Uogólniona metoda ołówka funkcji

Metoda uogólnionego ołówka funkcji ( GPOF ), znana również jako metoda ołówka macierzowego , to technika przetwarzania sygnału służąca do szacowania sygnału lub wydobywania informacji za pomocą złożonych wykładników . Będąc podobnym do Prony'ego i oryginalnych metod ołówka funkcji, jest generalnie preferowany ze względu na swoją solidność i wydajność obliczeniową.

Metoda została pierwotnie opracowana przez Yingbo Hua i Tapana Sarkara do szacowania zachowania systemów elektromagnetycznych na podstawie ich odpowiedzi przejściowej, opierając się na wcześniejszych pracach Sarkara nad oryginalną metodą funkcji ołówka. Metoda ta ma wiele zastosowań w elektrotechnice , szczególnie związanych z problemami w dziedzinie elektromagnetyki obliczeniowej , inżynierii mikrofalowej i teorii anten .

metoda

Podstawa matematyczna

Przejściowy sygnał elektromagnetyczny można przedstawić jako:

{\ Displaystyle y (t) = x (t) + n (t) \ w przybliżeniu \ suma _ {i = 1} ^ {M} R_ {i} e ^ {s_ {i} t} + n(t);0\równoważnik t\równoważnik T,}

Gdzie

{\ Displaystyle y (t)}

obserwowany sygnał w dziedzinie czasu,

to

x (t

sygnału, x (

}

rzeczywisty sygnał

displaystyle

{

reszty ( ) , s

s_

to \ systemu, zdefiniowanego jako

{\ Displaystyle s_ {i} = - \ alfa _ {i} + j \ omega _ {i}}

,

{\ Displaystyle z_ {i} = e ^ {(- \ alfa _ {i} + j \ omega _ {i}) T_ {s}}} przez tożsamości

transformacji Z ,

{\ displaystyle \ alpha _ {i}}

to czynniki tłumiące i

są

_

. _

Tę samą sekwencję, próbkowaną przez okres , można zapisać w następujący sposób: ${\ displaystyle T_ {s}}$

{\ Displaystyle y [kT_ {s}] = x [kT_ {s}] + n [kT_ {s}] \ w przybliżeniu \ suma _ {i = 1} ^ {M} R_ {i} z_ {i

,

Uogólniony ołówek funkcji $szacuje$ i „ $”$

Analiza bez szumów

W przypadku bezszumowego tworzone są dwie $Displaystyle$ , 1 $Y_ {1}}$ ${2}}$ :

{\ Displaystyle [Y_ {1}] = {\ rozpocząć {bmatrix} x (0) i x (1) i \ cdots & x (L-1) \\ x (1) i x (2) i \ cdots & x (L) \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL-1)&x(NL)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(NL)\razy L}; }

{\ Displaystyle [Y_ {2}] = {\ rozpocząć {bmatrix} x (1) i x (2) i \ cdots & x (L) \\ x (2) i x (3) i \ cdots & x (L + 1) \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(NL)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmacierz}}_{(NL)\razy L }}

gdzie jest $zdefiniowany$ jako parametr . ${\ Displaystyle Y_ {1}}$ i ${\ Displaystyle Y_ {2}}$ można rozłożyć na następujące macierze:

{\ Displaystyle [Y_ {1}] = [Z_ {1}] [B][Z_ {2}]}

{\ Displaystyle [Y_ {2}] = [Z_ {1}] [B][Z_ {0}][Z_ {2}]}

Gdzie

{\ Displaystyle [Z_ {1}] = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 1 & \ cdots & 1 \\ z_ {1} & z_ {2} i \ cdots & z_ {M} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\z_{1}^{(NL-1)}&z_{2}^{(NL-1)}&\cdots &z_{M}^{(NL-1)}\end{bmatrix}}_{( NL)\razy M};}

{\ Displaystyle [Z_ {2}] = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & z_ {1} & \ cdots & z_ {1} ^ {L-1} \\ 1 & z_ { 2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{ bmacierz}}_{M\razy L}}

${\ textstyle [Z_ {0}]}$ i ${\ textstyle [B]}$ są ${\ textstyle M \ razy M}$ przekątne macierze z sekwencyjnie umieszczonymi ${\ textstyle z_ {i }}$ i odpowiednio wartości ${\ textstyle R_ {i}}$ .

Jeśli ${\ textstyle M \ równoważnik L \ równoważnik NM}$ , uogólnione wartości własne ołówka macierzy

{\ Displaystyle [Y_ {2}] - \ lambda [Y_ {1}] =[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]}

dają bieguny systemu, które są ${\ displaystyle \ lambda = z_ {i}}$ . Następnie uogólnione wektory własne można otrzymać za pomocą następujących tożsamości: ${\ displaystyle p_ {i}}$

{\ Displaystyle [Y_ {1}] ^ {+} [Y_ {1}] p_ {i} = p_ {i};}

{\ Displaystyle i = 1, ..., M}

{\ Displaystyle [Y_ {1}] ^ {+} [Y_ {2}] p_ {i} = z_ {i} p_ {i};}

{\ Displaystyle i = 1, ..., M}

gdzie oznacza odwrotność Moore'a-Penrose'a , znaną $również$ pseudo-odwrotność. Do obliczenia pseudoodwrotności można zastosować rozkład na wartości osobliwe .

Filtrowanie szumów

Jeśli w systemie występuje szum, ${\ textstyle [Y_ {1}]}$ i ${\ textstyle [Y_ {2}]}$ są łączone w ogólną macierz danych, ${\ styl tekstu [Y]}$ :

{\ Displaystyle [Y] = {\ rozpocząć {bmatrix} y (0) i y (1) i \ cdots & y (L) \\ y (1) &y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(NL-1)&y(NL)&\cdots &y(N-1)\end{ bmacierz}}_{(NL)\czasy (L+1)}}

gdzie $hałaśliwe$ dane. W celu wydajnego filtrowania L jest wybierany spośród ${\textstyle {\ Frac {N}{3}}}$ i ${\textstyle {\ frac {N}{2}}}$ . Rozkład na wartości osobliwe na ${\ textstyle [Y]}$ daje:

{\ Displaystyle [Y] = [U] [\ Sigma ][V] ^ {H}}

W tym rozkładzie ${\ textstyle [U]}$ i ${\ textstyle [V]}$ są macierzami unitarnymi z odpowiednimi wektorami własnymi ${\ textstyle [Y] [Y] ^ {H }}$ i ${\ textstyle [Y] ^ {H} [Y]}$ i ${\ textstyle [\ Sigma ]}$ jest macierzą diagonalną z wartości osobliwe ${\ textstyle [Y]}$ . Indeks górny ${\ textstyle H}$ oznacza transpozycję koniugatu .

Następnie do filtrowania wybierany jest parametr ${\textstyle M}$ . Wartości osobliwe po $progu$ filtrowania, są ustawiane na zero; dla dowolnej wartości pojedynczej próg jest oznaczony następującym wzorem: ${\textstyle \ sigma _ {c}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ sigma _ {c}} {\ sigma _ {max}}} = 10 ^ {- p}

}

${\ textstyle \ sigma _ {max}}$ i $p$ to odpowiednio maksymalna wartość pojedyncza i znaczące cyfry dziesiętne . W przypadku danych z cyframi znaczącymi z dokładnością do $p$ , wartości osobliwe poniżej ${\ textstyle 10 ^ {-p}}$ są uważane za szum.

${\textstyle [V_ {1}']}$ i ${\textstyle [V_ {2}']}$ uzyskuje się poprzez usunięcie ostatniego i pierwszego wiersza oraz kolumny przefiltrowanej macierzy ${\ textstyle [V ']}$ odpowiednio; ${\ textstyle M}$ kolumny ${\ textstyle [\ Sigma ]}$ reprezentują ${\ textstyle [\ Sigma ']}$ . Filtrowane ${\textstyle [Y_ {1}]}$ i ${\textstyle [Y_ {2}]}$ są uzyskiwane jako:

{\ Displaystyle [Y_ {1}] = [U] [\ Sigma '][V_ {1}'] ^ {H}}

{\ Displaystyle [Y_ {2}] = [U] [\ Sigma '][V_ {2}'] ^ {H}}

Filtrowanie wstępne można wykorzystać do zwalczania szumów i poprawy stosunku sygnału do szumu (SNR). Metoda ołówka matrycowego pasmowoprzepustowego (BPMP) jest modyfikacją metody GPOF za pomocą filtrów pasmowoprzepustowych FIR lub IIR .

GPOF może obsłużyć do 25 dB SNR. Dla GPOF, jak również dla BPMP, wariancja oszacowań w przybliżeniu sięga granicy Craméra-Rao .

Obliczanie pozostałości

Reszty złożonych biegunów uzyskuje się za pomocą problemu najmniejszych kwadratów :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} y (0) \\ y (1) \\\ vdots \\ y (N-1) \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2} ^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M }\end{bmacierz}}}

Aplikacje

Metoda ta jest powszechnie stosowana do wyznaczania całek Sommerfelda w metodzie obrazów dyskretnych zespolonych dla metody momentów , gdzie widmowa funkcja Greena jest aproksymowana jako suma wykładniczych zespolonych. Dodatkowo metoda ta znajduje zastosowanie w analizie anten , estymacji parametrów S w mikrofalowych układach scalonych , analizie propagacji fal, wskazywaniu ruchomych celów oraz przetwarzaniu sygnałów radarowych .

Zobacz też