Lemat Rokhlina

W matematyce lemat Rokhlina lub lemat Kakutani-Rokhlina jest ważnym wynikiem teorii ergodycznej . Stwierdza, że ​​aperiodyczną miarę zachowującą układ dynamiczny można rozłożyć na dowolną wysoką wieżę mierzalnych zbiorów i resztę o dowolnie małej mierze. Udowodnił to Władimir Abramowicz Rokhlin i niezależnie Shizuo Kakutani . Lemat jest szeroko stosowany w teorii ergodycznej, na przykład w teorii Ornsteina i ma wiele uogólnień.

Terminologia

Lemat Rokhlina należy do grupy twierdzeń matematycznych, takich jak lemat Zorna w teorii mnogości i lemat Schwarza w analizie zespolonej, które tradycyjnie nazywane są lematami, mimo że ich rola w odpowiednich dziedzinach jest fundamentalna.

Stwierdzenie lematu

Lemat: Niech ${\ displaystyle T \ dwukropek X \ do X}$ będzie odwracalną transformacją zachowującą miarę w standardowej przestrzeni miary ${\ displaystyle \ textstyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ z ${\ Displaystyle \textstyle \ mu (X) = 1}$ . Zakładamy, że jest (mierzalnie) aperiodyczny , to znaczy zbiór ${\ displaystyle \textstyle T}$$miarę$ okresowe dla mają zerową. Następnie dla każdej liczby $istnieje$ dla każdej ${$ mierzalny zbiór mi $\ displaystyle \textstyle$ , że zbiory ${\ displaystyle \ textstyle \mu (E\cup TE\cup \cdots \cup T^{n-1}E)>1-\varepsilon }$ parami rozłączne i takie, że $1$ .

Przydatne wzmocnienie lematu stwierdza, że ​​mając skończony, mierzalny podział $\textstyle T^{ ja} E}$$to$ można go wybrać w taki sposób, że $displaystyle$$\$ są niezależne dla wszystkich $displaystyle \textstyle 0 \ równoważnik i<n}$ .

Topologiczna wersja lematu

Niech będzie topologicznym układem dynamicznym $:X\rightarrow X}$ z zwartej przestrzeni metrycznej $X , T )$ homeomorfizmu ( $textstyle ($$)$ . Topologiczny układ dynamiczny nazywa się minimalnym , jeśli nie ma odpowiedniego niepustego zamkniętego ${\ displaystyle \textstyle (X, T)}$$podzbiory$ . Nazywa się to (topologicznie) aperiodycznym , $} displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ nie ma punktów okresowych ( dla niektórych i $\ w$${\ x$ implikuje ${\ displaystyle k = 0}$ ). Topologiczny układ dynamiczny ${\ Displaystyle \textstyle (Y, S)}$ nazywa się współczynnikiem ${\ Displaystyle \textstyle (X, T)}$ , jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie surjektywne ${\ displaystyle \textstyle \ varphi :X\rightarrow Y}$ , co jest równoważne , tj. dla wszystkich ${\ Displaystyle \textstyle \varphi (Tx) = S \ varphi (x)}$${\ Displaystyle \ Textstyle x \ w X}$ .

Elon Lindenstrauss udowodnił następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Niech będzie $topologicznym$ układem dynamicznym, który Następnie dla liczby całkowitej $\ mathbb {N}$ funkcja ciągła, taka że $\ Textstyle n \ in$ zbiór ${\ Displaystyle \textstyle E = \ {x \ in X \ środek f (Tx) \ neq f (x) + 1 \}}$ spełnia $są$ parami

Gutman udowodnił następujące twierdzenie:

Twierdzenie: Niech będzie $topologicznym$ układem dynamicznym, który ma małą . $,$ dla $X$ funkcja ​​zbiór ${\ Displaystyle \textstyle E = \ {x \ in X \ środek f (Tx) \ neq f (x) + 1 \}}$ spełnia ${\ displaystyle \ operatorname {ocap} (\textstyle E) <\varepsilon}$ , gdzie ${\ displaystyle \ operatorname {ocap}}$ oznacza pojemność orbity .

Dalsze uogólnienia

• Istnieją wersje dla nieodwracalnych transformacji zachowujących miarę.
• Donald Ornstein i Benjamin Weiss udowodnili wersję dla swobodnych działań przeliczalnych, odrębnych grup podatnych .
• Carl Linderholm udowodnił wersję dla okresowych transformacji nieosobliwych.

Notatki

• Włodzimierz Rokhlin . „Ogólna” transformacja zachowująca miarę nie jest mieszaniem . Doklady Akademii Nauk SSSR (NS), 60:349–351, 1948.
• Shizuo Kakutaniego . Przekształcenia z zachowaniem miary indukowanej . Proc. Chochlik. Acad. Tokio, 19: 635–641, 1943.
• Benjamina Weissa . O pracach VA Rokhlina w teorii ergodycznej . Teoria ergodyczna i systemy dynamiczne , 9 (4): 619–627, 1989.
• Izaak Kornfeld . Niektóre stare i nowe wieże Rokhlin . Współczesna matematyka, 356:145, 2004.

Zobacz też

Lematu Rokhlina nie należy mylić z twierdzeniem Rokhlina .