Pakowanie kuli w cylinder

Ilustracja przedstawiająca kolumnową konstrukcję złożoną z piłek golfowych.

Upakowanie kul w cylindrze to trójwymiarowy problem upakowania , którego celem jest upakowanie określonej liczby identycznych kulek w cylindrze o określonej średnicy i długości. W przypadku cylindrów o średnicach tego samego rzędu wielkości co kule, takie upakowania dają tak zwane struktury kolumnowe .

Problemy te są szeroko badane w kontekście biologii , nanonauki , materiałoznawstwa itd . dzięki analogicznemu składaniu małych cząstek (takich jak komórki i atomy ) w cylindryczne struktury krystaliczne .

Wygląd w nauce

Struktury kolumnowe pojawiają się w różnych dziedzinach badawczych w szerokim zakresie skali długości od metrów do nanoskali. Na największą skalę takie struktury można znaleźć w botanice , gdzie nasiona rośliny gromadzą się wokół łodygi. Na mniejszą skalę bąbelki o równej wielkości krystalizują do kolumnowych piankowych , gdy są zamknięte w szklanej rurce. W nanonauce takie struktury można znaleźć w obiektach stworzonych przez człowieka, które mają skalę długości od mikrona do nanoskali.

Jagody Arum maculatum tworzą kolumnową strukturę ( Krzaczasty Park ).

Botanika

Struktury kolumnowe były po raz pierwszy badane w botanice ze względu na ich zróżnicowany wygląd w roślinach. D'Arcy Thompson analizował takie rozmieszczenie części roślin wokół łodygi w swojej książce " O wzroście i formie " (1917). Ale są one również interesujące w innych obszarach biologicznych, w tym w bakteriach, wirusach, mikrotubulach i strunie grzbietowej danio pręgowanego .

Jednym z największych kwiatów, w których jagody układają się w regularną cylindryczną formę, jest aron tytanowy . Ten kwiat może mieć do 3 m wysokości i występuje wyłącznie na zachodniej Sumatrze i zachodniej Jawie.

Na mniejszych łuskach jagody Arum maculatum tworzą jesienią strukturę kolumnową. Jego jagody są podobne do jagód kwiatu zwłok, ponieważ aron tytanowy jest jego większym krewnym. Kufel z kukułką ma jednak znacznie mniejszą wysokość (wysokość ≈ 20 cm). Układ jagód różni się w zależności od wielkości łodygi i jagody.

Inną rośliną, którą można spotkać w wielu ogrodach osiedli mieszkaniowych jest australijska szczotka do butelek . Montuje torebki z nasionami wokół gałęzi rośliny. Struktura zależy od wielkości torebki nasiennej do wielkości gałęzi.

Pianki

Sferyczne bańki mydlane zamknięte w cylindrycznej szklanej rurce.

Kolejnym wystąpieniem uporządkowanego układu kolumnowego w makroskali są struktury piankowe zamknięte w szklanej tubie. Można je zrealizować eksperymentalnie z równych rozmiarów baniek mydlanych umieszczonych w szklanej rurce, wytwarzanych przez wdmuchiwanie powietrza o stałym przepływie gazu przez igłę zanurzoną w roztworze środka powierzchniowo czynnego. Poddając powstałą kolumnę piany wymuszonemu drenażowi (zasilając ją roztworem środka powierzchniowo czynnego od góry), pianę można dostosować do struktury suchej (pęcherzyki w kształcie wielościanów ) lub mokrej (kuliste bąbelki).

Dzięki tej prostej konfiguracji eksperymentalnej odkryto i zbadano wiele struktur kolumnowych w kontekście pianek za pomocą eksperymentów i symulacji. Przeprowadzono wiele symulacji przy użyciu Surface Evolver w celu zbadania suchej struktury lub modelu twardej kuli dla granicy wilgotności, w której pęcherzyki są kuliste.

W strukturze zygzakowatej bąbelki są ułożone jedna na drugiej w ciągłym kształcie litery W. Hutzler et al. w 1997 r. Obejmowało to nieoczekiwany interfejs skrętu o 180 °, którego wyjaśnienia wciąż brakuje.

Pierwszą eksperymentalną obserwację struktury poślizgu liniowego odkryli Winkelmann i in. w systemie baniek.

Dalsze odkryte struktury obejmują złożone struktury z wewnętrznymi sferami / komórkami piankowatymi. Stwierdzono, że niektóre suche struktury piankowe z komórkami wewnętrznymi składają się z łańcucha pięciokątnych dwunastościanów lub komórek Kelvina w środku rury. W przypadku wielu innych układów tego typu zaobserwowano, że zewnętrzna warstwa pęcherzyków jest uporządkowana, przy czym każda warstwa wewnętrzna przypomina inną, prostszą strukturę kolumnową za pomocą tomografii rentgenowskiej .

Nanonauka

Struktury kolumnowe były również intensywnie badane w kontekście nanorurek . Ich właściwości fizyczne lub chemiczne można zmienić, zatrzymując w nich identyczne cząsteczki. Są one zwykle wykonywane przez samoorganizujące się fulereny, takie jak C60 , C70 lub C78, ​​w nanorurki węglowe, ale także nanorurki z azotku boru

Takie struktury składają się również, gdy cząstki są powlekane na powierzchni sferocylindra, jak w kontekście badań farmaceutycznych. Lazaro i in. zbadali morfologie białek kapsydu wirusa samoorganizujących się wokół metalowych nanoprętów. Cząstki leku pokryto tak gęsto, jak to możliwe, na sferocylindrze, aby zapewnić najlepsze leczenie.

Wu i in. zbudowane pręty o wielkości kilku mikronów. Te mikropręty są tworzone przez gęste upakowanie cząstek koloidalnych krzemionki w cylindrycznych porach. Po zestaleniu zmontowanych struktur mikropręty zostały zobrazowane i zbadane za pomocą skaningowej mikroskopii elektronowej (SEM).

Układy kolumnowe są również badane jako potencjalny kandydat na metamateriały optyczne (tj. materiały o ujemnym współczynniku załamania światła), które znajdują zastosowanie w supersoczewkach lub maskowaniu optycznym. Tanjeem i in. konstruują taki rezonator z samoorganizujących się nanosfer na powierzchni cylindra. Nanosfery są zawieszone w SDS wraz z cylindrem o średnicy znacznie większej niż średnica nanosfer ( $d$$}$${\ textstyle D / d \ około 3 {\ tekst {do}} 5}$ ). Nanosfery przyklejają się następnie do powierzchni cylindrów dzięki sile wyczerpywania .

Klasyfikacja za pomocą notacji filotaktycznej

Najpopularniejszym sposobem klasyfikacji uporządkowanych struktur kolumnowych jest notacja filottaktyczna , przejęta z botaniki. Służy do opisu ułożenia liści rośliny, szyszek sosnowych lub ananasów, ale także płaskich wzorów kwiatostanów w kłosie słonecznika. Podczas gdy układ w pierwszym jest cylindryczny, spirale w drugim są ułożone na dysku. Dla konstrukcji kolumnowych przyjmuje się filotaksję w kontekście konstrukcji cylindrycznych.

Notacja filotaktyczna opisuje takie struktury za pomocą trójki dodatnich liczb całkowitych ${\ Displaystyle (l = m + n, m, n)}$ z ${\ textstyle l \ geq m\geq n}$ . każdy numer ${\ textstyle l}$ , ${\ displaystyle m}$ i ${\ textstyle n}$ opisuje rodzinę spiral w trójwymiarowym opakowaniu. Liczą liczbę spiral w każdym kierunku, aż spirala się powtórzy. Notacja ta ma jednak zastosowanie tylko do sieci trójkątnych i dlatego jest ograniczona do uporządkowanych struktur bez sfer wewnętrznych.

Typy uporządkowanych struktur kolumnowych bez sfer wewnętrznych

Uporządkowane struktury kolumnowe bez sfer wewnętrznych są podzielone na dwie odrębne klasy: struktury jednorodne i liniowe . Dla każdej struktury $,$ którą można utożsamić z trójką struktura i co najmniej

Jednolita struktura

Przykładowa jednolita struktura i odpowiadająca jej rozwinięta sieć kontaktów. Identyczne sąsiedztwo każdej sfery definiuje jednolitą strukturę.

Jednolita struktura jest identyfikowana przez każdą kulę mającą taką samą liczbę stykających się sąsiadów. Daje to każdej kuli identyczne sąsiedztwo. Na przykładowym obrazie z boku każda kula ma sześć sąsiadujących ze sobą styków.

Ilość kontaktów najlepiej obrazuje rozwinięta sieć kontaktów. Jest tworzony przez rozwinięcie sieci kontaktów na płaszczyznę o wysokości $kącie$ azymutalnym $każdej$ . W przypadku jednolitej struktury, takiej jak ta na przykładowym obrazie, prowadzi to do regularnej sieci sześciokątnej . Każda kropka w tym wzorze reprezentuje kulę wypełnienia, a każda linia kontakt między sąsiednimi kulami.

Dla wszystkich jednolitych struktur powyżej stosunku średnic $ma$ regularna siatka sześciokątna jest jej cechą charakterystyczną, ponieważ ten typ sieci Dla różnych jednolitych struktur ${\ Displaystyle (l, m, n)}$ rozwinięty wzór styku zmienia się tylko o obrót w ${\ textstyle z {\ tekst {-}} \ theta}$ samolot. W ten sposób każda jednolita struktura wyróżnia się wektorem okresowości $jest$ zdefiniowany przez tryplet filottaktyczny ${\ displaystyle (l, m, n)}$ .

Struktura poślizgu liniowego

Przykładowa struktura poślizgu liniowego i odpowiadająca jej rozwinięta sieć styków. Poślizg linii jest identyfikowany przez utratę styków.

Dla każdej jednorodnej struktury istnieje również pokrewna, ale inna struktura, zwana układem poślizgu liniowego.

Różnice między strukturami jednorodnymi i liniowymi są marginalne i trudne do zauważenia na podstawie obrazów wypełnień sferycznych. Jednak porównując ich rozbudowane sieci kontaktów, można zauważyć, że brakuje niektórych linii (które reprezentują kontakty).

Wszystkie kule w jednolitej strukturze mają taką samą liczbę styków, ale liczba styków dla kul w poślizgu linii może się różnić w zależności od kuli. Dla przykładowego poślizgu linii na obrazie po prawej stronie, niektóre sfery liczą pięć, a inne sześć kontaktów. Zatem struktura poślizgu linii charakteryzuje się tymi przerwami lub utratą styków.

Taka struktura nazywana jest poślizgiem liniowym, ponieważ straty styków występują wzdłuż linii w rozwiniętej sieci stykowej. Po raz pierwszy został zidentyfikowany przez Picket i wsp. , ale nie określane jako poślizg linii.

Kierunek, w którym następuje utrata kontaktów, można oznaczyć w notacji filotaktycznej $($ reprezentuje jeden z wektorów kratowych w Zwykle jest to oznaczone pogrubioną liczbą.

Ścinając rząd kul poniżej utraty kontaktu z rzędem powyżej utraty kontaktu, można zregenerować dwie jednorodne struktury związane z tym poślizgiem linii. Zatem każdy poślizg linii jest powiązany z dwiema sąsiednimi jednolitymi strukturami, jedną o wyższym, a drugą o niższym stosunku średnicy ${\ textstyle D/d}$ .

Winkelmanna i in. jako pierwsi eksperymentalnie zrealizowali taką strukturę za pomocą baniek mydlanych w układzie odkształcalnych kul.

Gęste upakowania sferyczne w cylindrach

Optymalna frakcja upakowania dla twardych kulek o średnicy $}$ cylindra o średnicy ${\ displaystyle D$ .

Struktury kolumnowe powstają naturalnie w kontekście gęstych, twardych wypełnień kulistych wewnątrz cylindra. Mogołów i in. badał takie uszczelnienia za pomocą symulowanego wyżarzania do stosunku średnicy dla średnicy cylindra do średnicy kuli ${$$\textstyle D/$$}$ . Obejmuje to niektóre konstrukcje z wewnętrznymi sferami, które nie stykają się ze ścianą cylindra.

Obliczyli frakcję upakowania dla wszystkich tych struktur jako funkcję stosunku średnic. Na wierzchołkach tej krzywej leżą jednolite struktury. Pomiędzy tymi dyskretnymi stosunkami średnic znajdują się ślizgi żyłki przy niższej gęstości upakowania. Ich frakcja upakowania jest znacznie mniejsza niż w przypadku nieograniczonego upakowania kratowego, takiego jak fcc , bcc lub hcp ze względu na wolną objętość pozostawioną przez cylindryczne zamknięcie.

Bogatą różnorodność takich uporządkowanych struktur można również uzyskać poprzez sekwencyjne osadzanie kulek w cylindrze. Chan odtworzył wszystkie gęste upakowania kul aż $do$ umieszczane w cylindrze.

Mogołów i in. odkryli również, że takie struktury mogą być związane z opakowaniami dysków na powierzchni cylindra. Sieć styków obu opakowań jest identyczna. Stwierdzono, że dla obu rodzajów pakowania różne jednorodne struktury są ze sobą połączone za pomocą pasków liniowych.

Fu i in. $używając$ tę pracę na wyższe stosunki średnic, programowania liniowego i odkrył sferami, które nie stykają się ze ścianą cylindra.

Podobną różnorodność gęstych struktur krystalicznych odkryto również w przypadku upakowania kolumnowego sferoidów za pomocą symulacji Monte Carlo . Takie upakowania obejmują struktury achiralne o określonych orientacjach sferoidalnych i chiralne struktury helikalne z obracającymi się orientacjami sferoidalnymi.

Struktury kolumnowe utworzone przez szybkie obroty

Struktury kolumnowe są montowane za pomocą szybkich obrotów wokół centralnej osi, aby skierować kule w kierunku tej osi.

Kolejna dynamiczna metoda składania takich struktur została wprowadzona przez Lee i in . Tutaj polimerowe kulki są umieszczane razem z płynem o większej gęstości wewnątrz obracającej się tokarki .

Gdy tokarka jest statyczna, kulki unoszą się na powierzchni cieczy. Wraz ze wzrostem prędkości obrotowej siła dośrodkowa wypycha płyn na zewnątrz i kulki w kierunku osi centralnej. W związku z tym kulki są zasadniczo ograniczone potencjałem wynikającym z energii obrotowej

$${\ Displaystyle E _ {\ tekst {rot}} = {\ Frac {1} {2}} mR ^ {2} \ omega ^ {2},}$$

gdzie jest masą kulek, $odległością$$obrotową$$osi$ prędkością . Ze względu na $potencjał$ przypomina cylindryczny oscylator .

W zależności od liczby kul i prędkości obrotowej odkryto różnorodne uporządkowane struktury, które są porównywalne z gęstymi upakowaniami sfer.

Kompleksową teorię tego eksperymentu opracowali Winkelmann i in. Opiera się na analitycznych obliczeniach energii przy użyciu ogólnego modelu sferycznego i przewiduje przejścia struktury perytektoidalnej .

Zobacz też

• Pakowanie kulek
• Zwarte upakowanie równych kulek
• Problemy z pakowaniem

Linki zewnętrzne

• Becker, Aaron T. i Huang, L. „Pakowanie kulek w cienki cylinder” . MathWorld .