Właściwa uogólniona dekompozycja

Właściwa uogólniona dekompozycja ( PGD ) to iteracyjna metoda numeryczna służąca do rozwiązywania problemów brzegowych (BVP), czyli równań różniczkowych cząstkowych ograniczonych zbiorem warunków brzegowych, takich jak równanie Poissona lub równanie Laplace'a .

Algorytm PGD oblicza przybliżenie rozwiązania BVP przez kolejne wzbogacenie. Oznacza to, że w każdej iteracji obliczana jest nowa składowa (lub tryb ) i dodawana do przybliżenia. W zasadzie im więcej uzyskanych modów, tym przybliżenie jest bliższe jego teoretycznemu rozwiązaniu. W przeciwieństwie do POD , tryby PGD niekoniecznie są względem siebie ortogonalne .

Wybierając tylko najbardziej odpowiednie tryby PGD, uzyskuje się model rozwiązania o zredukowanym rzędzie . Z tego powodu PGD jest uważany za algorytm redukcji wymiarowości .

Opis

Właściwa dekompozycja uogólniona jest metodą charakteryzującą się

1. wariacyjne sformułowanie problemu,
2. dyskretyzacja dziedziny w stylu metody elementów skończonych ,
3. założenie, że rozwiązanie można przybliżyć jako odrębną reprezentację i
4. numeryczny algorytm zachłanny do znalezienia rozwiązania.

Formuła wariacyjna

Najczęściej stosowanym sformułowaniem wariacyjnym w PGD jest metoda Bubnova-Galerkina , chociaż istnieją inne implementacje.

Dyskretyzacja domeny

Dyskretyzacja dziedziny to dobrze zdefiniowany zestaw procedur obejmujących (a) tworzenie siatek elementów skończonych, (b) definiowanie funkcji bazowych na elementach odniesienia (zwanych także funkcjami kształtu) oraz (c) mapowanie elementów odniesienia na elementy siatki.

Oddzielna reprezentacja

PGD ​​zakłada, że ​​rozwiązanie u problemu (wielowymiarowego) można przybliżyć jako osobną reprezentację postaci

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ około \ mathbf {u} ^ {N} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {d}) = \ suma _ {i = 1} ^ {N }\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _ {i}(x_{d}),}$$

gdzie liczba addendów N i iloczynów funkcjonalnych X ₁ ( x ₁ ), X ₂ ( x ₂ ), ..., X _d ( x _d ), każdy zależny od zmiennej (lub zmiennych), są z góry nieznane.

Chciwy algorytm

Rozwiązanie jest poszukiwane przez zastosowanie algorytmu zachłannego , zwykle algorytmu punktu stałego , do słabego sformułowania problemu. Dla każdej iteracji i algorytmu obliczany jest mod rozwiązania. Każdy mod składa się ze zbioru wartości liczbowych iloczynów funkcjonalnych X ₁ ( x ₁ ), ..., X _d ( x _d ), które wzbogacają przybliżenie rozwiązania. Ze względu na zachłanny charakter algorytmu, termin „wzbogacać” jest używany zamiast „ulepszać”, ponieważ niektóre tryby mogą w rzeczywistości pogorszyć podejście. Liczba obliczonych trybów wymaganych do uzyskania przybliżenia rozwiązania poniżej pewnego progu błędu zależy od kryterium zatrzymania algorytmu iteracyjnego.

Cechy

PGD ​​nadaje się do rozwiązywania problemów wielowymiarowych, ponieważ pokonuje ograniczenia klasycznych podejść. W szczególności PGD unika przekleństwa wymiarowości , ponieważ rozwiązywanie problemów oddzielonych jest obliczeniowo znacznie tańsze niż rozwiązywanie problemów wielowymiarowych.

Dlatego PGD umożliwia ponowne dostosowanie problemów parametrycznych do wielowymiarowych ram poprzez ustawienie parametrów problemu jako dodatkowych współrzędnych:

$${\ Displaystyle \ mathbf {u} \ około \ mathbf {u} ^ {N} (x_ {1}, \ ldots, x_ {d}; k_ {1}, \ ldots, k_ {p })=\suma _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{ d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),}$$

do równania włączono szereg iloczynów funkcyjnych K ₁ ( k ₁ ), K ₂ ( k ₂ ), ..., K _p ( k _{p ), każdy zależny od parametru (lub parametrów).}

W takim przypadku otrzymane przybliżenie rozwiązania nazywane jest vademecum obliczeniowym : ogólnym metamodelem zawierającym wszystkie rozwiązania szczegółowe dla każdej możliwej wartości zaangażowanych parametrów.

Rzadkie uczenie się podprzestrzeni

Metoda Sparse Subspace Learning (SSL) wykorzystuje kolokację hierarchiczną do przybliżenia numerycznego rozwiązania modeli parametrycznych. W odniesieniu do tradycyjnego modelowania zredukowanego rzędu opartego na projekcji, użycie kolokacji umożliwia nieinwazyjne podejście oparte na rzadkim adaptacyjnym próbkowaniu przestrzeni parametrycznej. Pozwala to na odzyskanie niskowymiarowej struktury podprzestrzeni rozwiązania parametrycznego, jednocześnie ucząc się zależności funkcjonalnej z parametrów w postaci jawnej. Rzadką przybliżoną tensorową reprezentację rozwiązania parametrycznego niskiego rzędu można zbudować za pomocą strategii przyrostowej, która wymaga jedynie dostępu do danych wyjściowych solwera deterministycznego. Nieinwazyjność sprawia, że ​​podejście to można bezpośrednio zastosować do trudnych problemów charakteryzujących się nieliniowością lub nieafinicznymi słabymi formami.