Filtracja Moya-Prasada

W matematyce filtracja Moya-Prasada to rodzina filtracji p -adycznych grup redukcyjnych i ich algebr Liego , nazwana na cześć Allena Moya i Gopala Prasada . Rodzina jest sparametryzowana przez budynek Bruhat-Tits ; to znaczy każdy punkt budynku daje inną filtrację. Alternatywnie, ponieważ początkowym terminem w każdej filtracji w punkcie budynku jest podgrupa parahoryczna w tym przypadku filtrację Moya-Prasada można postrzegać jako filtrację parahorycznej podgrupy grupy redukcyjnej.

Główne zastosowanie filtracji Moya-Prasada dotyczy teorii reprezentacji grup p -adycznych, gdzie można jej użyć do zdefiniowania pewnej liczby rzeczywistej zwanej głębokością reprezentacji . Reprezentacje głębi r można lepiej zrozumieć, badając r -te podgrupy Moy-Prasad. Informacje te prowadzą następnie do lepszego zrozumienia ogólnej struktury reprezentacji, a zrozumienie to z kolei ma zastosowanie w innych obszarach matematyki, takich jak teoria liczb za pośrednictwem programu Langlands .

Historia

W swojej fundamentalnej pracy nad teorią budynków Bruhat i Tits zdefiniowali podgrupy związane z wklęsłymi funkcjami systemu korzeniowego. Te podgrupy są szczególnym przypadkiem podgrup Moy-Prasad, zdefiniowanych, gdy grupa jest podzielona . Głównymi innowacjami Moya i Prasada było uogólnienie konstrukcji Bruhata-Titsa na grupy quasi-rozdzielone , w szczególności tori , oraz wykorzystanie podgrup do zbadania teorii reprezentacji grupy otoczenia.

Przykłady

$W$ poniższych przykładach $użyto$ -adic wymiernych i p -adic liczb Czytelnik niezaznajomiony z tymi pierścieniami może zamiast tego zastąpić liczby wymierne i ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}$$}$ i ${p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}$ przez liczby całkowite ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ bez utraty głównej idei.

Grupa multiplikatywna

Najprostszym $_$ p grupy redukcyjnej jest multiplikatywna grupa p -adycznych jednostek Ponieważ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}}$ jest abelowe , ma unikalną podgrupę parahoryczną, ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy }}$ . Podgrupy Moy – Prasad ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}}$ to wyższe grupy jednostek ${\ Displaystyle U ^ {(r)}}$ , gdzie dla uproszczenia ${\ displaystyle r}$ jest Dodatnia liczba całkowita:

$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}) _ {r} = 1 + (p \ \ mathbb {Z} _ {p}) ^ {r} = \ {u \ w \mathbb {Z} _{p}^{\razy}:u\równoważnik 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$

Algebra Liego z ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} ^ {\ razy}}$ to ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ , a jej podalgebry Moya – Prasada to niezerowe ideały : ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ :

$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {p}) _ {r} = (p \ \ mathbb {Z} _ {p}) ^ {r} = \ {p ^ {r} a: a \ in \mathbb {Z} _{p}\}.}$$

Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli jest dodatnią $liczbą$ rzeczywistą, wówczas używamy funkcji podłogi do zdefiniowania podgrupy i podalgebry Moya-Prasada: $\ displaystyle r}$

$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} _ {p} ^ {\ razy}) _{r}:=(\mathbb {Z} _{p}^{\times})_{\lfloor r\rfloor},\qquad (\mathbb {Z} _{p})_{r}:= (\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor}}$$

Ten przykład ilustruje ogólne zjawisko polegające na tym, że chociaż filtracja Moya-Prasada jest indeksowana przez nieujemne liczby rzeczywiste, filtracja przeskakuje tylko na dyskretny, okresowy podzbiór, w tym przypadku liczby naturalne. $\ displaystyle r}$ szczególności zwykle zdarza się, że podgrupy Moy-Prasad są równe, jeśli jest tylko nieznacznie większy niż $displaystyle$$\$$r} th$ s .

Ogólna grupa liniowa

Innym ważnym przykładem p -adycznej grupy redukcyjnej jest ogólna grupa liniowa ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Q} _ {p})}$ ; ten przykład uogólnia poprzedni, ponieważ ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {1} (\ mathbb {Q} _ {p}) = \ mathbb {Q} _ { p}^{\razy}}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle {\ text {GL}} _ {n} (\ mathbb {Q} _ {p})} jest$ nieabelowe (gdy ${\ displaystyle n \ geq 2}$ ), ma nieskończenie wiele podgrup parahorycznych. Jedną szczególną podgrupą parahoryczną jest ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p})}$ . Podgrupy Moy-Prasad ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p}$ } ${\ displaystyle 1}$ modulo wysokie potęgi ${\ displaystyle p}$ . W szczególności, gdy $liczbą całkowitą$ którą definiujemy

$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p}) _ {r} = 1 + (p \, {\ tekst {M}} _ {n} (\ mathbb {Z} _{p}})^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\odpowiednik 1{\bmod { p^{r}}}\}.}$$

gdzie $M}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p})} jest$$mathbb {Z} _{p}}$${$ algebrą n × n macierzy ze współczynnikami . Algebra Liego ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Q} _ {p})}$ to ${\ Displaystyle {\ tekst { M}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ , a jej podalgebry Moya – Prasada to przestrzenie macierzy równe macierzy zerowej modulo wysokimi potęgami ; ${\ displaystyle p}$ ; kiedy $całkowitą,$ definiujemy

$${\ Displaystyle {\ tekst {M}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p}) _ {r} = (p \, {\ tekst {M}} _ {n} (\ mathbb {Z } _{p}})^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\równoważnik 0{\bmod {p^ {R}}}\}.}$$

Wreszcie, tak jak poprzednio, jeśli jest dodatnią $liczbą$ rzeczywistą, to używamy funkcji podłogi do zdefiniowania podgrupy i podalgebry Moya-Prasada: $\ displaystyle r }$

$${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n }(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor},\ qquad {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p} )_{\lpodłoga r\rpodłoga}}$$

W tym przykładzie grupy Moy-Prasad byłyby częściej oznaczane przez ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Q} _ {p}) _ {x, r}}$ zamiast ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p}) _ {r}} gdzie$ x $\ displaystyle x}$ jest punktem budynku ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Q} _ {p})}$ której odpowiednią podgrupą parahoryczną jest ${\ Displaystyle {\ tekst {GL}} _ {n} (\ mathbb {Z} _ {p}).}$

Nieruchomości

– Prasada jest powszechnie stosowana do badania teorii reprezentacji grup p -adycznych, można skonstruować podgrupy Moya – Prasada na dowolnym $polu$ henselowskim o dyskretnych , a nie tylko na niearchimedesowym polu lokalnym. W tej i kolejnych sekcjach założymy zatem, że zmienna bazowa jest henselowska i ma wartości dyskretne oraz z pierścieniem liczb całkowitych. $k$$k}}$ . Niemniej jednak czytelnik może dla uproszczenia założyć, że ${\ displaystyle k = \ mathbb {Q} _ {p}}$ , więc ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ { k}=\mathbb {Z} _{p}}$ .

Niech $będzie$ redukcyjną ${$ -grupą, niech niech $będzie$ punktem rozszerzonego budynku Bruhata-Titsa $displaystyle G}$${\ displaystyle G}$ . R ${\ displaystyle r}$ th Moy-Prasad podgrupa ${\ Displaystyle G (k)}$ w $\ displaystyle x}$ jest oznaczona przez ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r}}$ . Podobnie, $displaystyle$ -Prasada z at $jest$$x}$ oznaczona przez $}}_{x,r}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g$ ; jest to darmowy moduł obejmujący $x$$}$ , lub innymi słowy, krata . (W rzeczywistości algebrę Liego $)$${\ Displaystyle G (k) _ {x, r}}$ zdefiniować, gdy grupa $<0$ nie może.)

Być może najbardziej podstawową właściwością filtracji Moya-Prasada jest to, że maleje: jeśli to $mathfrak {g$ ⊇ $s$ i ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r} \supseteq G(k)_{x,s}}$ . Standardowo definiuje się wówczas podgrupę i podalgebrę

$${\ Displaystyle G (k) _ {x, r +}: = \ bigcup _ {s> r} G (k) _ {x, s}, \ qquad {\ mathfrak {g}} _ {x, r +}: =\bigcup _{s>r}{\mathfrak {g}}_{x,s}.}$$

Ta konwencja jest tylko skrótem notacyjnym, ponieważ dla każdego $displaystyle {\mathfrak$ takie $\$ sol $ε$ i ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r +} = G (k) _ {x, r + \ varepsilon}}$ .

Filtracja Moy-Prasad spełnia następujące dodatkowe właściwości.

• Skok w ${\ displaystyle G ( k)_{x,r+}\neq G(k)_{x,r}}$ definiowany jako indeks (to znaczy nieujemna liczba rzeczywista) $taka$ , że ( . Zbiór skoków jest dyskretny i przeliczalnie nieskończony .
• Jeśli $Displaystyle r \ równoważnik$$G (k) _ {x, r}}$$,$ } podgrupą sol x i $\ mathfrak {g}} _ {x, s}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _{x,r}}$ jest ideałem sol . Jest to konwencja notacji w temacie, aby pisać ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r: s }:=G(k)_{x,r}/G(k)_{x,s}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x, r: s}: = {\ mathfrak {g}} _ {x, r} / {\ mathfrak {g}} _ {x, s}}$ dla powiązane ilorazy.
• Iloraz ${\ Displaystyle G (k) _ {x, 0: 0 +}}$ jest grupą redukcyjną nad polem pozostałości ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ { k}} , a$$- leżącej u$ maksymalny iloraz redukujący specjalnego włókna grupy parahorycznego ${\ Displaystyle G (k )_{x,0}}$ . W szczególności, jeśli $,$$displaystyle k}$ jest niearchimedesowym polem lokalnym (takim jak wtedy ten iloraz jest skończoną grupą typu kłamstwa .
• ${\ Displaystyle [G (k) _ {x, r}, G (k) _ {x, s}]\subseteq G(k)_{x,r+s}}$ i ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}} _ {x, r}, {\ mathfrak {g}} _ {x, s}] \ subseteq {\ mathfrak {g}} _ {x, r + s}}$ ; tutaj pierwszy wspornik to komutator , a drugi to wspornik Liego.
• Dla każdego automorfizmu ${\ displaystyle$$G}$ mamy $k) _{x,r})=G(k)_{\theta (x),r}}$ sol i $_$ _ ${\ Displaystyle {\ tekst {d}} \ teta}$ jest pochodną ${\ displaystyle \ teta}$ .
• ${\ Displaystyle \ varpi}$ z $\ Displaystyle k}$${g}} _ {x, r} = {\mathfrak {g}}_{x,r+1}}$ mamy sol mathfrak .

Przy pewnych założeniach technicznych $.$ jest dodatkowa ważna właściwość $lek 2r}$$,$ właściwością podgrupy komutatora iloraz jeśli $r \$ . W tym przypadku istnieje kanoniczny izomorfizm ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x, r: s} \ cong G (k) _ {x, r: s}} , zwany izomorfizmem Moya$ - Prasada . Technicznym założeniem potrzebnym do istnienia izomorfizmu Moya-Prasada jest to, że $się$$oswojony$ , co oznacza, że ​​​​rozszczepia poskromionym rozgałęzionym rozszerzeniu pola $.$ Jeśli to założenie zostanie naruszone, to ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x, r: s}}$ i ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r: s}}$ niekoniecznie są izomorficzne .

Głębia reprezentacji

Moy-Prasad może być użyty do zdefiniowania ważnego niezmiennika liczbowego gładkiej reprezentacji głębokości $)} reprezentacja$${\ Displaystyle G$ (\ pi, V $: jest$$V}$ najmniejsza liczba $taka$ , że ​​dla pewnego punktu budynku istnieje niezerowy wektor przez $displaystyle$${\ Displaystyle G (k) _ {x, r +}}$ .

W kontynuacji artykułu definiującego ich filtrację, Moy i Prasad udowodnili twierdzenie o strukturze dla reprezentacji superkluskowych o zerowej głębokości. Niech $będzie$$punktem$ w minimalnym budynku to $.$ podgrupa iloraz sol $\ Displaystyle G (k) _ {x, 0: 0 +}}$ jest skończoną grupą typu Liego. Niech $będzie$ inflacją do reprezentacji tego ilorazu $, który$ sensie Lusztiga Stabilizator ${\ Displaystyle G (k) _ {x}}$ z ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle G (k)}$ zawiera grupę parahoryczną ${\ Displaystyle G (k) _ {x, 0}}$ jako normalna podgrupa o skończonym indeksie. Niech $nieredukowalną$ reprezentacją ${\ Displaystyle G (k) _ {x}}$ , której ograniczenie do ${\ Displaystyle G (k) _ {x$ contains $\tau$ as a subrepresentation. Then the compact induction of $\rho$ sol ${\ Displaystyle G (k)}$ jest reprezentacją superkluskową o zerowej głębokości Co więcej, każda reprezentacja superkluskowa o zerowej głębokości jest izomorficzna z jedną z tych postaci.

W oswojonym przypadku oczekuje się, że lokalna korespondencja Langlands zachowa głębię, gdzie głębokość parametru L jest zdefiniowana przy użyciu filtracji górnego numerowania w grupie Weila.

Budowa

Chociaż zdefiniowaliśmy, $że leży w$$rozszerzonym$ budynku $}$ okazuje się, że podgrupa Moy – Prasad sol $Displaystyle G (k) _ {x, r$$}$ zależy tylko od obrazu w $zredukowanym$ budynku, więc nic nie jest stracone, myśląc o w zredukowanym budynku

Nasz opis konstrukcji jest zgodny z artykułem Yu o gładkich modelach.

Tori

Ponieważ torusy algebraiczne są szczególną klasą grup redukcyjnych, teoria filtracji Moya-Prasada ma również do nich zastosowanie. Okazuje się jednak, że $Prasada$ dla ogólnej grupy redukcyjnej opiera się na konstrukcji torusa, więc zaczniemy od omówienia przypadku, w którym . Ponieważ $jest punktem$ istnieje tylko jeden wybór dla $k$ więc usuniemy z zapisu i zapiszemy ${\ Displaystyle T (k) _ {r}: = T (k) _ {x, r}}$ .

Najpierw rozważmy szczególny przypadek, w którym jest ograniczeniem Weila wzdłuż $skończonego,$$rozdzielnego$ rozszerzenia . $}$${\ Displaystyle k}$ , tak że ${\ Displaystyle T (k) = \ ell ^ {\ razy}}$ . W tym przypadku definiujemy ${\ displaystyle T (k) _ {r}}$ jako zbiór za $\ Displaystyle a \ in \ ell ^ {\ razy}}$ taki, że ${\ Displaystyle {\ tekst {val}} _ {k} (x- 1) \ geq r}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ tekst {val}} _ {k}: \ ell \ do \ mathbb {R}}$ jest unikalnym rozszerzeniem wyceny ${\ displaystyle k}$ do ${\ displaystyle \ ell}$ .

Mówimy, że torus jest indukowany , jeśli jest bezpośrednim iloczynem skończonej liczby torusów o postaci rozważanej w poprzednim akapicie. Podgrupa $.$$jest$ zdefiniowana jako iloczyn podgrupy th Moy-Prasad tych czynników

$T}$ , rozważ przypadek, w którym $displaystyle$ ale jest dowolnym torusem. Tutaj podgrupa Moya-Prasada jest zdefiniowana jako punkty całkowe modelu ${\ Displaystyle T (k$ LFT $( k )$ . Ta definicja jest zgodna z poprzednio podaną, gdy $torusem$ indukowanym.

Okazuje się, że każdy torus może być osadzony w torusie indukowanym. Aby $r$ podgrupy Moy-Prasad ogólnego torusa ${\ Displaystyle T (k) _ {r}: = T (k) _ {0} \ czapka S (k) _ {r}}$$wybieramy$ osadzenie torusie indukowanym $=$ definiujemy . Konstrukcja ta jest niezależna od wyboru indukowanego torusa i osadzania.

Grupy redukujące

$Dla$$Moya$ przedstawimy konstrukcję podgrupy Prasada w . Następnie skomentujemy ogólną definicję.

Niech $displaystyle G}$ maksymalnym podzielonym torusem, $którego$ mieszkanie zawiera , i niech będzie systemem korzeniowym sol $\$ z $displaystyle T$$}$ szacunek dla ${\ displaystyle T}$ .

Dla każdego $in \$ będzie pierwotną podgrupą sol. $∈$$Displaystyle$ \ $alpha \$ } $jest$ grupa abstrakcyjna $chociaż$ z ma izomorfizmu kanonicznego. Punkt $pierwiastka$ dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa}$ , addytywna wycena ${\ Displaystyle v _ {\ alfa, x}: U _ {\ alfa} (k) \ do \ mathbb {R}}$ . Definiujemy ${\ Displaystyle U _ {\ alfa} (k) _ {x, r}: = \ {u \ w U _ {\ alfa} (k): v _ {\ alfa, x} (u) \ geq r \}}$ .

Wreszcie podgrupa Moy-Prasad jest zdefiniowana jako podgrupa generowana przez podgrupy ${x, r}}$$Displaystyle G$${\ Displaystyle U _ {\ alfa} (k) _ {x, r}}$ dla ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$ i podgrupy ${\ Displaystyle T (k) _ {r}}$ .

Jeśli nie jest $podzielony$ , to podgrupa Moy-Prasad zdefiniowana przez nierozgałęzione zejście z przypadku quasi-podziału, sol $\ Displaystyle G (k) _ {x, r}}$ standardowa sztuczka w teorii Bruhata-Titsa. Mówiąc dokładniej, najpierw uogólnia się $względnego$ powyżej definicję podgrup Moy – Prasad, która ma zastosowanie, gdy $podzielona$ , ​​do przypadku, w którym jest tylko quasi-podzielona, ​​przy użyciu systemu korzeniowego . . Stąd podgrupę Moy-Prasad można zdefiniować dla dowolnego, $\ displaystyle k ^ {\ tekst$ do maksymalnego nierozgałęzionego rozszerzenia $nr}}} k nr {\ displaystyle k ^ {\ tekst {nr}}}$ { ${\ displaystyle k$ } pole, na którym każda grupa redukcyjna, aw szczególności $Prasad$ pod grupę Galois ${\ displaystyle k ^ {\ tekst {nr}}}$ nad ${\ displaystyle k}$ .

Schematy grupowe

Grupa ma $znacznie większą$ niż grupa punktów wymiernych: $ta$ pierwsza rozmaitością $,$ grupa abstrakcyjna. Z tego $k$$Displaystyle G (k)$ zalet pracy nie tylko z grupą abstrakcyjną ale także z odmianą . Podobnie, $( k ) {\ Displaystyle G (k)} sol$ opisaliśmy jako grupę abstrakcyjną, pewną podgrupę $($ } pożądane, aby $}$$}$ grupą punktów całkowitych schematu grupowego zdefiniowanego przez pierścień liczb całkowitych, tak że ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r} = G_ {x, r} ({\ mathcal {O}} _ {k})}$ . W rzeczywistości możliwe jest skonstruowanie takiego schematu grupowego ${\ displaystyle G_ {x, r}}$ .

Algebry kłamstwa

Niech będzie algebrą Liego z $displaystyle G}$$\ displaystyle {$ . W podobnej procedurze, jak w przypadku grup redukcyjnych, a mianowicie definiując filtracje Moya-Prasada na algebrze Liego torusa i algebrze Liego grupy korzeni, można zdefiniować algebry Lie Moya-Prasada sol x , $, r}}$${ \ mathfrak {g}} _ {$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ sol ; są wolne -moduły, czyli ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k}} -$ kraty w $Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ przestrzeni $\$ . Kiedy okazuje $\mathcal {O}}_ {k}}$$, że$${\ Displaystyle r \ geq 0}$ , okazuje się, że jest tylko algebra Liego z ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {x, r}}$ -schemat grupy ${\ Displaystyle G_ {x, r}}$ .

Zestaw indeksujący

Zdefiniowaliśmy filtrację Moya-Prasada w punkcie, $który$$być$ indeksowany przez zbiór rzeczywistych. $r$${\ displaystyle r +}$$+$ zestawu składającego się z formalnych z ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ . pierwiastek ${\ displaystyle r +}$ jest uważany za nieskończenie większy niż ${\ displaystyle r}$ , a filtracja jest rozszerzona na ten przypadek przez zdefiniowanie $r +}: = \ bigcup _ {s> r} G (k) _ {x, s}}$ . Ponieważ wycena na $dyskretna$ , istnieje ${\ Displaystyle \ varepsilon > 0}$ takie, że ${\ Displaystyle G (k) _ {x, r +} = G (k) _ {x, r+\varepsilon }}$ .

Zobacz też

• Podgrupa kongruencji

Cytaty

•    Bosch, Zygfryd; Lütkebohmert, Werner; Raynaud, Michel (1990). Modele Nerona . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Tom. 21. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-51438-8 . ISBN 978-3-540-50587-7 . MR 1045822 .
•    Bruhat, F.; Cycki, J. (1972). „Groupes Réductifs Sur Un Corps Local” . Publikacje mathématiques de l'IHÉS . 41 (1): 5–251. doi : 10.1007/BF02715544 . ISSN 0073-8301 . MR 0327923 .
• Chen, Tsao-Hsien; Kamgarpour, Masud (2014). „Zachowanie głębi w lokalnej korespondencji geometrycznej Langlandsa”. arXiv : 1404,0598 [ matematyka.RT ].
•    Hakim, J.; Murnaghan, F. (8 lipca 2010). „Wybitne reprezentacje oswojonych nadkłówek”. Międzynarodowe prace badawcze z matematyki . Oxford University Press (OUP). ar Xiv : 0709.3506 . doi : 10.1093/imrp/rpn005 . ISSN 1687-3017 . MR 2431732 .
•    Moy, Allen; Prasad, Gopal (1994). „Nierafinowane minimalne typy K dla p -adic”. Inventiones Mathematicae . 116 (1): 393–408. doi : 10.1007/BF01231566 . hdl : 2027.42/46580 . ISSN 0020-9910 . MR 1253198 .
•    Moy, Allen; Prasad, Gopal (1996). „Funktory Jacqueta i nierafinowane minimalne typy K”. Commentarii Mathematici Helvetici . Wydawnictwo Europejskiego Towarzystwa Matematycznego. 71 (1): 98–121. doi : 10.1007/bf02566411 . ISSN 0010-2571 . MR 1371680 .
•   Yu, Jiu-Kang (2015). „Gładkie modele związane z funkcjami wklęsłymi w teorii Bruhata-Titsa”. Autour des schémas en groupes, tom. III . panorama. syntezy. Tom. 47. s. 227–258. MR 3525846 .