Koło pakowania w kółko

Upakowanie koła w okręgu to dwuwymiarowy problem upakowania , którego celem jest upakowanie kręgów jednostkowych w możliwie najmniejszy większy okrąg .

Tabela rozwiązań, 1 ≤ n ≤ 20

Jeśli istnieje więcej niż jedno równoważne rozwiązanie, zostaną pokazane wszystkie.

Liczba okręgów jednostkowych	Obejmujący promień okręgu	Gęstość	optymalność
1	1	1.0000	Trywialnie optymalny.
2	2	0,5000	Trywialnie optymalny.
3	${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {2} {\ sqrt {3}}}}$ ≈ 2,154...	0,6466...	Trywialnie optymalny.
4	${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$ ≈ 2,414 ...	0,6864...	Trywialnie optymalny.
5	${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2 \ lewo (1 + {\ Frac {1} {\ sqrt {5}}} \ prawej)}}}$ ≈ 2,701 ...	0,6854...	Udowodniono, że jest optymalny przez Grahama (1968)
6	3	0,6666...	Udowodniono, że jest optymalny przez Grahama (1968)
7	3	0,7777...	Trywialnie optymalny.
8	${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1} {\ sin \ lewo ({\ Frac {\ pi} {7}} \ prawej)}}}$ ≈ 3,304 ...	0,7328...	Optymalny udowodniony przez Pirla (1969)
9	${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2 \ lewo (2 + {\ sqrt {2}} \ prawo)}}}$ ≈ 3,613 ...	0,6895...	Optymalny udowodniony przez Pirla (1969)
10	3.813...	0,6878...	Optymalny udowodniony przez Pirla (1969)
11	${\ Displaystyle 1 + {\ Frac {1} {\ sin \ lewo ({\ Frac {\ pi} {9}} \ prawej)}}}$ ≈ 3,923 ...	0,7148...	Udowodniono, że jest optymalny przez Melissen (1994)
12	4.029...	0,7392...	Udowodniono, że jest optymalny przez Fodora (2000)
13	${\ Displaystyle 2 + {\ sqrt {5}}}$ ≈ 4,236...	0,7245...	Udowodniono, że jest optymalny przez Fodora (2003)
14	4.328...	0,7474...	Zakładane jako optymalne przez Goldberga (1971).
15	${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {6 + {\ Frac {2} {\ sqrt {5}}} + 4 {\ sqrt {1 + {\ Frac {2 }{\sqrt {5}}}}}}}}$ ≈ 4,521...	0,7339...	Domniemany optymalny przez Pirla (1969).
16	4.615...	0,7512...	Zakładane jako optymalne przez Goldberga (1971).
17	4.792...	0,7403...	Przypuszczalny optymalny przez Reisa (1975).
18	${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {6}}}$ ≈ 4,863...	0,7609...	Przypuszczalnie optymalne przez Pirla (1969), z dodatkowymi aranżacjami Grahama, Lubachevsky'ego, Nurmeli i Östergårda (1998).
19	${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {6}}}$ ≈ 4,863...	0,8034...	Udowodniono, że jest optymalny przez Fodora (1999)
20	5.122...	0,7623...	Zakładane jako optymalne przez Goldberga (1971).

Przypadki specjalne

Uważa się, że tylko 26 optymalnych opakowań jest sztywnych (bez kół, które mogłyby „grzechotać”). Liczby zaznaczone pogrubioną czcionką są liczbami pierwszymi:

Udowodnione dla n = 1, 2 , 3 , 4, 5 , 6, 7 , 10, 11 , 12, 13 , 19
Przypuszczalny dla n = 14, 15, 16, 17 , 18, 22, 23 , 27, 30, 31 , 33, 37 , 61 , 91

Spośród nich rozwiązania dla n = 2 , 3 , 4, 7 , 19 i 37 osiągają gęstość upakowania większą niż jakakolwiek mniejsza liczba > 1. (Wszystkie rekordy o wyższej gęstości mają grzechotki).

Zobacz też

^ Friedman, Erich, „Circles in Circles” , Erich's Packing Center , zarchiwizowane z oryginału w dniu 18.03.2020
^ ^a ^b RL Graham, Zestawy punktów z podanym minimalnym odstępem (rozwiązanie problemu El921) , Amer. Matematyka Miesięcznik 75 (1968) 192-193.
^ ^a ^b ^c U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten , Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.
^ H. Melissen, Najgęstsze upakowanie jedenastu przystających kręgów w okręgu , Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.
^ F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000)?, 401–409.
^ F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Gęste upakowania przystających okręgów w okręgu. Matematyka dyskretna 1998;181:139–154.
^ F. Fodor, Najgęstsze upakowanie 19 przystających kręgów w kole , Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.
^ Sloane, NJA (red.). „Sekwencja A084644” . Encyklopedia on-line sekwencji liczb całkowitych . Fundacja OIS.

Linki zewnętrzne

[:0-1] Friedman, Erich, „Circles in Circles” , Erich's Packing Center , zarchiwizowane z oryginału w dniu 18.03.2020

[Graham68-2] RL Graham, Zestawy punktów z podanym minimalnym odstępem (rozwiązanie problemu El921) , Amer. Matematyka Miesięcznik 75 (1968) 192-193.

[Pirl-3] U. Pirl, Der Mindestabstand von n in der Einheitskreisscheibe gelegenen Punkten , Mathematische Nachrichten 40 (1969) 111-124.

[Melissen-4] H. Melissen, Najgęstsze upakowanie jedenastu przystających kręgów w okręgu , Geometriae Dedicata 50 (1994) 15-25.

[Fodor1-5] F. Fodor, The Densest Packing of 12 Congruent Circles in a Circle , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 41 (2000)?, 401–409.

[Fodor2-6] F. Fodor, The Densest Packing of 13 Congruent Circles in a Circle , Beiträge zur Algebra und Geometrie, Contributions to Algebra and Geometry 44 (2003) 2, 431–440.

[Graham98-7] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Graham RL, Lubachevsky BD, Nurmela KJ, Ostergard PRJ. Gęste upakowania przystających okręgów w okręgu. Matematyka dyskretna 1998;181:139–154.

[Fodor3-8] F. Fodor, Najgęstsze upakowanie 19 przystających kręgów w kole , Geom. Dedicata 74 (1999), 139–145.

[9] Sloane, NJA (red.). „Sekwencja A084644” . Encyklopedia on-line sekwencji liczb całkowitych . Fundacja OIS.

Problemy z pakowaniem
Pakowanie abstrakcyjne	Kosz Ustawić
Pakowanie w kółko	W kole / trójkącie równobocznym / trójkącie prostokątnym równoramiennym / kwadracie uszczelka apollińska Twierdzenie o pakowaniu okręgu Problem Tammesa (na kuli)
Pakowanie kulek	apolliński Skończone W kuli w sześcianie W cylindrze Zamknięte opakowanie Całowanie numeru Pakowanie sferyczne (Hamming) związane
Inne opakowanie 2-D	Kwadratowe opakowanie w kwadracie
Inne opakowanie 3D	Czworościan Elipsoida
Puzzle	Conway Slothouber-Graatsma