Klasyfikacja Wignera

W matematyce i fizyce teoretycznej klasyfikacja Wignera $grupy$ klasyfikacją nieujemnych energii nieredukowalnych jednostkowych reprezentacji , które mają lub zerową masę własną (Ponieważ ta grupa jest niezwarta, te jednolite reprezentacje są nieskończenie wymiarowe). Został wprowadzony przez Eugene'a Wignera , aby sklasyfikować cząstki i pola w fizyce — zobacz artykuł fizyka cząstek elementarnych i teoria reprezentacji . Opiera się na podgrupach stabilizujących tej grupy, zwanych małymi grupami Wignera o różnych stanach masowych.

Niezmienniki Casimira grupy Poincarégo to ( notacja Einsteina ) do $\ Displaystyle ~ C_ {1} = P ^ {\ mu} \, P_ {\ mu}$ ~ , $}$ operator pędu i gdzie $W$ jest pseudowektorem Pauliego-Lubańskiego do ${\ Displaystyle ~ C_ {2} = W ^ {\ alfa} \, W_ {\ alfa} ~,$ . Wartości własne tych operatorów służą do etykietowania reprezentacji. Pierwszy związany jest z masą do kwadratu, a drugi ze spiralnością lub spinem .

Fizycznie istotne reprezentacje można zatem sklasyfikować według tego, czy

${\ displaystyle ~ m> 0 ~;}$
${\ Displaystyle ~ m = 0 ~}$ ale ${\ Displaystyle ~ P_ {0}> 0 ~; \ quad}$ lub czy
${\ Displaystyle ~ m = 0 ~}$ z ${\ Displaystyle ~ P ^ {\ mu} = 0 ~, {\ tekst {dla}} \ mu = 0,1,2,3 ~.}$

Wigner odkrył, że cząstki bezmasowe zasadniczo różnią się od cząstek masywnych.

W pierwszym przypadku: $,$ że przestrzeń własna patrz własne operatorów związana z jest reprezentacją SO ) .

W interpretacji promienia można zamiast tego przejść do Spin(3) . Tak więc stany masywne są klasyfikowane przez nieredukowalną jednostkową reprezentację Spin(3) , która charakteryzuje ich spin , oraz dodatnią masę, $m$ .

W drugim przypadku: Spójrz na stabilizator; ${\ displaystyle ~ P = (k, 0, 0, -k) ~.}$

To jest podwójne pokrycie SE (2) (patrz reprezentacja rzutowa ). Mamy dwa przypadki, jeden, w którym 1/2 , , niepowtórki są opisane przez całkowitą wielokrotność zwaną helikalnością , a drugi zwany reprezentacją „ciągłego spinu”.

W przypadku trzecim: Jedynym rozwiązaniem jednostkowym o skończonych wymiarach jest trywialna reprezentacja zwana próżnią .

Ogromne pola skalarne

Jako przykład zwizualizujmy nieredukowalną reprezentację jednostkową za pomocą ${\ displaystyle ~ m> 0 ~,}$ i ${\ Displaystyle ~ s = 0 ~.}$ Odpowiada to przestrzeni ogromnych pól skalarnych .

Niech $M$ będzie arkuszem hiperboloidy określonym przez:

{\ Displaystyle ~ P_ {0} ^ {2} -P_ {1} ^ {2} - P_ {2} ^ {2} - P_ {3}^{2}=m^{2}~,\quad }

{\ displaystyle ~ P_ {0}> 0 ~.}

Metryka Minkowskiego ogranicza się do metryki riemannowskiej na $M$ , nadając $M$ metryczną strukturę przestrzeni hiperbolicznej , w szczególności jest to hiperboloidowy model przestrzeni hiperbolicznej, patrz geometria przestrzeni Minkowskiego dla dowodu. Grupa Poincarego $P$ działa na $M$ , ponieważ (pomijając działanie podgrupy translacji $ℝ 4$ z dodatkiem wewnątrz $P$ ) zachowuje iloczyn wewnętrzny Minkowskiego i element $x$ podgrupy translacji $ℝ 4$ grupy Poincarego działa na ${\ Displaystyle ~ L ^ {2} (M) ~}$ przez pomnożenie przez odpowiednie mnożniki fazy $~\exp \left(-i {\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)~,$ gdzie ${\ displaystyle ~ p \ in M ~.}$ Te dwie akcje można sprytnie połączyć za pomocą indukowane reprezentacje w celu uzyskania działania $P$ działającego na ${\ Displaystyle ~ L ^ {2} (M) ~},$ które łączy ruchy $M$ i mnożenie fazy.

Daje to działanie grupy Poincarego na przestrzeń funkcji całkowalnych do kwadratu określonych na hiperpowierzchni $M$ w przestrzeni Minkowskiego. Można je postrzegać jako miary określone w przestrzeni Minkowskiego, które są skoncentrowane na zbiorze $M$ określonym przez

{\ Displaystyle E ^ {2} -P_ {1} ^ {2} - P_ {2} ^ {2} - P_ {3} ^ {2}=m^{2}~,\quad }

{\ Displaystyle ~ E ~ \ równoważnik ~ P_ {0}> 0 ~.}

^{wszystkich Kleina rozwiązania} czterech zmiennych) takich miar daje o skończonej energii równania -Gordona zdefiniowanego w przestrzeni Minkowskiego, a mianowicie

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe t ^ {2}}} \ psi - \ nabla ^ {2} \ psi +m^{2}\psi =0,}

bez jednostek fizycznych. W ten sposób $.$ reprezentacja grupy Poincarego jest realizowana przez jej działanie na odpowiednią przestrzeń

Teoria reprezentacji rzutowych

Fizycznie interesują nas nieredukowalne projekcyjne reprezentacje unitarne grupy Poincarégo. W końcu dwa wektory w kwantowej przestrzeni Hilberta, które różnią się przez pomnożenie przez stałą, reprezentują ten sam stan fizyczny. Zatem dwa operatory unitarne, które różnią się wielokrotnością tożsamości, mają takie samo działanie na stany fizyczne. Dlatego operatory unitarne, które reprezentują symetrię Poincarégo, są zdefiniowane tylko do stałej - a zatem prawo składu grup musi utrzymywać się tylko do stałej.

Zgodnie z twierdzeniem Bargmanna każda rzutowa reprezentacja jednostkowa grupy Poincarégo pochodzi od zwykłej reprezentacji jednostkowej jej uniwersalnego pokrycia, które jest podwójnym pokryciem. (Twierdzenie Bargmanna ma zastosowanie, ponieważ podwójne pokrycie grupy Poincarégo nie dopuszcza żadnych nietrywialnych jednowymiarowych rozszerzeń centralnych ).

Przejście do podwójnej osłony jest ważne, ponieważ pozwala na przypadki wirowania pół nieparzystych liczb całkowitych. Na przykład w przypadku masy dodatniej mała grupa to SU (2), a nie SO (3); reprezentacje SU (2) obejmują zatem przypadki spinów zarówno całkowitych, jak i pół-nieparzystych.

Ponieważ ogólne kryterium w twierdzeniu Bargmanna nie było znane, kiedy Wigner dokonywał klasyfikacji, musiał on ręcznie wykazać (§5 artykułu), że fazy można wybrać w operatorach, aby odzwierciedlić prawo składu w grupie, aż do znak, który jest następnie rozliczany przez przejście do podwójnej pokrywy grupy Poincarégo.

Dalsza klasyfikacja

Pominięte w tej klasyfikacji są rozwiązania tachionowe , rozwiązania bez stałej masy, infracząstki bez stałej masy itp. Takie rozwiązania mają znaczenie fizyczne przy rozważaniu stanów wirtualnych. Znanym przykładem jest przypadek głęboko nieelastycznego rozpraszania , w którym wirtualny foton przypominający przestrzeń jest wymieniany między nadchodzącym leptonem a nadchodzącym hadronem . Uzasadnia to wprowadzenie fotonów spolaryzowanych poprzecznie i wzdłużnie oraz związanej z nimi koncepcji funkcji struktury poprzecznej i podłużnej, gdy rozważa się te stany wirtualne jako skuteczne sondy wewnętrznej zawartości kwarków i gluonów w hadronach. Z matematycznego punktu widzenia bierze się pod uwagę grupę SO (2,1) zamiast zwykłej SO (3) spotykanej w zwykłym masywnym przypadku omówionym powyżej. To wyjaśnia występowanie dwóch wektorów polaryzacji poprzecznej ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {\ lambda = 1,2} ~}$ i ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {L} ~}$ które spełniają ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {2} = -1 ~}$ i $który$ do porównania ze zwykłym przypadkiem wolnego $,$ ma trzy wektory polaryzacji ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {\ lambda} {\ text {dla}} \ lambda = 1,2,3 ~;}$ każdy z nich spełnia ${\ Displaystyle ~ \ epsilon _ {T} ^ {2} = -1 ~.}$

Zobacz też

Bargmann, V .; Wignera, PE (1948). „Teoretyczna dyskusja grupowa relatywistycznych równań falowych” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 34 (5): 211–223. Bibcode : 1948PNAS...34..211B . doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 .

Mackey, George (1978). Reprezentacje grup unitarnych w fizyce, prawdopodobieństwie i teorii liczb . Seria notatek z wykładów z matematyki. Tom. 55. Wydawnictwo Benjamin/Cummings . ISBN 978-0805367034 .

Sternberg, Szlomo (1994). „§3.9. Klasyfikacja Wignera”. Teoria grup i fizyka . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge . ISBN 978-0521248709 .

Tung, Wu-Ki (1985). „Rozdział 10. Reprezentacje grupy Lorentza i grupy Poincarego; klasyfikacja Wignera”. Teoria grup w fizyce . Światowe Wydawnictwo Naukowe . ISBN 978-9971966577 .

Weinberg, S. (2002). „Rozdział 2. Relatywistyczna mechanika kwantowa”. Kwantowa teoria pól . Tom. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7 .

Wignera, PE (1939). „O jednolitych reprezentacjach niejednorodnej grupy Lorentza”. Roczniki matematyki . 40 (1): 149–204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . doi : 10.2307/1968551 . JSTOR 1968551 . MR 1503456 . S2CID 121773411 .