Charakterystyka theta
W matematyce charakterystyczna theta nieosobliwej krzywej algebraicznej C jest klasą dzielnika Θ taką, że 2Θ jest klasą kanoniczną . Pod względem holomorficznych wiązek linii L na połączonej zwartej powierzchni Riemanna , jest zatem L takie, że L 2 jest wiązką kanoniczną , tutaj również równoważnie holomorficzną wiązką kostyczną . Pod względem geometrii algebraicznej , równoważną definicją jest snop odwracalny , który jest kwadratem do snopka różniczek pierwszego rodzaju . Cechy theta zostały wprowadzone przez Rosenhaina ( 1851 )
Historia i rodzaj 1
Znaczenie tego pojęcia zostało uświadomione najpierw w analitycznej teorii funkcji theta , a geometrycznie w teorii bitangentów . W teorii analitycznej istnieją cztery podstawowe funkcje theta w teorii jakobianowych funkcji eliptycznych . Ich etykiety są w efekcie charakterystyką theta krzywej eliptycznej . W takim przypadku klasa kanoniczna jest trywialna (zero w grupie klas dzielników ), a więc charakterystyka theta krzywej eliptycznej E nad liczbami zespolonymi widać, że odpowiadają one 1-1 czterem punktom P na E z 2 P = 0; to liczenie rozwiązań wynika jasno ze struktury grupowej, iloczynu dwóch grup kołowych , gdy E jest traktowane jako torus zespolony .
Wyższy rodzaj
Dla C rodzaju 0 istnieje jedna taka klasa dzielników, a mianowicie klasa -P , gdzie P jest dowolnym punktem na krzywej. W przypadku wyższego rodzaju g , zakładając, że pole, na którym definiuje się C , nie ma cechy 2 , cechy theta można policzyć jako
- 2 2 gr
w liczbie, jeśli ciało podstawowe jest algebraicznie domknięte.
Dzieje się tak dlatego, że rozwiązania równania na poziomie klasy dzielników będą tworzyć pojedynczy coset rozwiązań
- 2 D = 0.
Innymi słowy, z K klasą kanoniczną i Θ dowolnym rozwiązaniem
- 2Θ = K ,
każde inne rozwiązanie będzie miało formę
- Θ + D .
Zmniejsza to liczenie cech theta do znalezienia drugiego stopnia jakobianowej odmiany J ( C ) z C. W przypadku zespolonym znowu wynika wynik, ponieważ J ( C ) jest złożonym torusem o wymiarze 2 g . W polu ogólnym zobacz teorię wyjaśnioną w macierzy Hasse-Witt do liczenia rangi p odmiany abelowej . Odpowiedź jest taka sama, pod warunkiem, że charakterystyka pola nie jest równa 2.
Charakterystyka theta Θ będzie nazywana parzystą lub nieparzystą w zależności od wymiaru jej przestrzeni przekrojów globalnych . Okazuje się, że na są parzyste i 2 dziwne cechy theta.
Teoria klasyczna
Klasycznie charakterystyki teta dzielono na te dwa rodzaje, nieparzyste i parzyste, zgodnie z wartością niezmiennika Arfa pewnej postaci kwadratowej Q o wartościach mod 2. Zatem w przypadku g = 3 i płaskiej krzywej kwartalnej , było 28 jednego typu, a pozostałych 36 drugiego; jest to podstawowe w kwestii liczenia bitangentów, ponieważ odpowiada 28 bitangentom quartic . Geometryczna konstrukcja Q jako forma przecięcia jest możliwe algebraicznie przy użyciu nowoczesnych narzędzi. W rzeczywistości parowanie Weila w swojej odmianie abelowej . Trójki (θ 1 , θ 2 , θ 3 ) o charakterystyce theta nazywane są syzygetycznymi i asyzygetycznymi w zależności od tego, czy Arf(θ 1 )+Arf(θ 2 )+Arf(θ 3 )+Arf(θ 1 +θ 2 +θ 3 ) wynosi 0 lub 1.
Struktury spinowe
Atiyah (1971) wykazał, że dla zwartej rozmaitości zespolonej wybory charakterystyk theta odpowiadają bijektywnie strukturom spinowym .
- Atiyah, Michael Francis (1971), „Powierzchnie Riemanna i struktury spinowe” , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 4 : 47–62, ISSN 0012-9593 , MR 0286136
- Dołgaczowa , Wykłady na tematy klasyczne, Ch. 5 (PDF)
- Farkas, Gavril (2012), Charakterystyki Theta i ich moduły , arXiv : 1201,2557 , Bibcode : 2012arXiv1201,2557F
- Mumford, David (1971), „Charakterystyka Theta krzywej algebraicznej” , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 4 (2): 181–192, MR 0292836
- Rosenhain, Johann Georg (1851), Mémoire sur les fonctions de deux variables, qui sont les inverses des intégrales ultra-elliptiques de la première classe , Paryż