Zielona miara

W matematyce — szczególnie w analizie stochastycznej — miara Greena jest miarą związaną z dyfuzją Itō . Istnieje powiązana formuła Greena reprezentująca odpowiednio gładkie funkcje pod względem miary Greena i czasów pierwszego wyjścia z dyfuzji. Pojęcia te zostały nazwane na cześć brytyjskiego matematyka George'a Greena i są uogólnieniami klasycznej funkcji Greena i wzór Greena do przypadku stochastycznego za pomocą wzoru Dynkina .

Notacja

Niech X będzie dyfuzją Itō o wartości R ⁿ spełniającą stochastyczne równanie różniczkowe Itō o postaci

${\ Displaystyle \ operatorname {d} X_ {t} = b (X_ {t}) \ \ operatorname {d} t + \ sigma (X_ {t}) \ \ operatorname {d} B_ {t}.}$

₀ Niech P ^x oznacza prawo X przy danym stanie początkowym X = x , a E x ^oznacza oczekiwanie względem P ^x . Niech L _X będzie nieskończenie małym generatorem X , tj

${\ Displaystyle L_ {X} = \ suma _ {i} b_ {i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {i}}} + {\ Frac {1} {2}} \ suma _ {i ,j}{\big (}\sigma \sigma ^{\top }{\big)}_{i,j}{\frac {\częściowe ^{2}}{\częściowe x_{i}\,\częściowe x_{j}}}.}$

Niech D ⊆ R ⁿ będzie dziedziną otwartą , ograniczoną ; niech τ _D będzie pierwszym czasem wyjścia X z D :

${\ Displaystyle \ tau _ {D}: = \ inf \ {t \ geq 0 | X_ {t} \ nie \ w D \}.}$

Zielona miara

Intuicyjnie, miara Greena zbioru borelowskiego H (w odniesieniu do punktu x i domeny D ) jest oczekiwaną długością czasu, przez który X , rozpoczynając w x , pozostaje w H , zanim opuści dziedzinę D . Oznacza to, że miara Greena X względem D w x , oznaczona jako G ( x , ·) , jest zdefiniowana dla zbiorów borelowskich H ⊆ R ⁿ przez

${\ Displaystyle G (x, H) = \ mathbf {E} ^ {x} \ lewo [\ int _ {0 }^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],}$

lub dla ograniczonych, ciągłych funkcji f : D → R przez

${\ Displaystyle \ int _ {D} f (y) \, G (x, \ operatorname { d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right] }$

Nazwa „zielona miara” pochodzi od faktu, że jeśli X jest ruchem Browna , to

$\ Displaystyle G (x, H) = \ int _ {H} G (x, y) \, \ operatorname {d} y,}$

gdzie G ( x , y ) jest funkcją Greena dla operatora L _X (który w przypadku ruchu Browna wynosi ½ Δ, gdzie Δ jest operatorem Laplace'a ) w dziedzinie D .

Zielona formuła

Załóżmy, że E ^x [ τ _D ] < +∞ dla wszystkich x ∈ D , i niech f : R ⁿ → R będzie klasy gładkości C ² ze zwartym nośnikiem . Następnie

${\ Displaystyle f (x) = \ mathbf {E} ^ {x} {\ duży [} f {\ duży (} X _ {\ tau _ {D}} {\ duży)} {\ duży ]} - \ int _{D}L_{X}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y).}$

W szczególności dla funkcji C ² f ze wsparciem kompaktowo osadzonym w D ,

${\ Displaystyle f (x) = - \ int _ {D} L_ {X} f (y) \, G (x, \ operatorname {d} y).}$

Dowodem wzoru Greena jest łatwe zastosowanie wzoru Dynkina i definicji miary Greena:

$\ Displaystyle \ mathbf {E} ^ {x} {\ duży [} f {\ duży (} X _ {\ tau _ {D}} {\ duży)} {\ duży ]}}$

${\ Displaystyle = f (x) + \ mathbf {E} ^ {x} \ lewo [\ int _ { 0}^{\tau _{D}}L_{X}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right]}$

${\ Displaystyle = f (x) + \ int _ {D} L_ {X} f (y) \, G (x, \ operatorname {d} y).} Øksendal, Bernt K. (2003$

•   ) . Równania różniczkowe stochastyczne: wprowadzenie z aplikacjami (wyd. Szóste). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1 . MR 2001996 (patrz sekcja 9)