rangi Morleya

W logice matematycznej ranga Morleya , wprowadzona przez Michaela D. Morleya ( 1965 ) , jest środkiem pomiaru wielkości podzbioru modelu teorii , uogólniającym pojęcie wymiaru w geometrii algebraicznej .

Definicja

Połącz teorię T z modelem M . Ranga Morleya formuły φ definiującej definiowalny (z parametrami) podzbiór S z M jest liczbą porządkową lub −1 lub ∞, zdefiniowaną najpierw przez rekurencyjne zdefiniowanie, co to znaczy, że formuła ma rangę Morleya co najmniej α dla jakiejś porządkowej α .

• Ranga Morleya wynosi co najmniej 0, jeśli S nie jest puste.
• Dla następnika porządkowego α ranga Morleya wynosi co najmniej α , jeśli w jakimś elementarnym rozszerzeniu N z M zbiór S ma przeliczalnie nieskończenie wiele rozłącznych definiowalnych podzbiorów S _i , każdy o randze co najmniej α − 1.
• Dla α niezerowej granicy porządkowej , ranga Morleya wynosi co najmniej α , jeśli jest co najmniej β dla wszystkich β mniejszych niż α .

Ranga Morleya jest następnie definiowana jako α , jeśli wynosi co najmniej α , ale nie co najmniej α + 1, i jest zdefiniowana jako ∞, jeśli wynosi co najmniej α dla wszystkich liczb porządkowych α , i jest zdefiniowana jako −1, jeśli S jest pusty.

₀₀ Dla definiowalnego podzbioru modelu M (określonego wzorem φ ) ranga Morleya jest definiowana jako ranga Morleya φ w dowolnym ℵ - nasyconym elementarnym rozszerzeniu M . W szczególności dla modeli nasyconych ℵ, ranga Morleya podzbioru jest rangą Morleya dowolnej formuły definiującej podzbiór.

  Jeśli φ definiujące S ma rangę α , a S rozpada się na nie więcej niż n < ω podzbiory rangi α , to mówi się, że φ ma stopień Morleya n . Formuła definiująca zbiór skończony ma rangę Morleya 0. Formuła o randze Morleya 1 i stopniu Morleya 1 nazywana jest silnie minimalną . Zdecydowanie minimalna struktura to taka, w której trywialna formuła x = x jest zdecydowanie minimalny. Ranga Morleya i zdecydowanie minimalne struktury są kluczowymi narzędziami w dowodzie twierdzenia Morleya o kategoryczności oraz w szerszym obszarze teoretycznej teorii stabilności modeli .

Przykłady

• Pusty zbiór ma rangę Morleya -1 i odwrotnie, wszystko, co ma rangę Morleya -1, jest puste.
• Podzbiór ma rangę Morleya 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony i niepusty.
• Jeśli V jest zbiorem algebraicznym w K ⁿ , dla ciała algebraicznie domkniętego K , to stopień Morleya V jest taki sam jak jego zwykły wymiar Krulla . Stopień V Morleya to liczba nieredukowalnych składników o maksymalnym wymiarze; to nie to samo, co jego stopień w geometrii algebraicznej , z wyjątkiem sytuacji, gdy jego składnikami maksymalnego wymiaru są przestrzenie liniowe.
• Liczby wymierne , uważane za zbiór uporządkowany , mają rangę Morleya ∞, ponieważ zawierają przeliczalną rozłączną sumę definiowalnych podzbiorów izomorficznych względem siebie.

Zobacz też

• Przypuszczenie Cherlina-Zilbera
• Grupa skończonego rzędu Morleya
• ranga U

• Alexandre Borovik , Ali Nesin, „Grupy skończonej rangi Morleya”, Oxford Univ. Prasa (1994)
• B. Teoria stabilności Harta i jej warianty (2000), s. 131–148 w: Teoria modeli, algebra i geometria , pod redakcją D. Haskella i in., Math. nauka Rez. Inst. Publikacja 39, Uniwersytet Cambridge Press, New York, 2000. Zawiera formalną definicję rangi Morleya.
• David Marker Model Theory of Differential Fields (2000) s. 53–63 w: Teoria modeli, algebra i geometria , pod redakcją D. Haskella i in., Math. nauka Rez. Inst. Publikacja 39, Uniwersytet Cambridge Prasa, Nowy Jork, 2000.
•   Morley, MD (1965), „Kategoryczność u władzy”, przeł. Amer. Matematyka soc. , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , 114 (2): 514–538, doi : 10.2307/1994188 , JSTOR 1994188
• Pillay, Anand (2001) [1994], „Grupa skończonego stopnia Morleya” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Pillay, Anand (2001) [1994], „Ranga Morleya” , Encyklopedia matematyki , EMS Press