Zlinearyzowany wielomian

W matematyce , zlinearyzowany wielomian (lub q -wielomian) jest wielomianem , dla którego wykładniki wszystkich jednomianów składowych są potęgami q , a współczynniki pochodzą z jakiegoś rozszerzenia pola skończonego rzędu q .

Typowy przykład piszemy jako

$$\ Displaystyle L (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {q ^ {i}},}$$

gdzie każdy $)$ w $\ Displaystyle F_ {q ^ {m}} (= \ nazwa operatora {GF} (q ^ {m$ dla pewnej ustalonej dodatniej liczby całkowitej ${\ displaystyle m}$ .

Ta szczególna klasa wielomianów jest ważna zarówno z teoretycznego, jak i aplikacyjnego punktu widzenia. Wysoce ustrukturyzowany charakter ich korzeni sprawia, że ​​korzenie te są łatwe do określenia.

Nieruchomości

• Mapa x ↦ L ( x ) jest mapą liniową na dowolnym polu zawierającym F _q .
• Zbiór pierwiastków L jest przestrzenią F _q - wektorową i jest domknięty pod mapą q - Frobeniusa .
• I odwrotnie, jeśli U jest dowolną F _q - podprzestrzenią liniową pewnego ciała skończonego zawierającego F _q , to wielomian, który znika dokładnie na U , jest wielomianem linearyzowanym.
• Zbiór zlinearyzowanych wielomianów nad danym ciałem jest domknięty na dodawanie i składanie wielomianów.
• Jeśli L jest niezerowym zlinearyzowanym wielomianem nad ${q ^ {n}}$ jego pierwiastkami leżącymi w polu rozszerzeniem, fa $\ Displaystyle$ fa $n}}}$ , to każdy pierwiastek z L ma tę samą krotność, która wynosi albo 1, albo dodatnią potęgę q .

Mnożenie symboliczne

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch zlinearyzowanych wielomianów nie będzie zlinearyzowanym wielomianem, ale ponieważ złożenie dwóch zlinearyzowanych wielomianów daje wielomian zlinearyzowany, skład może być użyty jako zamiennik mnożenia iz tego powodu skład jest często nazywany symbolicznym mnożenie w tym ustawieniu. Notacyjnie, jeśli L ₁ ( x ) i L ₂ ( x ) są zlinearyzowanymi wielomianami, to definiujemy

$${\ Displaystyle L_ {1} (x) \ czasami L_ {2} (x) = L_ {1} (L_ {2} (X))}$$

kiedy przyjmuje się ten punkt widzenia.

Powiązane wielomiany

Wielomiany L ( x ) i

$${\ Displaystyle l (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}$$

są q-stowarzyszonymi (uwaga: wykładniki „ q ⁱ ” z L ( x ) zostały zastąpione przez „ i ” w l ( x )). Dokładniej, l ( x ) jest nazywany konwencjonalnym q-asocjatem L ( x ) , a L ( x ) jest linearyzowanym q-associatem l ( x ) .

q - wielomiany nad F _q

Zlinearyzowane wielomiany o współczynnikach w F _q mają dodatkowe własności, które pozwalają na definiowanie podziału symbolicznego, redukowalności symbolicznej i faktoryzacji symbolicznej. Dwa ważne przykłady tego ${\textstyle \operatorname {Tr} (x) = \ suma _ {i = 0} ^ {n-1} x ^ {q ^ {i}}.}$$)$ automorfizm Frobeniusa funkcja

W tym szczególnym przypadku można wykazać, że jako operacja mnożenie symboliczne jest przemienne , asocjacyjne i dystrybuuje po zwykłym dodawaniu. Również w tym szczególnym przypadku możemy zdefiniować operację dzielenia symbolicznego . Jeśli L ( x ) i L ₁ ( x ) są zlinearyzowanymi wielomianami nad F _q , mówimy , że L ₁ ( x ) symbolicznie dzieli L ( x ) jeśli istnieje zlinearyzowany wielomian L ₂ ( x ) nad F _q dla którego:

$${\ Displaystyle L (x) = L_ {1} (x) \ czasami L_ {2} (x).}$$

Jeśli L ₁ ( x ) i L ₂ ( x ) są zlinearyzowanymi wielomianami nad F _q z konwencjonalnymi q -asocjatami odpowiednio l ₁ ( x ) i l ₂ ( x ), to L ₁ ( x ) symbolicznie dzieli L ₂ ( x ) jeśli i tylko wtedy, gdy l ₁ ( x ) dzieli l ₂ ( x ). Ponadto L ₁ ( x ) dzieli L ₂ ( x ) w zwykłym znaczeniu w tym przypadku.

Zlinearyzowany wielomian L ( x ) nad F _q stopnia > 1 jest symbolicznie nieredukowalny po F _q , jeśli jedyne rozkłady symboliczne

$${\ Displaystyle L (x) = L_ {1} (x) \ czasami L_ {2} (x),}$$

gdzie L _i nad F _q to te, dla których jeden z czynników ma stopień 1. Należy zauważyć, że wielomian symbolicznie nierozkładalny jest zawsze redukowalny w zwykłym sensie, ponieważ każdy zlinearyzowany wielomian stopnia > 1 ma nietrywialny czynnik x . Zlinearyzowany wielomian L ( x ) nad F _q jest symbolicznie nierozkładalny wtedy i tylko wtedy , gdy jego konwencjonalny q - asocjat l ( x ) jest nierozkładalny nad F _q .

Każdy q -wielomian L ( x ) nad F _q stopnia > 1 ma symboliczny faktoryzację na symbolicznie nieredukowalne wielomiany nad F _q i ten rozkład na czynniki jest zasadniczo unikalny (aż do przekształcenia czynników i pomnożenia przez niezerowe elementy F _q ).

Rozważmy na przykład 2-wielomian L ( x ) = x ¹⁶ + x ⁸ + x ² + x nad F ₂ i jego konwencjonalny 2-skojarzony l ( x ) = x ⁴ + x ³ + x + 1. Faktoryzacja na nierozkładalne l ( x ) = ( x ² + x + 1)( x + 1) ² w F ₂ [ x ] daje faktoryzację symboliczną

$${\ Displaystyle L (x) = (x ^ {4} + x ^ {2} + x) \ czasami (x ^ {2} + x) \ czasami (x ^ {2} + x).}$$

Wielomiany afiniczne

Niech L będzie zlinearyzowanym wielomianem nad ${\ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$ . Wielomian postaci ${\ Displaystyle A (x) = L (x) - \ alfa {\ tekst {dla}} \ alfa \ w F_ {q ^ {n}},}$ jest wielomianem afinicznym nad ${\ displaystyle F_ {q ^ {n}}}$ .

Twierdzenie $}$ Jeśli A jest niezerowym wielomianem afinicznym nad wszystkimi jego pierwiastkami leżącymi w polu $Displaystyle F_ {q ^ {$ pole rozszerzenia $to$ pierwiastek A ma samą krotność, która wynosi 1 lub dodatnią potęgę q .

Notatki

•    Lidla, Rudolfa; Niederreiter, Harald (1997). Pola skończone . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 20 (wyd. 2). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 0-521-39231-4 . Zbl 0866.11069 .
•   Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Podręcznik pól skończonych , matematyka dyskretna i jej zastosowania , Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6