displaystyle M = {\ rozpocząć {pmatrix} \ lambda _ {11} i \ lambda _ {12} i \ lambda _ {13} \\\ lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\end{pmatrix}}}

ma rangę 2.

Historia

Szczególny przypadek wyniku, w którym x ₁ , x ₂ i x ₃ są logarytmami dodatnich liczb całkowitych , y ₁ = 1, a y ₂ jest liczbą rzeczywistą , został po raz pierwszy wspomniany w artykule Leonidasa Alaoglu i Paula Erdősa z 1944 r., w którym spróbuj udowodnić, że stosunek kolejnych kolosalnie obfitych liczb jest zawsze liczbą pierwszą . Twierdzili, że Carl Ludwig Siegel wiedział o dowodzie tego szczególnego przypadku, ale nie został on odnotowany. Za pomocą szczególnego przypadku udaje im się udowodnić, że stosunek kolejnych kolosalnie obfitych liczb jest zawsze albo liczbą pierwszą, albo półpierwszą .

Twierdzenie zostało po raz pierwszy wyraźnie stwierdzone i udowodnione w pełnej formie niezależnie przez Serge'a Langa i Kanakanahalli Ramachandra w latach sześćdziesiątych XX wieku.

Twierdzenie o pięciu wykładnikach

Silniejszym, powiązanym wynikiem jest twierdzenie o pięciu wykładnikach , które jest następujące. Niech x ₁ , x ₂ i y ₁ , y ₂ będą dwiema parami liczb zespolonych, z których każda jest liniowo niezależna od liczb wymiernych, oraz niech γ będzie niezerową liczbą algebraiczną. Wtedy co najmniej jedna z następujących pięciu liczb jest przestępna:

{\ Displaystyle e ^ {x_ {1}y_ {1}}, e ^ {x_ {1}y_ {2}}, e ^ {x_ {2}y_ {1}}, e ^ {x_ {2}y_ {2}},e^{\gamma x_{2}/x_{1}}.}

Twierdzenie to implikuje twierdzenie o sześciu wykładnikach, a z kolei jest implikowane przez jeszcze nie udowodnioną hipotezę o czterech wykładnikach, która mówi, że w rzeczywistości jedna z pierwszych czterech liczb na tej liście musi być transcendentalna.

Twierdzenie Sharpa o sześciu wykładnikach

Innym powiązanym wynikiem, który implikuje zarówno twierdzenie o sześciu wykładnikach, jak i twierdzenie o pięciu wykładnikach, jest twierdzenie o ostrych sześciu wykładnikach . To twierdzenie jest następujące. Niech x ₁ , x ₂ i x ₃ będą liczbami zespolonymi liniowo niezależnymi od liczb wymiernych i niech y ₁ i y ₂ będą parą liczb zespolonych liniowo niezależnych od liczb wymiernych i załóżmy, że β _ij są sześć liczb algebraicznych dla 1 ≤ i ≤ 3 i 1 ≤ j ≤ 2 takie, że następujące sześć liczb jest algebraicznych:

{\ Displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - \ beta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - \ beta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_{1}-\beta_{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta_{22}},e^{x_{3}y_{1}-\beta_{31 }},e^{x_{3}y_{2}-\beta_{32}}.}

Wtedy x _i y _j = β _ij dla 1 ≤ i ≤ 3 i 1 ≤ j ≤ 2. Twierdzenie o sześciu wykładnikach następuje wtedy przez ustawienie β _ij = 0 dla każdego i oraz j , podczas gdy twierdzenie o pięciu wykładnikach następuje przez ustawienie x ₃ = γ/ x ₁ i korzystając z twierdzenia Bakera , aby upewnić się, że x _i są liniowo niezależne.

Istnieje również ostra wersja twierdzenia o pięciu wykładnikach, chociaż nie zostało to jeszcze udowodnione, dlatego jest znane jako hipoteza o pięciu ostrych wykładnikach . To przypuszczenie implikuje zarówno twierdzenie o sześciu ostrych wykładnikach, jak i twierdzenie o pięciu wykładnikach i jest sformułowane w następujący sposób. Niech x ₁ , x ₂ i y ₁ , y ₂ będą dwiema parami liczb zespolonych, przy czym każda para będzie liniowo niezależna od liczb wymiernych i niech α, β ₁₁ , β ₁₂ , β ₂₁ , β ₂₂ , a γ będzie sześcioma liczbami algebraicznymi z γ ≠ 0 takimi, że następujące pięć liczb jest algebraicznych:

{\ Displaystyle e ^ {x_ {1} y_ {1} - \ beta _ {11}}, e ^ {x_ {1} y_ {2} - \ beta _ {12}}, e ^ {x_ {2} y_{1}-\beta_{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta_{22}},e^{(\gamma x_{2}/x_{1})- \alfa}.}

Wtedy x _ja y _jot = β _ij dla 1 ≤ ja , j ≤ 2 i γ x ₂ = α x ₁ .

Konsekwencją tego przypuszczenia, która nie jest obecnie znana, byłaby transcendencja e ^π² , przez ustawienie x ₁ = y ₁ = β ₁₁ = 1, x ₂ = y ₂ = i π i wszystkich innych wartości w instrukcji na być zerem.

Mocne twierdzenie o sześciu wykładnikach

Logical implications between the various n-exponentials problems

Logiczne implikacje między różnymi problemami w tym kręgu. Te na czerwono są jeszcze nieudowodnione, podczas gdy te na niebiesko to znane wyniki. Najwyższy wynik odnosi się do tego omówionego w twierdzeniu Bakera , podczas gdy cztery hipotezy wykładnicze są szczegółowo opisane w artykule dotyczącym czterech hipotez wykładniczych .

Kolejnym wzmocnieniem twierdzeń i domysłów w tym zakresie są mocne wersje. Mocne twierdzenie o sześciu wykładnikach jest wynikiem udowodnionym przez Damiena Roya, który implikuje twierdzenie o ostrych sześciu wykładnikach. Wynik ten dotyczy przestrzeni wektorowej nad liczbami algebraicznymi generowanej przez 1 i wszystkie logarytmy liczb algebraicznych, oznaczanych tutaj jako L ^∗ . Zatem L ^∗ jest zbiorem wszystkich liczb zespolonych postaci

{\ Displaystyle \ beta _ {0} + \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ beta _ {i} \ log \ alfa _ {i} ,}

dla pewnego n ≥ 0, gdzie wszystkie β _i oraz α _i są algebraiczne i rozważana jest każda gałąź logarytmu . Twierdzenie o silnych sześciu wykładnikach mówi zatem, że jeśli x ₁ , x ₂ i x ₃ są liczbami zespolonymi, które są liniowo niezależne od liczb algebraicznych, i jeśli y ₁ i y ₂ są parą liczb zespolonych, które są również liniowo niezależne od liczby algebraiczne, to co najmniej jedną z sześciu liczb x _ja y _j dla 1 ≤ ja ≤ 3 i 1 ≤ j ≤ 2 nie jest w L ^∗ . Jest to silniejsze niż standardowe twierdzenie o sześciu wykładnikach, które mówi, że jedna z tych sześciu liczb nie jest po prostu logarytmem liczby algebraicznej.

Istnieje również silna hipoteza pięciu wykładników sformułowana przez Michela Waldschmidta . Implikowałoby to zarówno mocne twierdzenie o sześciu wykładnikach, jak i hipotezę o ostrych pięciu wykładnikach. Przypuszczenie to głosi, że jeśli x ₁ , x ₂ i y ₁ , y ₂ są dwiema parami liczb zespolonych, z których każda para jest liniowo niezależna od liczb algebraicznych, to przynajmniej jedna z następujących pięciu liczb nie należy do L ^∗ :

{\ Displaystyle x_ {1}y_ {1}, \, x_ {1}y_ {2}, \, x_ {2}y_ {1}, \, x_ {2}y_ {2}, \, x_ {1 }/x_{2}.}

Wszystkie powyższe przypuszczenia i twierdzenia są konsekwencją nie udowodnionego rozszerzenia twierdzenia Bakera , że logarytmy liczb algebraicznych, które są liniowo niezależne od liczb wymiernych, są automatycznie algebraicznie niezależne. Diagram po prawej pokazuje logiczne implikacje między wszystkimi tymi wynikami.

Uogólnienie na przemienne odmiany grupowe

Funkcja wykładnicza $e z$ ujednolica wykładniczą mapę multiplikatywnej grupy $G m$ . Dlatego możemy przeformułować twierdzenie o sześciu wykładnikach bardziej abstrakcyjnie w następujący sposób:

Niech

G = G m \times G m

i przyjmijmy, że

u : C \to G (C)

będzie niezerowym zespolonym homomorfizmem analitycznym grupy . Zdefiniujmy

L

jako zbiór liczb zespolonych

l

, dla których

u (l)

jest punktem algebraicznym

G

. Jeśli minimalny zestaw generujący

L

nad

Q

ma więcej niż dwa elementy, to obraz

u (C)

jest podgrupą algebraiczną

G (C)

.

(Aby wyprowadzić klasyczne stwierdzenie, ustaw $u (z) = (e y 1 z; e y 2 z)$ i zauważ, że $Q x 1 + Q x 2 + Q x 3$ jest podzbiorem $L$ ).

W ten sposób stwierdzenie twierdzenia o sześciu wykładnikach można uogólnić na dowolną odmianę grupy przemiennej $G$ na polu liczb algebraicznych. Wydaje się jednak, że ta uogólniona hipoteza sześciu wykładniczych nie mieści się w zakresie przy obecnym stanie przestępnej teorii liczb .

Dla szczególnych, ale interesujących przypadków $G = G m \times E$ i $G = E \times E'$ , gdzie $E, E'$ są krzywymi eliptycznymi na polu liczb algebraicznych, wyniki w kierunku uogólnionej hipotezy sześciu wykładniczych udowodnił Aleksander Momot. Wyniki te obejmują funkcję wykładniczą $e z$ i funkcję $Weierstrassa$ . dwie funkcje Weierstrassa ${\ Displaystyle \ wp \ wp '}$ z niezmiennikami algebraicznymi $'$ ${\ Displaystyle g_ {2}, g_ {3}, g_ {2} ', g_ {3$ $_$ } zamiast

Niech $jest G = Gm \times E$ i załóżmy, że $E nie$ izogeniczne z krzywą nad polem rzeczywistym i że $u (C)$ nie jest podgrupą algebraiczną $G (C)$ . Wtedy $L$ jest generowane przez $Q$ albo przez dwa elementy $x 1, x 2$ , albo przez trzy elementy $x 1, x 2, x 3$ z których nie wszystkie są zawarte w prostej rzeczywistej $R c$ , gdzie $c$ jest niezerową liczbą zespoloną. Podobny wynik pokazano dla $G = E \times E'$ .

Notatki

Alaoglu, Leonidas ; Erdős, Paweł (1944). „O wysoce złożonych i podobnych liczbach”. Trans. Amer. Matematyka soc. 56 (3): 448–469. doi : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319 . MR 0011087 .
Lang, Serge (1966). Wprowadzenie do liczb przestępnych . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547 .
Momot Aleksander (2011). „Gęstość punktów wymiernych na przemiennych odmianach grupowych i małym stopniu transcendencji”. arXiv : 1011,3368 [ matematyka.NT ].
Ramachandra, Kanakanahalli (1967–1968). „Składki do teorii liczb przestępnych. I, II” . Acta Arith. 14 : 65–72, 73–88. doi : 10.4064/aa-14-1-65-72 . MR 0224566 .
Roy, Damian (1992). „Macierze, których współczynniki są postaciami liniowymi w logarytmach” . J. Teoria liczb . 41 (1): 22–47. doi : 10.1016/0022-314x(92)90081-y . MR 1161143 .
Waldschmidt, Michel (1988). „O metodach transcendencji Gel'fonda i Schneidera w kilku zmiennych”. W Baker, Alan (red.). Nowe postępy w teorii transcendencji . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . s. 375–398. MR 0972013 .
Waldschmidt, Michel (2005). „Algebry Hopfa i liczby przestępne”. W Aoki, Takashi; Kanemitsu, Shigeru; Nakahara, Mikio; i in. (red.). Funkcje Zeta, topologia i fizyka kwantowa: referaty z sympozjum, które odbyło się na Uniwersytecie Kinki w Osace, 3–6 marca 2003 r . . Rozwój matematyki. Tom. 14. Springera. s. 197–219. MR 2179279 .

Linki zewnętrzne