Lokalna płaskość

W topologii , gałęzi matematyki , płaskość lokalna jest warunkiem gładkości, który można nałożyć na podrozmaitości topologiczne . W kategorii rozmaitości topologicznych podrozmaitości płaskie lokalnie pełnią podobną rolę, jak podrozmaitości osadzone w kategorii rozmaitości gładkich . Naruszenia lokalnej płaskości opisują sieci grzbietów i pogniecione struktury , mające zastosowanie w obróbce materiałów i inżynierii mechanicznej .

Definicja

Załóżmy, że d- wymiarowa rozmaitość N jest osadzona w n- wymiarowej rozmaitości M (gdzie d < n ). Jeśli mówimy $,$ jest lokalnie płaskie w x jeśli istnieje sąsiedztwo x że para topologiczna ${\ Displaystyle U \ podzbiór M$ , ${\ Displaystyle (U, U \ cap N)}$ jest homeomorficzny z parą ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {d} )}$ , ze standardowym włączeniem ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ do \ mathbb {R} ^ {n}.}$ Oznacza to, że istnieje homeomorfizm ${\ Displaystyle U \ do \ mathbb {R} ^ {n }}$ takie, że obraz ${\ Displaystyle U \ cap N}$ pokrywa się z ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ . W ujęciu schematycznym następujący kwadrat musi komutować :

Nazywamy N lokalnie płaskim w M , jeśli N jest lokalnie płaski w każdym punkcie. $N$ mapa jest lokalnie płaską $\chi (U)$ nawet osadzeniem, jeśli każde x w ma sąsiedztwo U , którego obraz jest lokalnie płaska w M .

W rozmaitościach z granicą

Powyższa definicja zakłada, że jeśli M ma granicę , x nie jest punktem granicznym M . Jeśli x jest punktem na granicy M , to definicja jest modyfikowana w następujący sposób. Mówimy, że $takie,$ jest lokalnie płaskie w punkcie granicznym M , jeśli istnieje sąsiedztwo że para topologiczna ${\ Displaystyle (U, U \ cap N)}$ jest homeomorficzny z parą ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, \ mathbb { R} ^{d})}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ jest standardową półprzestrzenią i ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d }}$ jest uwzględniona jako standardowa podprzestrzeń jej granicy.

Konsekwencje

Lokalna płaskość osadzania implikuje silne właściwości, które nie są wspólne dla wszystkich osadzeń. Brown (1962) udowodnił, że jeśli d = n - 1, to N ma kołnierz; to znaczy, że ma sąsiedztwo, które jest homeomorficzne z N × [0,1], przy czym samo N odpowiada N × 1/2 (jeśli N jest we wnętrzu M ) lub N × 0 (jeśli N jest na granicy M. ).

Zobacz też

Brown, Morton (1962), Lokalnie płaskie osadzenie [ sic ] rozmaitości topologicznych. Annals of Mathematics , druga seria, tom. 75 (1962), s. 331–341.
Mazur, Barry. Na osadzaniach kul. Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , tom. 65 (1959), nr. 2, s. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034 .