Lokalnie nilpotentne wyprowadzenie

W matematyce wyprowadzenie $przemiennego$ nazywa się wyprowadzeniem lokalnie nilpotentnym ( LND $),$$styl wyświetlania \częściowy }$ każdy element jest unicestwiany przez jakąś potęgę $A}$$\$ displaystyle .

Jedna z motywacji do badania wyprowadzeń lokalnie nilpotentnych wynika z faktu, że niektóre kontrprzykłady do 14. problemu Hilberta są otrzymywane jako jądra wyprowadzenia na pierścieniu wielomianowym.

Nad polem $charakterystycznego zera$ aby dać lokalnie nilpotentne wyprowadzenie w domenie całkowej $grupy$ skończenie generowane na polu, jest równoważne z podaniem działania addytywnej ${\ Displaystyle (k, +)}$ do odmiany afinicznej ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} (A)}$ . Z grubsza mówiąc, rozmaitość afiniczna dopuszczająca „mnóstwo” działań grupy addytywnej jest uważana za podobną do przestrzeni afinicznej.

Definicja

Niech będzie $_$ . _ Przypomnijmy, że ${\ Displaystyle \ częściowe (ab) = (\ częściowe a) b + a (\ częściowe b)}$ z jest spełniającą regułę ∂ $\$$\$ dla każdego ${\ Displaystyle a, b \ in A}$ . Jeśli jest algebrą $,$ polu $,$ wymagamy , aby była $-liniowa$ więc $Displaystyle A$$⁡$ .

Wyprowadzenie $in$ nazywane ${\ Displaystyle \ częściowe ^ {n} (a) = 0}$ lokalnie nilpotentnym (LND), jeśli dla każdego $A$ całkowita taka, że ​​za $\ Displaystyle a \$ .

Jeśli jest $oceniany$ , mówimy, że lokalnie nilpotentne wyprowadzenie jest jednorodne (o $jeśli$$)$ deg $Displaystyle$ \ dla każdego ${\ Displaystyle a \ in A}$ .

Zbiór lokalnie nilpotentnych wyprowadzeń pierścienia $ZA$ oznaczony przez ${\ Displaystyle \ operatorname {LND} (A)$ } Zauważ, że ten zestaw nie ma oczywistej struktury: nie jest ani domknięty przez dodawanie (np. if ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1} = y {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe x}}}$ , ${\ Displaystyle \ częściowe _ {2} = x {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe y}}}$ następnie ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1 } \ częściowe _ {2} \ w \ nazwa operatora {LND} (k [x, y])}$ ale ${\ Displaystyle (\ częściowe _ {1} + \ częściowe _{2})^{2}(x)=x}$ , więc $_$ _ mnożenie przez elementy $np$ . ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe x}} \ w \ nazwa operatora {LND} (k [ x])}$ , ale ${\ Displaystyle x {\ tfrac {\ częściowy} {\ częściowy x}} \ nie \ w \ operatorname {LND} (k [x])})$ . Jeśli $_$ _ $_ {1},\częściowe _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$ implikuje ${\ Displaystyle \ częściowe _ {1} + \ częściowe _ {2} \ w \ nazwa operatora {LND} (A)}$ i jeśli ${\ Displaystyle \ częściowe \ w \ nazwa operatora {LND} (A)}$ , ${\ Displaystyle h \ w \ ker \ częściowy}$ następnie ${\ Displaystyle h \ częściowy \ w \ nazwa operatora {LND} (A)}$ .

Relacja do G _a -działań

Niech $będzie$ algebrą nad polem charakterystycznego zera (np. $k = \ mathbb {C}}$$displaystyle$ ). Wtedy istnieje relacja jeden do ${$ między lokalnie nilpotentnymi $za$ na a działaniami grupy addytywnej ${$$\ displaystyle \ mathbb {G} _ {a$ na odmianie afinicznej k $displaystyle k}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} A}$ w następujący sposób. ZA ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ -działanie na ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} A}$ odpowiada an ${\ Displaystyle k}$ -algebra homomorfizm ${\ Displaystyle \ rho \ dwukropek A \ do A [t]}$ . Każde takie $nilpotentne$ wyprowadzenie ${\ Displaystyle \ częściowy}$ z ${\ Displaystyle A}$ , biorąc jego pochodną na zero, a mianowicie $\ rho,}$${\ Displaystyle \ częściowy = \ epsilon \ circ {\ tfrac {d} {dt }} \$$. I$ gdzie oznacza ocenę w $\ displaystyle t = 0}$ { $odwrotnie$ , każde lokalnie nilpotentne wyprowadzenie homomorfizm ${\ Displaystyle \ rho \ dwukropek A \ do A [t]}$ przez ${\ Displaystyle \ rho = \ exp (t \ częściowe) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {t ^ {n}}} {n!}} \ częściowe ^ {n}.}$

Łatwo $że$$_ \ nazwa operatora {LND} (A)}$ tj następnie ${\ Displaystyle \ alfa \ circ \ częściowe \ circ \ alfa ^ {- 1} \ w \ nazwa operatora {LND} (A )}$ i ${\ Displaystyle \ exp (t \ cdot \ alfa \ circ \ częściowe \ circ \ alfa ^ {- 1 })=\alpha \circ \exp(t\partial )\circ \alpha ^{-1}}$

Algorytm jądra

Algebra $-action$ z $_$ odpowiednich Jest algebraicznie i silni $domknięty$ . Szczególny przypadek 14. problemu Hilberta dotyczy pytania, czy ${\ Displaystyle \ ker \ częściowy}$ jest generowany w sposób skończony, czy też ${\ Displaystyle A = k [X]}$ $_$ czy iloraz _ Z twierdzenia Zariskiego o skończoności jest prawdą, że ${\ Displaystyle \ dim X \ leq 3}$ . Z drugiej strony to pytanie jest wysoce nietrywialne nawet dla $= \ mathbb {C} ^ {n$$\ Displaystyle$ } . dla ${\ displaystyle n \ geq 5}$ odpowiedź jest na ogół negatywna. Sprawa jest otwarta. ${\ displaystyle n = 4}$

Jednak w praktyce często zdarza się, że $sposób skończony$ : w szczególności na mocy twierdzenia Maurera – Weitzenböcka ma to miejsce w przypadku liniowych LND algebry wielomianów na polu zero charakterystyczne (przez liniowy rozumiemy jednorodność stopnia zero w stosunku do standardowej gradacji).

Załóżmy $generowany$ . ZA ${\ Displaystyle A = k [g_ {1}, \ kropki, g_ {n}]} jest$ generowaną algebrą na polu o charakterystyce zerowej, to ${\ displaystyle \ ker \ partial}$ można obliczyć za pomocą algorytmu van den Essena w następujący sposób. Wybierz wycinek lokalny , czyli element ${\ Displaystyle R \ w \ ker \ częściowe ^ {2} \ setminus \ ker \ częściowe}$ i umieścić ${\ Displaystyle f = \ częściowe r \ w \ ker \częściowy }$ . Niech ${\ Displaystyle \ pi _ {r} \ dwukropek \, A \ to (\ ker \ częściowe) _ {f}}$ będzie mapą Dixmiera określoną przez ${\ Displaystyle \ pi _ {r} (a) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(-1) ^ {n}} {n !}}\częściowo ^{n}(a){\frac {r^{n}}{f^{n}}}}$ . Teraz dla każdego $i = 1, \ kropki, n}$ minimalną liczbę całkowitą , że ${\ Displaystyle$${\ Displaystyle h_ {i} \ dwukropek = f ^ {m_ {i}} \ pi _ {r} (g_ {i}) \ w \ ker \ częściowy}$ , umieścić ${\ Displaystyle B_ {0} = k [h_ {1}, \ kropki, h_ {n}, f] \ subseteq \ker \partial }$ i zdefiniuj indukcyjnie ${\ Displaystyle B_ {i}}$ być podpierścieniem wygenerowanym przez ${\ Displaystyle A} za$${\ Displaystyle \ {h \ w A: fh \ w B_ { i-1}\}}$ . $_$ udowadnia jeśli ${\ Displaystyle B_ {i} = B_ {i + 1}}$ wtedy ${\ Displaystyle B_ {i} = \ ker \ częściowy}$ , więc ${\ displaystyle B_ {N} = \ ker \ częściowy}$ dla niektórych ${\ displaystyle N}$ . $Znalezienie$ generatorów każdego sprawdzenie, ${\ Displaystyle B_ {i} = B_ {i + 1}}$ to standardowe obliczenie z wykorzystaniem baz Gröbnera .

Twierdzenie o plasterkach

Załóżmy, że ${\ Displaystyle \ częściowe \ w \ operatorname {LND} (A)}$$\częściowe s=1}$$Displaystyle$ tj . taki , że ${\$ . Twierdzenie o plasterku twierdzi, że $jest$ wielomianową ${\ Displaystyle (\ ker \ częściowe) [s]}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe = {\ tfrac {d} {ds}}}$ .

Dla $o$ _ _ $_ {\ częściowy r}}$$_$$.$ , a tym samym uzyskać, że jest lokalnie algebrą wielomianową ze standardowym wyprowadzeniem W kategoriach geometrycznych, jeśli iloraz geometryczny ${\ Displaystyle \ pi \ dwukropek \, X \ do X //\ mathbb {G} _ {a}}$ jest pokrewny (np. gdy ${\ Displaystyle \ dim X \ równoważnik 3}$ przez twierdzenie Zariskiego ), to ma podzbiór otwarty Zariskiego taki, że jest $}$ względem $^ {- 1} (U)$$\ Displaystyle \$ do $mathbb$${A} ^ {1}}$ , gdzie działa przez tłumaczenie na drugi czynnik.

Jednak ogólnie $jest$ prawdą Na przykład niech ${\ Displaystyle \ częściowe = u {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe x}} + v {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe y}} + (1 + uy ^ {2}) {\tfrac {\częściowy }{\częściowy z}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x, y, z, u, v])}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ ker \ częściowe}$ jest pierścieniem współrzędnych pojedynczej odmiany, a włókna mapy ilorazowej nad punktami osobliwymi są dwuwymiarowe.

Jeśli $3}$$=$ to krzywą Aby opisać $zrozumieć$ , ważne jest, $.$ Załóżmy ponadto, że $= \ mathbb {C}}$ i że jest gładka ${\ displaystyle X}$ i kurczliwy (w takim przypadku $również$ gładki i kurczliwy) i wybierz $($ w odniesieniu do inkluzji). Następnie Kaliman udowodnił, że $nieredukowalny$ składnik jest krzywą wielomianową , tj. jej normalizacja jest ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$ z . Krzywa ${\ Displaystyle \ Gamma}$ dla działania podanego przez (2,5) -wyprowadzenie Freudenburga (patrz $}$ ) jest sumą dwóch linii w ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$ więc może nie do być nieredukowalny. Przypuszcza się jednak, że ${\ displaystyle \ Gamma}$ jest zawsze kurczliwy .

Przykłady

Przykład 1

Standardowe wyprowadzenia ${1 },\dots ,x_{n}]}$ algebry wielomianów $n$ są lokalnie nilpotentne. Odpowiednie $ja$ tłumaczenia ${\ Displaystyle t \ cdot x_ {i} = x_ {i} + t}$ , ${\ Displaystyle t \ cdot x_ {j} = x_ {j}}$ dla ${\ Displaystyle j \neq i}$ .

Przykład 2 (wyprowadzenie jednorodne (2,5) Freudenburga)

Niech ${\ Displaystyle f_ {1} = x_ {1} x_ {3} -x_ {2} ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle f_ {2} = x_ {3} f_ {1} ^ {2} + 2x_ {1} ^ {2} x_ {2} f_ {1} + x ^ { 5}}$ i niech będzie wyprowadzenie jakobianu ${\ Displaystyle \ częściowe}$${\ textstyle \ częściowe (f_ {3}) = \ det \ lewo [{\ tfrac {\ częściowe f_ {i}} {\częściowe x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ częściowe \ w \ nazwa operatora {LND} (k [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}])}$ i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {stopień} \ częściowe = 3 }$ (patrz poniżej ); to znaczy, $zmiennej$ . $=$ odpowiedniego działania -action równa się ${\ Displaystyle \ {x_ {1} = x_ {2} = 0$ .

Przykład 3

Rozważ ${\ Displaystyle Sl_ {2} (k) = \ {ad-bc = 1 \} \ subseteq k ^ {4}}$ . Lokalnie nilpotentne wyprowadzenie jego pierścienia współrzędnych $\ częściowe} {\ częściowe b}}}$ odpowiada naturalnemu działaniu ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ na ${\ Displaystyle Sl_ {2} (k)}$ przez mnożenie w prawo górnych trójkątnych macierzy. Ta akcja $,$ nietrywialny ponad $0)\}}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {2} \ setminus \ {(0$ . Jeśli jednak ${\ displaystyle k = \ mathbb {C}}$ wtedy ten pakiet jest trywialny w gładkiej kategorii

LND algebry wielomianów

Niech $\ displaystyle k}$$)$ (używając twierdzenia Kambayashi'ego można zredukować większość wyników do przypadku i niech ${\ Displaystyle A = k [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}]}$ algebrą wielomianową.

n = 2 ( G _a -działania na płaszczyźnie afinicznej)

Twierdzenie Rentschlera - Każdy LND z można skoniugować z ${\ Displaystyle k [x_ {1}, x_ {2}]}$${\ Displaystyle f (x_ { 1}) {\ tfrac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {2}}}}$ dla jakiegoś ${\ Displaystyle f (x_ {1}) \ w k [x_ {1} }]}$ . Wynik ten jest ściśle związany z faktem, że każdy automorfizm płaszczyzny afinicznej jest oswojony i nie utrzymuje się w wyższych wymiarach.

n = 3 ( G _a -działania na afinicznej 3-przestrzeni)

$_$ Miyanishiego - każdego _ pierścień wielomianowy w dwóch zmiennych; to znaczy zbiór punktów stałych każdego nietrywialnego ${\ Displaystyle \ mathbb {A}$ jest izomorficzny z $^ {3}} sol za {\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {$$} styl wyświetlania \mathbb {A} ^{2}}$ .

Innymi słowy, dla każdego ${\ Displaystyle 0 \ neq \ częściowe \ w \ operatorname {LND} (A)}$ istnieje ${\ Displaystyle f_ {1}, f_ {2} \ w A}$ takie, że ${\ Displaystyle \ ker \ częściowe = k [f_ {1}, f_ {2}]}$ (ale w przeciwieństwie do przypadek ${\ Displaystyle n = 2}$ , ${\ Displaystyle A}$ niekoniecznie jest pierścieniem wielomianowym nad ${\ Displaystyle \ ker \ częściowy}$ ). W tym przypadku jakobianu: $jot$${\textstyle \częściowy (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\częściowy f_{i}}{\częściowy x_{j}}}\right]_{i,j=1,2, 3}}$ .

$Displaystyle \ częściowy \ w$ Zurkowskiego - Załóżmy, że i $jest$$}$ pewnej pozytywnej oceny $displaystyle A}$ takie, że ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ są jednorodne. Wtedy ${\ Displaystyle \ ker \ częściowe = k [f, g]}$ dla jakiegoś jednorodnego ${\ displaystyle f, g}$ . Ponadto, jeśli ${\ Displaystyle \ deg x_ {1}, \ deg x_ {2}, \ deg x_ {3}}$ są względnie pierwsze, to ${\ Displaystyle \ stopień f, \ stopień g}$ są również względnie pierwsze.

Twierdzenie Bonneta - Morfizm ilorazowy ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {3} \ do \ mathbb {A} ^ {2}} a$ sol $\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a }}$ -action jest suriekcją . Innymi słowy, dla każdego ${\ Displaystyle 0 \ neq \ częściowe \ w \ nazwa operatora {LND} (A)}$ , osadzanie ${\ Displaystyle \ ker \ częściowe \ subseteq A}$ indukuje suriekcyjny morfizm ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Spec} A \ do \ nazwa operatora {Spec} \ ker \ częściowy}$ .

Nie dotyczy to już ${\ Displaystyle n \ geqslant 4}$ , np. obrazu mapy ilorazowej ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {4} \ do \ mathbb {A} ^ {3}}$ przez za ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ -action ${\ Displaystyle t \ cdot (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} -tx_ {2}, x_ {4} + tx_ {1})}$ (co odpowiada LND podanemu przez ${\ Displaystyle x_{1}{\tfrac {\częściowy }{\częściowy x_{4}}}-x_{2}{\tfrac {\częściowy }{\częściowy x_{3}}}}} równa$ się ${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {3} \ setminus \ {(x_ {1}, x_ {2}, x_{3}):x_{1}=x_{2}=0,x_{3}\neq 0\}}$ .

Twierdzenie Kalimana - $z$ swobodne działanie punktu $jest$ sprzężone . Innymi słowy, każdy $\ w \ operatorname {LND} (A)}$${\ Displaystyle \ częściowy}$ że obraz jednostki generuje ideał jednostkowy (lub równoważnie $częściowe$ definiuje nigdzie znikające pole wektorowe), dopuszcza wycinek. Wynik ten odpowiada na jedno z przypuszczeń z listy Krafta.

, ten wynik nie jest prawdziwy dla $rozważ$ np ${\ Displaystyle x_ {1} {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {2}}} + x_ {2} {\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {3 }}}+(x_{2}^{2}-2x_{1}x_{3}-1){\tfrac {\częściowy }{\częściowy x_{4}}}\w \operatorname {LND} (\ mathbb {C} [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}])}$ . Punkty ${\ Displaystyle (x_ {1}, 1,0,0)}$ i ${\ Displaystyle (x_ {1}, -1,0, 0)}$$akcji$ odpowiedniej wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x_ {1} \ neq 0}$ ; stąd iloraz (topologiczny) nie jest nawet Hausdorffem, nie mówiąc już $.$ do

Twierdzenie o głównym idealnym - Niech ${\ Displaystyle \ częściowe \ w \ operatorname {LND} (A)}$ . Wtedy jest wiernie płaska nad $ker \ częściowy}$$Displaystyle$ . Co więcej, idealny ${\ Displaystyle \ ker \ częściowy \ cap \ operatorname {im} \ częściowy}$ jest główny w ${\ Displaystyle A}$ .

Wyprowadzenia trójkątne

Niech ${\ displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {n}}$ będzie dowolnym systemem zmiennych ZA $\ displaystyle A}$ ; to znaczy ${\ Displaystyle A = k [f_ {1}, \ kropki, f_ {n}]}$ . Wyprowadzenie nazywa się $trójkątnym$ w odniesieniu do tego systemu zmiennych , ${\ Displaystyle \ częściowe f_ {1} \ w k}$ i ${\ Displaystyle \ częściowe f_ {i} \ w k [f_ {1}, \ kropki, f_ {i-1}]}$ dla ${\ Displaystyle i = 2, \ kropki, n}$ . Wyprowadzenie nazywamy trójkątnym jeśli jest sprzężony z trójkątnym, lub równoważnie, jeśli jest trójkątny w odniesieniu do jakiegoś systemu zmiennych. Każde trójkątne wyprowadzenie jest lokalnie nilpotentne. Odwrotność jest prawdziwa dla $powyższego$ twierdzenia Rentschlera, ale nie jest prawdziwa dla $geq 3}$ .

Przykład Bassa

k ${3}]}$ podane przez ${\ Displaystyle x_ {1} {\ tfrac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {2}}} + 2x_ {2} x_ {1} {\ tfrac {\ częściowy} {\ częściowy x_ {3}} }}$ nie jest triangulowalny. Rzeczywiście, zbiór punktów stałych odpowiedniego ${\ Displaystyle \ mathbb {G} _ {a}}$ - akcja to stożek kwadratowy ${\ Displaystyle x_ {2} x_ {3} = x_ {2} ^ {2}}$ , natomiast przez wynik Popowa , zbiór punktów stałych triangulowalnego $ZA$ izomorficzny z ${ 1}}$ dla jakiejś odmiany afinicznej ${\ displaystyle Z}$ ; a zatem nie może mieć izolowanej osobliwości.

Twierdzenie Freudenburga - Powyższy niezbędny warunek geometryczny został później uogólniony przez Freudenburga. Aby podać jego wynik, potrzebujemy następującej definicji:

Korek z ${\ Displaystyle \ częściowe \ w \ nazwa operatora {LND} (A)}$$to$ maksymalna liczba , że ​​istnieje system zmiennych ${\ Displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {n}}$ takie, że ${\ Displaystyle f_ {1}, \ kropki, f_ {j} \ w \ ker \ częściowe}$ . Zdefiniuj ${\ Displaystyle \ operatorname {ranga} \ częściowa}$ jako ${\ Displaystyle n}$ minus korek ${\ Displaystyle \ częściowy}$ .

Mamy ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik \ nazwa operatora {ranga} \ częściowa \ równoważnik n}$ i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {pozycja} (\ częściowa) = 1}$ jeśli ∂ ${\ tfrac {\ częściowe} {\ częściowe x_ {n}}}}$ dla pewnego ${\ Displaystyle h \ w k [x_ {1}, \ kropki, x_ {n-1}]}$ .

Twierdzenie: Jeśli $jest$$mathbb { G} _ {a}}$ hiperpowierzchnia zawarta w zbiorze punktów stałych odpowiedniego -działanie jest izomorficzne z ${\ Displaystyle Z \ razy \ mathbb {A} ^ {\ operatorname {ranga} \ częściowa}}$ .

W szczególności LND o maksymalnej randze $mogą$ być triangulowalne. Takie wyprowadzenia istnieją dla : pierwszym przykładem jest (2,5) -jednorodne wyprowadzenie $wyżej )$ można je łatwo uogólnić na dowolne $\ displaystyle n \geq 3}$ .

Niezmiennik Makara-Limanowa

Główny artykuł: niezmiennik Makara-Limanowa

Przecięcie się jąder wszystkich lokalnie nilpotentnych pochodnych pierścienia współrzędnych lub, równoważnie, pierścienia niezmienników wszystkich $.$ nazywa się „niezmiennikiem Makara-Limanowa” " i jest ważnym niezmiennikiem algebraicznym rozmaitości afinicznej. Na przykład jest to trywialne dla przestrzeni afinicznej; ale w przypadku potrójnej sześciennej Korasa-Russella , która jest dyfeomorficzna w stosunku do $,$ tak nie

Dalsza lektura

• A Nowicki, czternasty problem Hilberta dla wyprowadzeń wielomianowych