ideał Eisensteina

W matematyce ideał Eisensteina jest ideałem w pierścieniu endomorfizmu jakobianowej odmiany krzywej modułowej , składającej się z grubsza z elementów algebry Heckego operatorów Heckego , które unicestwiają szereg Eisensteina . Został wprowadzony przez Barry'ego Mazura ( 1977 ), badając wymierne punkty krzywych modularnych. Liczba pierwsza Eisensteina jest liczbą pierwszą wspierającą ideał Eisensteina (nie ma to nic wspólnego z liczbami pierwszymi w liczbach całkowitych Eisensteina).

Definicja

Niech N będzie wymierną liczbą pierwszą i zdefiniuj

₀ jot ( N ) = jot

jako jakobianowa odmiana krzywej modułowej

₀ X ( N ) = X .

Dla każdej liczby pierwszej l niedzielącej N istnieją endomorfizmy T1 _z J. Pochodzą one od operatora Heckego, traktowanego najpierw jako korespondencja algebraiczna na X , a stamtąd jako działający na klasach dzielników , co daje działanie na J . Istnieje również inwolucja Fricke'a w (i inwolucje Atkina-Lehnera, jeśli N jest złożone). Ideał Eisensteina w (jednostkowym) podpierścieniu End( J ) generowanym jako pierścień przez T _l , jest generowany jako ideał przez elementy

T _l - l - 1

dla wszystkich l nie dzielących N , i przez

w + 1.

Definicja geometryczna

₀ Załóżmy, że T * jest pierścieniem generowanym przez operatory Heckego działające na wszystkie formy modułowe dla Γ ( N ) (nie tylko formy wierzchołkowe). Pierścień T operatorów Heckego na formach wierzchołkowych jest ilorazem T *, więc Spec( T ) może być postrzegany jako podschemat Spec( T *). Podobnie Spec( T *) zawiera prostą (zwaną linią Eisensteina) izomorficzną ze Spec( Z ) pochodzącą z działania operatorów Heckego na szereg Eisensteina. Ideał Eisensteina to ideał określający przecięcie linii Eisensteina ze Spec( T ) w Spec( T *).

Przykład

• Ideał Eisensteina można również zdefiniować dla form modułowych o większej masie. Załóżmy, że T jest pełną algebrą Heckego generowaną przez operatory Heckego T _n działające na dwuwymiarowej przestrzeni form modułowych o poziomie 1 i wadze 12. Przestrzeń ta jest dwuwymiarowa, rozpięta przez formy własne podane przez szereg Eisensteina E ₁₂ i modułowy dyskryminator Δ. Mapa przyjmująca operatora Heckego T _n do jego wartości własnych (σ ₁₁ ( n ), τ (n)) daje homomorfizm od T do pierścienia Z × Z (gdzie τ jest funkcją tau Ramanujana , a σ ₁₁ ( n ) jest suma 11 potęg dzielników n ). Obraz jest zbiorem par ( c , d ) z c i d kongruentnym mod 691 ze względu na kongruencję Ramanujana σ ₁₁ ( n ) ≡ τ (n) mod 691. Algebra Heckego operatorów Heckego działających na wierzchołku forma Δ jest po prostu izomorficzny do Z . Jeśli utożsamimy to z Z , to ideał Eisensteina to (691).

•    Mazur, Barry (1977), „Krzywe modułowe i ideał Eisensteina” , Publications Mathématiques de l'IHÉS (47): 33–186, ISSN 1618-1913 , MR 0488287
• ₀  Mazur, Kasia ; Serre, Jean-Pierre (1976), "Points rationnels des courbes modulaires X (N) (d'après A. Ogg)", Séminaire Bourbaki (1974/1975), Exp. nr 469 , Notatki z wykładu z matematyki, tom. 514, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 238–255, MR 0485882