Kontakt jednostronny

W mechanice kontaktu termin kontakt jednostronny , zwany także ograniczeniem jednostronnym , oznacza ograniczenie mechaniczne , które zapobiega penetracji między dwoma sztywnymi/elastycznymi ciałami. Ograniczenia tego rodzaju są wszechobecne w dynamiki wieloobiektowej, które nie są płynne , takich jak przepływy granularne, robot na nogach , dynamika pojazdu , tłumienie cząstek , niedoskonałe stawy lub lądowania rakiet. W tych zastosowaniach jednostronne ograniczenia powodują oddziaływania, dlatego wymagają odpowiednich metod radzenia sobie z takimi ograniczeniami.

Modelowanie ograniczeń jednostronnych

Istnieją głównie dwa rodzaje metod modelowania ograniczeń jednostronnych. Pierwszy rodzaj opiera się na gładkiej dynamice kontaktu , w tym metodach wykorzystujących modele Hertza, metody kary i niektóre modele siły regularyzacji, podczas gdy drugi rodzaj opiera się na dynamice kontaktu niegładkiego , która modeluje system z jednostronnymi kontaktami jako nierównościami wariacyjnymi .

Płynna dynamika kontaktu

Model kontaktowy Hertza

W tej metodzie siły normalne generowane przez jednostronne więzy są modelowane zgodnie z lokalnymi właściwościami materiałowymi ciał. W szczególności modele siły kontaktowej pochodzą z mechaniki kontinuum i są wyrażane jako funkcje szczeliny i prędkości uderzenia ciał. Jako przykład, ilustracja klasycznego modelu kontaktu Hertza jest pokazana na rysunku po prawej stronie. W takim modelu kontakt tłumaczy się lokalnym odkształceniem ciał. Więcej modeli styków można znaleźć w niektórych przeglądowych pracach naukowych lub w artykule poświęconym mechanice styków .

Niegładka dynamika kontaktu

W metodzie niegładkiej jednostronne interakcje między ciałami są zasadniczo modelowane przez warunek Signoriniego dotyczący braku penetracji, a prawa zderzenia są używane do zdefiniowania procesu zderzenia. Warunek Signoriniego można wyrazić jako problem komplementarności:

${\ Displaystyle g \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad \ lambda \ perp g}$ ,

gdzie oznacza odległość między dwoma ciałami, a $oznacza$ $.$ generowaną przez jednostronne ograniczenia, jak pokazano na poniższym rysunku Ponadto, biorąc pod uwagę koncepcję punktu bliższego teorii wypukłej, warunek Signoriniego można równoważnie wyrazić jako:

${\ Displaystyle \ lambda = {\ rm {projekt}} _ {\ mathbb {R} ^ {+}} (\ lambda - \ rho g)}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle \ rho > 0}$ oznacza parametr pomocniczy, a $\ Displaystyle {\ rm {proj}} _ {\ bf {C}} (x)}$ reprezentuje proksymalny punkt w zbiorze do zmiennej , zdefiniowanej jako: do $}$ $displaystyle$

$\ Displaystyle {\ rm {projekt}} _ {\ bf {C}} (x) = {\ rm {argmin }}_{y\w C}\|yx\|}$ .

Oba powyższe wyrażenia reprezentują dynamiczne zachowanie jednostronnych ograniczeń: z jednej strony, gdy normalna odległość $jest$ zera, styk jest otwarty, co oznacza, że nie ma siła kontaktu między ciałami, ${\ Displaystyle \ lambda = 0}$ ; z drugiej strony, gdy normalna odległość $λ$ zeru, styk jest zamknięty, co daje $\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ .

Rysunek 2: a) kontakt jednostronny, b) wykres Signoriniego, c) model oparty na mechanice kontinuum

Podczas implementacji metod opartych na teorii, które nie są gładkie, w większości przypadków stosuje się warunek Signorini prędkości lub warunek Signorini przyspieszenia. Warunek prędkości Signoriniego jest wyrażony jako:

${\ Displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {+} \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad U ^ {+} \ lambda = 0 }$ ,

gdzie $.$ względną prędkość normalną Warunek prędkości Signorini należy rozumieć razem z poprzednimi warunkami ${\ Displaystyle g \ geq 0, \; \ lambda \ geq 0, \; \ lambda \ perp g}$ . Warunek przyspieszenia Signoriniego jest rozważany w zamkniętym kontakcie ( ${\ displaystyle g = 0, U _ {\ rm {N}} ^ {+} = 0})$ , ponieważ:

${\ Displaystyle {\ ddot {g}} \ geq 0, \ quad \ lambda \ geq 0, \ quad {\ ddot {g}} \ lambda = 0}$ ,

gdzie przekropki oznaczają pochodną drugiego rzędu względem czasu.

Przy stosowaniu tej metody do jednostronnych wiązań między dwoma ciałami sztywnymi sam warunek Signoriniego nie wystarcza do modelowania procesu zderzenia, dlatego wymagane są również prawa zderzenia, które dostarczają informacji o stanach przed i po zderzeniu. Na przykład, gdy stosuje się prawo restytucji Newtona, współczynnik restytucji zostanie zdefiniowany jako: ${\ Displaystyle e = - {U _ {\ rm {N}} ^ {+}} / {U _ {\ rm {N}} ^ {-}}}$ , gdzie ${\ Displaystyle U _ {\ rm {N}} ^ {-}}$ oznacza względną prędkość normalną przed uderzeniem.

Jednostronne więzy tarcia

W przypadku jednostronnych więzów tarcia normalne siły kontaktowe są modelowane za pomocą jednej z powyższych metod, podczas gdy siły tarcia są zwykle opisywane za pomocą prawa tarcia Coulomba . Prawo tarcia Coulomba można wyrazić w następujący sposób: gdy prędkość styczna nie jest równa zeru, a mianowicie, gdy dwa ciała się ślizgają, siła tarcia $λ$ $\ lambda _ {\ rm {T}}}$ jest proporcjonalne do normalnej siły nacisku ${\ displaystyle \ lambda}$ ; ${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {T} }}$ zamiast tego prędkość styczna $,$ gdy dwa ciała są względnie stabilne, siła tarcia jest nie większe niż maksimum siły tarcia statycznego. Zależność tę można podsumować za pomocą zasady maksymalnego rozproszenia, as

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}} \ w D (\ mu \ lambda) ~ ~ ~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,}$

Gdzie

${\ Displaystyle D (\ mu \ lambda) = \ {\ forall x | - \ mu \ lambda \ równoważnik \|x \|\ równoważnik \ mu \ lambda \}}$

reprezentuje stożek tarcia, a $oznacza$ współczynnik tarcia. Podobnie jak w przypadku normalnej siły nacisku, powyższe sformułowanie można równoważnie wyrazić w kategoriach pojęcia punktu bliższego jako:

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {T}} = {\ rm {proj}} _ {D (\ mu \ lambda) }(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})}$ ,

gdzie ${\ displaystyle \ rho > 0}$ oznacza parametr pomocniczy.

Techniki rozwiązań

Jeśli jednostronne ograniczenia są modelowane za pomocą modeli kontaktowych opartych na mechanice kontinuum, siły kontaktowe można obliczyć bezpośrednio za pomocą jawnego wzoru matematycznego, który zależy od wybranego modelu kontaktu. Jeśli zamiast tego zastosowana zostanie metoda oparta na teorii nierównej, istnieją dwa główne sformułowania rozwiązania warunków Signoriniego: problem nieliniowej / liniowej komplementarności (N/LCP) i rozszerzony preparat Lagrange'a. W przypadku rozwiązania modeli kontaktowych metoda niegładka jest bardziej żmudna, ale mniej kosztowna z obliczeniowego punktu widzenia. Bardziej szczegółowe porównanie metod rozwiązań z wykorzystaniem modeli kontaktowych i teorii niegładkości zostało przeprowadzone przez Pazouki i in.

Preparaty N/LCP

Zgodnie z tym podejściem rozwiązanie równań dynamiki z jednostronnymi więzami przekształca się w rozwiązanie N/LCP. W szczególności w przypadku ograniczeń jednostronnych bez tarcia lub ograniczeń jednostronnych z tarciem planarnym problem jest przekształcany w LCP, podczas gdy w przypadku jednostronnych ograniczeń tarciowych problem jest przekształcany w NCP. Aby rozwiązać LCP, algorytm obracania , wywodząca się z algorytmu Lemka i Dantziga, jest najpopularniejszą metodą. Niestety jednak eksperymenty numeryczne pokazują, że algorytm obracania może zawieść przy obsłudze układów o dużej liczbie styków jednostronnych, nawet przy zastosowaniu najlepszych optymalizacji. W przypadku NCP użycie przybliżenia wielościennego może przekształcić NCP w zbiór LCP, który można następnie rozwiązać za pomocą solwera LCP. Inne podejścia poza tymi metodami, takie jak funkcje NCP lub metody oparte na problemach komplementarności stożków (CCP), są również stosowane do rozwiązywania NCP.

Rozszerzona formuła Lagrange'a

W odróżnieniu od sformułowań N / LCP, rozszerzona formuła Lagrange'a wykorzystuje opisane powyżej funkcje bliższe, ${\ Displaystyle \ lambda = {\ rm {proj}} _ {\ mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}$ . Wraz z równaniami dynamiki formuła ta jest rozwiązywana za pomocą algorytmów wyszukiwania pierwiastków . Badanie porównawcze między preparatami LCP a preparatem wzbogaconym Lagrange'a zostało przeprowadzone przez Mashayekhi i in.

Zobacz też

Dynamika wieloobiektowa - narzędzie do badania dynamicznego zachowania połączonych ze sobą sztywnych lub elastycznych ciał
dynamika kontaktu – Ruch układów wieloczłonowych
mechanika kontaktu - Badanie odkształceń ciał stałych, które się stykają
metoda elementów dyskretnych - Numeryczne metody obliczania ruchu i wpływu dużej liczby małych cząstek
Mechanika niegładka – Podejście modelujące w mechanice
Reakcja na kolizję
Nierówności wariacyjne

Dalsza lektura

Oprogramowanie typu open source

Kody open source i pakiety niekomercyjne wykorzystujące metodę niepłynną:

Siconos - oprogramowanie naukowe typu open source do modelowania niegładkich układów dynamicznych
Chrono , wielofizyczny silnik symulacyjny typu open source, zobacz także stronę internetową projektu

Książki i artykuły

Acary V., Brogliato B. Metody numeryczne dla niegładkich układów dynamicznych. Zastosowania w mechanice i elektronice. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
Brogliato B. Mechanika niegładka. Seria Communications and Control Engineering Series Springer-Verlag, Londyn, 1999 (wyd. 2dn)
Demyanov, VF, Stavroulakis, GE, Polyakova, LN, Panagiotopoulos, PD „Quasiróżniczkowalność i modelowanie niegładkie w mechanice, inżynierii i ekonomii” Springer 1996
Glocker, Ch. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen , tom 18/182 VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. VDI Verlag, Düsseldorf, 1995
Glocker Ch. oraz Studer C. Formułowanie i przygotowanie do numerycznej oceny liniowych systemów komplementarności. Dynamika systemu wieloobiektowego 13 (4): 447-463, 2005
Jean M. Metoda dynamiki kontaktu niegładkiego. Metody komputerowe w mechanice stosowanej i inżynierii 177 (3-4): 235-257, 1999
Moreau JJ Jednostronny kontakt i tarcie suche w dynamice skończonej swobody, tom 302 Non-smooth Mechanics and Applications, Kursy i wykłady CISM . Springer, Wiedeń, 1988
Pfeiffer F., Foerg M. i Ulbrich H. Numeryczne aspekty niegładkiej dynamiki wielu ciał. Oblicz. Stosowane metody Mech. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
Potra FA, Anitescu M., Gavrea B. i Trinkle J. Liniowo niejawna metoda trapezoidalna do integracji sztywnej dynamiki wielu ciał z kontaktami, połączeniami i tarciem. Int. J. Numer. Met. Inż. 66(7):1079-1124, 2006
Stewart DE i Trinkle JC Niejawny schemat stopniowania w czasie dla dynamiki ciała sztywnego ze zderzeniami nieelastycznymi i tarciem kulombowskim. Int. J. Numer. Methods Engineering 39(15):2673-2691, 1996
Studer C. Rozszerzona integracja czasowa niepłynnych systemów dynamicznych , rozprawa doktorska ETH Zurich, ETH E-Collection, ukaże się w 2008 r.
Studer C. Numerics of jednostronnych kontaktów i tarcia - modelowanie i całkowanie numeryczne w czasie w dynamice nierównej , notatki z wykładów z mechaniki stosowanej i obliczeniowej, tom 47, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009