Wzrost (grupa abelowa)

W matematyce wysokość elementu g grupy abelowej A jest niezmiennikiem, który oddaje jego właściwości podzielności: jest to największa liczba naturalna N taka, że ​​równanie Nx = g ma rozwiązanie x ∈ A , lub symbol ∞, jeśli istnieje nie jest takim N. Wysokość p uwzględnia tylko właściwości podzielności przez potęgi ustalonej liczby pierwszej p . Pojęcie wysokości można uściślić tak, że p -wysokość staje się liczbą porządkową . Wysokość odgrywa ważną rolę w twierdzeniach Prüfera , a także w twierdzeniu Ulma , które opisuje klasyfikację pewnych nieskończonych grup abelowych pod względem ich czynników Ulma lub niezmienników Ulma .

Definicja wzrostu

Niech A będzie grupą abelową, a g elementem A . Wysokość p ma g w A , oznaczona jako h _p ( g ), jest największą liczbą naturalną n taką , że równanie p ⁿ x = g rozwiązanie w x ∈ A , lub symbol ∞ jeśli rozwiązanie istnieje dla wszystkich n . Zatem godz _p ( g ) = n wtedy i tylko wtedy, gdy g ∈ p ⁿ ZA i g ∉ p ^{n +1} ZA . Pozwala to uściślić pojęcie wysokości.

Dla dowolnej liczby porządkowej α istnieje podgrupa p ^α A z A , która jest obrazem mapy mnożenia przez piterowane czasy α , określone za pomocą indukcji pozaskończonej :

• ⁰ p ZA = ZA ;
• p ^{α +1} ZA = p ( p ^α ZA );
• p ^β ZA =∩ _{α < β} p ^α A jeśli β jest graniczną liczbą porządkową .

Podgrupy p ^α A tworzą malejącą filtrację grupy A , a ich przecięcie jest podgrupą p -podzielnych elementów A , której elementom przypisano wysokość ∞. Zmodyfikowana wysokość p h _p ^∗ ( g ) = α jeśli g ∈ p ^α A , ale g ∉ p ^{α +1} A . Konstrukcja p ^α A jest funktoralne w A ; w szczególności podilorazy filtracji są niezmiennikami izomorfizmu A .

podgrupy Ulmów

Niech p będzie ustaloną liczbą pierwszą. (Pierwsza) podgrupa Ulm grupy abelowej A , oznaczona jako U ( A ) lub A ¹ , to p ^ω A = ∩ _n p ⁿ A , gdzie ω jest najmniejszą nieskończoną liczbą porządkową . Składa się ze wszystkich elementów zbioru A o nieskończonej wysokości. Rodzina { U ^σ ( A )} podgrup Ulm indeksowanych według liczb porządkowych σ jest zdefiniowany przez indukcję pozaskończoną:

• ⁰ U ( ZA ) = ZA ;
• U ^{σ +1} ( ZA ) = U ( U ^σ ( ZA ));
• U ^τ ( ZA ) = ∩ _{σ < τ} U ^σ ( ZA ) jeśli τ jest graniczną liczbą porządkową .

Równoważnie U ^σ ( A ) = p ^ωσ A , gdzie ωσ jest iloczynem liczb porządkowych ω i σ .

Podgrupy Ulm tworzą malejącą filtrację A , której ilorazy U _σ ( A ) = U ^σ ( A )/ U ^{σ +1} ( A ) nazywane są czynnikami Ulma A . Ta filtracja stabilizuje i najmniejsza liczba porządkowa τ taka, że ​​U ^τ ( A ) = U ^{τ +1} ( A ) jest długością Ulma A . Najmniejsza podgrupa Ulma U ^τ ( A ), oznaczana także jako U ^∞ ( A ) i p ^∞ A, składa się ze wszystkich p -podzielnych elementów A , a będąc grupą podzielną , jest bezpośrednią sumą A .

Dla każdego czynnika Ulma U _σ ( A ) p -wysokości jego elementów są skończone i są nieograniczone dla każdego czynnika Ulma z wyjątkiem być może ostatniego, czyli U _{τ −1} ( A ) gdy długość Ulma τ jest następnikiem porządkowym .

Twierdzenie Ulma

Drugie twierdzenie Prüfera zapewnia proste rozszerzenie podstawowego twierdzenia o skończenie generowanych grupach abelowych na przeliczalne abelowe grupy p bez elementów o nieskończonej wysokości: każda taka grupa jest izomorficzna z bezpośrednią sumą grup cyklicznych, których rzędy są potęgami p . Ponadto liczność zbioru sum rzędu p ⁿ jest jednoznacznie określona przez grupę i realizowany jest każdy ciąg co najwyżej policzalnych liczności. Helmuta Ulma (1933) znaleźli rozszerzenie tej teorii klasyfikacji na ogólne policzalne grupy p : ich klasa izomorfizmu jest określona przez klasy izomorfizmu czynników Ulma i p -podzielnej części.

Twierdzenie Ulma . Niech A i B będą przeliczalnymi abelowymi grupami p takimi, że dla każdej liczby porządkowej σ ich czynniki Ulm są izomorficzne , U _σ ( A ) ≅ U _σ ( B ) a p - podzielne części A i B są izomorficzne , U ^∞ ( A ) ≅ U ^∞ ( b ). Wtedy A i B są izomorficzne.

Istnieje uzupełnienie tego twierdzenia, po raz pierwszy stwierdzone przez Leo Zippina (1935) i udowodnione w Kurosh (1960), które odnosi się do istnienia abelowej grupy p z danymi czynnikami Ulma.

Niech τ będzie liczbą porządkową, a { A _σ } będzie rodziną przeliczalnych abelowych p - grup indeksowanych przez liczby porządkowe σ < τ tak, że p - wysokości elementów każdego A _σ są skończone i, być może z wyjątkiem ostatniej, są bezgraniczny. Wtedy istnieje zredukowana abelowa grupa p A o długości Ulma τ , której współczynniki Ulma są izomorficzne z tymi grupami p , U _σ ( ZA ) ≅ ZA _σ .

Oryginalny dowód Ulma opierał się na rozszerzeniu teorii elementarnych dzielników na nieskończone macierze .

Formuła alternatywna

George Mackey i Irving Kaplansky uogólnili twierdzenie Ulma na pewne moduły w całym dyskretnym pierścieniu wyceny . Wprowadzili niezmienniki grup abelowych, które prowadzą do bezpośredniego stwierdzenia klasyfikacji policzalnych okresowych grup abelowych: biorąc pod uwagę grupę abelową A , liczbę pierwszą p i liczbę porządkową α , odpowiednim niezmiennikiem α th Ulm jest wymiar ilorazu

p ^α ZA [ p ]/ p ^{α +1} ZA [ p ],

gdzie B [ p ] oznacza p -skrętność grupy abelowej B , czyli podgrupy elementów rzędu p , widzianej jako przestrzeń wektorowa nad ciałem skończonym z p elementami.

Przeliczalna okresowa zredukowana grupa abelowa jest określona jednoznacznie aż do izomorfizmu przez jej niezmienniki Ulma dla wszystkich liczb pierwszych p i policzalnych liczb porządkowych α .

Ich uproszczony dowód twierdzenia Ulma służył jako model dla wielu dalszych uogólnień na inne klasy grup i modułów abelowych.

• László Fuchs (1970), Nieskończone grupy abelowe, tom. ja . Matematyka czysta i stosowana, tom. 36. Nowy Jork – Londyn: Academic Press MR 0255673
• Irving Kaplansky i George Mackey , Uogólnienie twierdzenia Ulma . Summa Brasil. Matematyka 2, (1951), 195-202 MR 0049165
•   Kurosh, AG (1960), Teoria grup , Nowy Jork: Chelsea, MR 0109842
•   Ulm, H. (1933). „Zur Theorie der abzählbar-unendlichen Abelschen Gruppen”. Matematyka Anna . 107 : 774–803. doi : 10.1007/bf01448919 . JFM 59.0143.03 .