Formuła przybliżenia sinusoidalnego Bhaskary I

W matematyce wzór przybliżenia sinusa Bhaskary I jest racjonalnym wyrażeniem w jednej zmiennej do obliczania przybliżonych wartości sinusów trygonometrycznych odkrytych przez Bhaskarę I (ok. 600 - ok. 680), indyjskiego matematyka z VII wieku . Ta formuła jest podana w jego traktacie zatytułowanym Mahabhaskariya . Nie wiadomo, w jaki sposób Bhaskara I doszedł do swojej formuły przybliżenia. Jednak kilku historyków matematyki wysunęło różne hipotezy dotyczące metody, której mógł użyć Bhaskara, aby dojść do swojego wzoru . Formuła jest elegancka, prosta i umożliwia obliczenie w miarę dokładnych wartości sinusów trygonometrycznych bez użycia jakiejkolwiek geometrii.

Formuła przybliżenia

Formuła jest podana w wersetach 17 - 19, rozdział VII, Mahabhaskariya Bhaskara I. Tłumaczenie wersetów podano poniżej:

• (Teraz) pokrótce przedstawię regułę (znalezienia bhujaphali i kotiphali itd.) bez korzystania z różnic sinusoidalnych 225 itd. Odejmij stopnie bhudży ( lub koti ) od stopni półkola ( czyli 180 stopni). Następnie pomnóż resztę przez stopnie bhuja lub koti i zapisz wynik w dwóch miejscach. W jednym miejscu odejmij wynik od 40500. Przez jedną czwartą reszty (w ten sposób otrzymanej) podziel wynik w drugim miejscu pomnożony przez ' anthyaphala ( to znaczy promień epicykliczny). W ten sposób uzyskuje się całą bahuphala (lub kotiphala ) dla słońca, księżyca lub gwiezdnych planet. W ten sposób uzyskuje się również bezpośrednie i odwrotne Rsinusy.

(Odniesienie „Rinus-różnice 225” jest aluzją do tabeli sinusów Aryabhaty ).

We współczesnych notacjach matematycznych dla kąta x w stopniach ten wzór daje

${\ Displaystyle \ sin x ^ {\ circ} \ około {\ Frac {4x (180-x)} {40500-x (180 -X)}}}$

Równoważne formy formuły

Formułę przybliżenia sinusa Bhaskary I można wyrazić za pomocą radianowej miary kątów w następujący sposób.

${\ Displaystyle \ sin x \ około {\ Frac {16x (\ pi -x)} {5 \ pi ^ {2} -4x (\ pi -x)}}.}$

Dla dodatniej liczby całkowitej n ma to następującą postać:

${\ Displaystyle \ sin {\ Frac {\ pi} {n}} \ około {\ Frac {16 (n-1)} {5n ^ {2} -4n + 4}}.}$

Formuła nabiera jeszcze prostszej postaci, gdy jest wyrażona w postaci cosinusa, a nie sinusa. Używanie miary radianowej dla kątów od ${\ Displaystyle - {\ Frac {\ pi} {2}}}$ do ${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {2}}}$ i oddanie ${\ Displaystyle x = {\ tfrac {1} {2}} \ pi + y}$ , dostaje się

${\ Displaystyle \ cos y \ około {\ Frac {\ pi ^ {2} -4y ^ {2}} {\ pi ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Aby wyrazić poprzedni wzór za pomocą stałej, można użyć ${\ Displaystyle \ tau = 2 \ pi}$

$${\ Displaystyle \ sałata y \ około 1- {\ Frac {20y ^ {2}} {4y ^ {2} + \ tau ^ {2}}} }$$

Równoważne formy formuły Bhaskara I zostały podane przez prawie wszystkich późniejszych astronomów i matematyków Indii. Na przykład Brahmagupta (598 – 668 n.e. ) Brhma-Sphuta-Siddhanta (wersety 23 – 24, rozdział XIV) podaje formułę w następującej formie:

${\ Displaystyle R \ sin x ^ {\ circ} \ około {\ Frac {Rx (180-x)} {10125 -{\frac {1}{4}}x(180-x)}}}$

Również Bhaskara II (1114 – 1185 n.e. ) podał tę formułę w swoim Lilavati (Kshetra-vyavahara, Soka nr 48) w następującej formie:

${\ Displaystyle 2R\sin x^{\circ }\około {\frac {4\times 2R\times 2Rx\times (360R-2Rx)}{{\frac {1}{4}}\times 5\times (360R)^ {2}-2Rx\razy (360R-2Rx)}}}$

Dokładność formuły

Rysunek ilustruje poziom dokładności formuły aproksymacji sinusoidalnej Bhaskary I. Przesunięte krzywe 4 x ( 180 - x ) / ( 40500 - x ( 180 - x ) ) - 0,2 i sin ( x ) + 0,2 wyglądają jak dokładne kopie krzywej sin ( x ).

Wzór ma zastosowanie dla wartości x ° w zakresie od 0 do 180. Wzór jest w tym zakresie niezwykle dokładny. Wykresy sin ( x ) i wzór aproksymacji są wizualnie nie do odróżnienia i są prawie identyczne. Jeden z załączonych rysunków przedstawia wykres funkcji błędu, a mianowicie funkcję,

${\ Displaystyle \ sin x ^ {\ circ} \ około {\ Frac {4x (180-x)} {40500-x (180 -X)}}}$

w użyciu formuły. Pokazuje to, że maksymalny błąd bezwzględny w użyciu wzoru wynosi około 0,0016. Z wykresu wartości procentowej błędu bezwzględnego jasno wynika, że ​​maksymalny błąd procentowy jest mniejszy niż 1,8. Formuła aproksymacji daje zatem wystarczająco dokładne wartości sinusów dla większości praktycznych celów. Jednak to nie wystarczyło do dokładniejszych wymagań obliczeniowych astronomii. Poszukiwania dokładniejszych wzorów przez indyjskich astronomów ostatecznie doprowadziły do ​​odkrycia szeregów potęgowych sin x i cos x przez Madhawę z Sangamagrama (ok. 1350 – ok. 1425), założyciela szkoły astronomii i matematyki w Kerali .

Wykres błędu we wzorze aproksymacji sinusoidalnej Bhaskary I

Wykres błędu procentowego we wzorze aproksymacji sinusoidalnej Bhaskary I

Wyprowadzenie formuły

Bhaskara nie wskazał żadnej metody, dzięki której doszedł do swojej formuły. Historycy spekulowali na temat różnych możliwości. Jak dotąd nie uzyskano ostatecznych odpowiedzi. Poza historycznym znaczeniem bycia doskonałym przykładem osiągnięć matematycznych starożytnych indyjskich astronomów, formuła ma znaczenie również z nowoczesnej perspektywy. Matematycy próbowali wyprowadzić regułę przy użyciu nowoczesnych koncepcji i narzędzi. Zaproponowano około pół tuzina metod, z których każda opiera się na odrębnym zestawie przesłanek. Większość z tych wyprowadzeń używa tylko elementarnych pojęć.

Wyprowadzenie na podstawie elementarnej geometrii

Niech obwód koła będzie mierzony w stopniach i niech promień R koła będzie również mierzony w stopniach . Wybierając stałą średnicę AB i dowolny punkt P na okręgu i opuszczając prostopadłą PM do AB , możemy obliczyć pole trójkąta APB na dwa sposoby. Zrównując dwa wyrażenia dla obszaru, otrzymujemy (1/2) AB × PM = (1/2) AP × BP . To daje

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {PM}} = {\ Frac {AB} {AP \ razy BP}}.}$

Przyjmując x za długość łuku AP , długość łuku BP wynosi 180- x . Te łuki są znacznie większe niż odpowiednie akordy. Stąd jeden dostaje

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {PM}}> {\ Frac {2R} {x (180-x)}}}$ .

Poszukuje się teraz dwóch stałych α i β takich, że

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {PM}} = \ alfa {\ Frac {2R} {x (180-x)}} + \ beta}$

Uzyskanie takich stałych jest rzeczywiście niemożliwe. Można jednak wybrać wartości dla α i β tak, aby powyższe wyrażenie było prawdziwe dla dwóch wybranych wartości długości łuku x . Wybierając jako te wartości 30° i 90° i rozwiązując otrzymane równania, otrzymujemy od razu wzór na przybliżenie sinusoidalne Bhaskary I.

Wyprowadzenie rozpoczynające się od ogólnego wyrażenia wymiernego

Zakładając, że x jest w radianach, przybliżenia do sin( x ) można szukać w następującej postaci:

${\ Displaystyle \ sin x \ około {\ Frac {a + bx + cx ^ {2}} {p + qx + rx ^ { 2}}}}$

Stałe a , b , c , p , q i r (tylko pięć z nich jest niezależnych) można wyznaczyć zakładając, że wzór musi być dokładnie poprawny, gdy x = 0, π/6, π/2, π i dalej przy założeniu, że musi spełniać własność sin( x ) = sin(π - x ). Ta procedura daje wzór wyrażony za pomocą radianowej miary kątów.

Elementarny argument

Porównanie wykresów paraboli x (180 − x )/8100 i x (180 − x )/9000 z wykresem sin( x ) ( x w stopniach).

Odcinek wykresu sin( x ) w przedziale od 0° do 180° „wygląda jak” fragment paraboli przechodzącej przez punkty (0, 0) i (180, 0). Ogólna taka parabola to

${\ displaystyle kx (180-x).}$

Parabola, która również przechodzi przez (90, 1) (który jest punktem odpowiadającym wartości sin(90°) = 1) to

${\ Displaystyle {\ Frac {x (180-x)} {90 \ razy 90}} = {\ Frac {x (180-x)} {8100}}.}$

Parabola, która również przechodzi przez (30, 1/2) (który jest punktem odpowiadającym wartości sin(30°) = 1/2) to

${\ Displaystyle {\ Frac {x (180-x)} {2 \ razy 30 \ razy 150}} = {\ Frac {x (180-x)} {9000}}.}$

Wyrażenia te sugerują zmienny mianownik, który przyjmuje wartość 90 × 90, gdy x = 90, i wartość 2 × 30 × 150, gdy x = 30. To, że to wyrażenie powinno być również symetryczne względem prostej „ x = 90”, wyklucza możliwość wybierając wyrażenie liniowe w x . Obliczenia obejmujące x (180 − x ) mogą od razu sugerować, że wyrażenie może mieć postać

${\ Displaystyle 8100a + bx (180-x).}$

Trochę eksperymentowania (lub przez ustawienie i rozwiązanie dwóch równań liniowych w a i b ) da wartości a = 5/4, b = −1/4. Dają one formułę przybliżenia sinusoidalnego Bhaskary I.

Zobacz też

• Tabela sinusów Aryabhaty
• Tabela sinusów Madhawy

Dalsze referencje

1. RC.Gupta, O wyprowadzeniu wzoru Bhaskary I na sinus, Ganita Bharati 8 (1-4) (1986), 39-41.
2. T. Hayashi, Uwaga na temat racjonalnego przybliżenia Bhaskary I do sinusa, Historia Sci. nr 42 (1991), 45–48.
3. K. Stroethoff, przybliżenie sinusa Bhaskary, The Mathematics Enthusiast, tom. 11, nr 3 (2014), 485–492.