Wspornik Tody

W matematyce nawias Toda jest operacją na klasach homotopii map, w szczególności na grupach homotopii sfer , nazwanych na cześć Hiroshi Toda , który je zdefiniował i wykorzystał do obliczenia grup homotopii sfer w ( Toda 1962 ).

Definicja

Patrz ( Kochman 1990 ) lub ( Toda 1962 ), aby uzyskać więcej informacji. Przypuszczam, że

${\ Displaystyle W {\ stackrel {f} {\ \ do \}} X {\ stackrel {g} {\ \ do \}} Y {\ stackrel {h} {\ \do \}}Z}$

$gdzie$$obie$ sekwencją map tak kompozycje i są nullhomotopic $}$$oznacza$ uwagę przestrzeń , niech stożek ZA { $displaystyle$ . Następnie otrzymujemy (nieunikatową) mapę

${\ Displaystyle F \ dwukropek CW \ do Y}$

wywołane przez $g \ circ f }$ z trywialnej , która po skomponowaniu z sol ∘ $\ displaystyle$ daje mapę

${\ Displaystyle h \ circ F \ dwukropek CW \ do Z}$ .

Podobnie otrzymujemy nieunikalną mapę indukowaną przez homotopię z $trywialnej$ po złożeniu z $circ g$${\ Displaystyle C_ {f} \ dwukropek CW \ do CX}$ , stożek mapy daje kolejną mapę, ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle G \ circ C_ {f} \ dwukropek CW \ do Z}$ .

Łącząc te dwa stożki na i mapy z nich do $,$ otrzymujemy mapę $\ displaystyle Z}$

${\ Displaystyle \ langle f, g, h \ rangle \ dwukropek SW \ do Z}$

$reprezentujący$$}$$Z$ grupie klas homotopii map od zawieszenia do Z ${\ displaystyle f}$ , ${\ displaystyle g}$ i ${\ displaystyle h}$ . Mapa ${\ displaystyle \ langle f, g, h \ rangle}$ nie jest jednoznacznie zdefiniowany aż do homotopii, ponieważ był pewien wybór przy wyborze map ze stożków. Zmiana $[SX, Z$ nawias Toda, dodając elementy X ${$ .

Istnieją również wyższe nawiasy Toda kilku elementów, zdefiniowane, gdy znikają odpowiednie niższe nawiasy Toda. Jest to analogiczne do teorii produktów Masseya w kohomologii .

Nawias Toda dla stabilnych grup homotopii sfer

Suma bezpośrednia

${\ Displaystyle \ pi _ {\ ast} ^ {S} = \ bigoplus _ {k \ geq 0} \ pi _ {k} ^ {S}}$

stabilnych grup homotopii sfer jest superprzemiennym stopniowanym pierścieniem , gdzie mnożenie (nazywane iloczynem składu) jest dane przez złożenie odwzorowań reprezentujących, a każdy element stopnia niezerowego jest nilpotentny ( Nishida 1973 ).

Jeśli f i g i h są elementami ${\ Displaystyle \ pi _ {\ ast} ^ {S}}$ z ${\ Displaystyle f \ cdot g = 0}$ i ${\ Displaystyle g \ cdot h = 0}$ , istnieje nawias Toda ${\ Displaystyle \ langle f, g, h \ rangle}$ z tych elementów. Nawias Toda nie jest do końca elementem stabilnej grupy homotopii, ponieważ jest zdefiniowany tylko do dodania iloczynów składu pewnych innych elementów. Hiroshi Toda użył iloczynu kompozycji i nawiasów Toda do oznaczenia wielu elementów grup homotopii. Cohen (1968) wykazał, że każdy element stabilnych grup homotopii sfer można wyrazić za pomocą iloczynów składu i wyższych nawiasów Toda w odniesieniu do pewnych dobrze znanych elementów, zwanych elementami Hopfa.

Nawias Toda dla ogólnych kategorii triangulowanych

W przypadku ogólnej kategorii triangulowanej nawias Toda można zdefiniować w następujący sposób. Ponownie załóżmy, że

${\ Displaystyle W {\ stackrel {f} {\ \ do \}} X {\ stackrel {g} {\ \ do \}} Y {\ stackrel {h} {\ \do \ }}Z}$

gdzie jest sekwencją morfizmu w triangulowanej kategorii , tak że ${\ displaystyle g \ circ f = 0}$ i ${\ displaystyle h \ circ g = 0}$ . Niech ${\ displaystyle C_ {f}}$ oznacza stożek f , abyśmy otrzymali dokładny trójkąt

$\ Displaystyle W {\ stackrel {f} {\ \ do \}} X {\ stackrel {i} {\ \ do \}} C_ {f} \stackrel {q}{\ \to \ }}W[1]}$

Relacja ${\ displaystyle g \ circ f = 0}$ implikuje, że czynniki g ${\ displaystyle C_ {f}}$ niejednoznacznie) do jak do

$\ Displaystyle X {\ stackrel {i} {\ \ do \}} C_ {f} {\ stackrel {a} {\ \ do \ }} Y}$

dla niektórych za $\ displaystyle a}$ . Wtedy relacja ${\ Displaystyle h \ circ a \ circ i = h \ circ g = 0}$$że$ czynniki niejednoznacznie ) ) do W[1] as

$] {\ stackrel {b} {\ \ do \}} Z}$

dla niektórych b . To b jest (wybór) nawiasem Toda ${\ Displaystyle \ langle f, g, h \ rangle}$ w grupie ${\ Displaystyle \ operatorname { dom} (W[1],Z)}$ .

Twierdzenie o zbieżności

Istnieje twierdzenie o zbieżności, które pochodzi pierwotnie od Mossa, które stwierdza, że ​​​​specjalne produkty Massey elementów $-$ ⟨ $\ langle a, b, c \ rangle}$ strona $, że$ Adamsa powiązany element w , przyjmując ${\ Displaystyle a, b, c}$ to stałe cykle ^{na str. 18-19} . Co więcej $,$$produkty Massey$ element w dla elementów ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta, \ gamma}$ podnoszenie $c}$ .

•      Cohen, Joel M. (1968), „Rozkład stabilnej homotopii”, Annals of Mathematics , Second Series, 87 (2): 305–320, doi : 10,2307/1970586 , JSTOR 1970586 , MR 0231377 , PMC 224450 , PMID 16591550 .
•    Kochman, Stanley O. (1990), „Nawiasy Toda”, Stabilne grupy homotopii sfer. Podejście wspomagane komputerowo , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1423, Berlin: Springer-Verlag , s. 12–34, doi : 10.1007/BFb0083797 , ISBN 978-3-540-52468-7 , MR 1052407 .
•    Nishida, Goro (1973), „Nilpotencja elementów stabilnych grup homotopii sfer”, Journal of the Mathematical Society of Japan , 25 (4): 707–732, doi : 10.2969 / jmsj / 02540707 , ISSN 0025-5645 , MR 0341485 .
•    Toda, Hiroshi (1962), Metody składu w grupach homotopii sfer , Annals of Mathematics Studies, tom. 49, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09586-8 , MR 0143217 .