Mediana (matematyka)

W matematyce mediana dwóch ułamków , zwykle składająca się z czterech dodatnich liczb całkowitych

\ Displaystyle {\ Frac {a} {c}} \ quad}

i

{\ Displaystyle \ quad {\ Frac {b} {d}} \ quad}

jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle \ quad {\ Frac {a + b} {c + d}}.}

Oznacza to, że licznik i mianownik mediany są odpowiednio sumami liczników i mianowników podanych ułamków. Nazywa się to czasem sumą pierwszoklasistów , ponieważ jest częstym błędem na wczesnych etapach nauki dodawania ułamków zwykłych .

Technicznie rzecz biorąc, jest to operacja binarna na prawidłowych ułamkach (mianownik niezerowy), traktowanych jako uporządkowane pary odpowiednich liczb całkowitych, a priori pomijając perspektywę liczb wymiernych jako klas równoważności ułamków. Na przykład mediana ułamków 1/1 i 1/2 wynosi 2/3. Jeśli jednak ułamek 1/1 zostanie zastąpiony ułamkiem 2/2, który jest ułamkiem równoważnym oznaczającym tę samą liczbę wymierną 1, mediana ułamków 2/2 i 1/2 wynosi 3/4. Aby uzyskać silniejsze powiązanie z liczbami wymiernymi, może być konieczne zredukowanie ułamków do najniższych terminów , wybierając w ten sposób unikalnych przedstawicieli z odpowiednich klas równoważności.

Sterna -Brocota zapewnia wyliczenie wszystkich dodatnich liczb wymiernych za pomocą median w najniższych kategoriach, uzyskanych wyłącznie przez iteracyjne obliczenie mediany zgodnie z prostym algorytmem.

Nieruchomości

Nierówność mediany: Ważną właściwością (również wyjaśniającą jej nazwę) medianty jest to, że leży ona ściśle między dwoma ułamkami, których jest medianą: Jeśli ${\ displaystyle a/c <b/d }$ i wtedy $\ Displaystyle c \ cdot d> 0}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {a} {c} }< {\ Frac {a + b} {c + d}} }< {\ Frac {b} {d}}.}$ Właściwość ta wynika z obu relacji ${\ Frac {a + b} {c + d}} -{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{ d}}-{\frac {a}{c}}\right)}$ I ${\ Displaystyle {\ Frac {b} {d}} - {\ Frac {a + b} {c + d}} = {{bc-ad} \ ponad {d (c + d)}} = {c \ nad {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}$
Załóżmy, że para ułamków a / c i b / d spełnia wyznacznik relacji $\ displaystyle bc-ad = 1}$ . Wtedy mediana ma tę właściwość, że jest najprostszym ułamkiem w przedziale ( a / c , b / d ), w tym sensie, że jest ułamkiem o najmniejszym mianowniku. Dokładniej, jeśli ułamek ${\ Displaystyle a'/c'}$ z dodatnim mianownikiem c 'leży (ściśle) między za / c i b / re , to jego licznik i mianownik można zapisać jako ${\ Displaystyle a' = \ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b}$ i do $\ Displaystyle c' = \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d}$ z dwiema dodatnimi liczbami rzeczywistymi (w rzeczywistości wymiernymi) ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ \ lambda _ {2}}$ . Aby zobaczyć, dlaczego musi być dodatni, zauważ, że ${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$ $\ Displaystyle {\ Frac {\ lambda _ {1} a + \ lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}}$ I $Displaystyle {\ Frac {b} {d}} - { \frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda_{1}c+\lambda_{2}d)}}}$ musi być dodatni. Relacja wyznacznikowa ${\ displaystyle bc-ad = 1 \,}$ oznacza to, że oba muszą być liczbami całkowitymi, rozwiązującymi układ równań liniowych ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ \ lambda _ {2}}$ ${\ Displaystyle a' = \ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b}$ ${\ Displaystyle c '= \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d}$ dla $\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}}$ . Dlatego ${\ displaystyle c'\ geq c + re.}$
Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: załóżmy, że para ułamków zredukowanych a / c < b / d ma tę właściwość, że ułamek zredukowany o najmniejszym mianowniku leżącym w przedziale ( a / c , b / d ) jest równy medianie dwie frakcje. Wtedy zachodzi relacja wyznacznikowa $bc - ad = 1 .$ Fakt ten można wydedukować np. za pomocą twierdzenia Picka który wyraża pole trójkąta płaskiego, którego wierzchołki mają współrzędne całkowite wyrażone jako liczba v _wnętrz punktów sieci (ściśle) wewnątrz trójkąta i liczba v _granic punktów sieci na granicy trójkąta. Rozważ trójkąt z trzema wierzchołkami v _{1 =} $) {\ Displaystyle \ Delta (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}$ 0, 0 } ₂ = ( za , do ), v ₃ = ( b , re ). Jego pole jest równe ${\ Displaystyle {\ text {obszar}} (\ Delta) = {{bc-ad} \ ponad 2} \,.}$ Punkt wewnątrz trójkąta można sparametryzować jako ${\ Displaystyle p = (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ Displaystyle p_ {1} = \ lambda _ {1} a + \ lambda _ {2} b, \; p_ {2 }=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,}$ Gdzie ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ geq 0, \, \ lambda _ {2} \ geq 0, \, \ lambda _ {1} + \lambda _{2}\równik 1.}$ Formuła Picka ${\ Displaystyle {\ tekst {obszar}} (\ Delta) = v _ {\ operatorname {wnętrze}} +{v_{\mathrm {granica}} \ponad 2}-1}$ implikuje teraz, że musi istnieć punkt kratowy $q = (q 1, q 2)$ leżący wewnątrz trójkąta różny od trzech wierzchołków, jeśli $bc - ad > 1$ (wtedy pole trójkąta wynosi ${\ Displaystyle \ geq 1}$ ). Odpowiedni ułamek q ₁ / q ₂ leży (ściśle) pomiędzy podanymi (z założenia zredukowanymi) ułamkami i ma mianownik ${\ Displaystyle q_ {2} = \ lambda _ {1} c + \ lambda _ {2} d \ równoważnik \ max (c, d)<c+d}$ Jak ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \ równoważnik 1.}$
Podobnie, jeśli p / q i r / s są ułamkami zredukowanymi w przedziale jednostkowym takim, że | ps − rq | = 1 (tak, że są to sąsiednie elementy rzędu sekwencji Fareya ) wtedy ${\ Displaystyle? \ lewo ({\ Frac {p + r} {q + s}} \ prawo) = { \frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\ Prawidłowy)}$
gdzie $?$ jest funkcją znaku zapytania Minkowskiego . W rzeczywistości mediany często występują w badaniu ułamków ciągłych , aw szczególności ułamków Fareya . n - ty ciąg Fareya Fn jest zdefiniowany jako (uporządkowany pod względem wielkości) ciąg ułamków zredukowanych _a / b ( z względnie pierwszymi a , b ) taki, że b ≤ n . Jeśli dwa ułamki a / c < b / d $wspomniany powyżej$ w segmencie fa _wtedy wyznacznik relacji i dlatego mediana jest najprostszym ułamkiem w przedziale ( a / c , b / d ), w sensie bycia ułamkiem o najmniejszym mianowniku. W ten sposób mediant pojawi się (najpierw) w ( ok + d )-ty ciąg Fareya i jest „następnym” ułamkiem, który jest wstawiany w dowolny ciąg Fareya pomiędzy a / c i b / d . Daje to regułę, w jaki sposób sekwencje Fareya F _n są sukcesywnie budowane wraz ze wzrostem n .

Graficzne wyznaczanie mediantów

Graficzne wyznaczanie mediany dwóch liczb wymiernych. Nachylenia segmentów niebieskiego i czerwonego to dwie liczby wymierne; nachylenie zielonego segmentu jest ich medianą.

Dodatnia liczba wymierna to jedynka w postaci $displaystyle a,$ , { $}$ są dodatnimi liczbami naturalnymi tj. ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {N} ^ {+}}$ . Zbiór dodatnich liczb wymiernych jest zatem iloczynem kartezjańskim N ${+}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$ sam w sobie; tj. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^ {+} = (\ mathbb {N} ^ {+}) ^ {2}}$ . Punkt o współrzędnych $)$ $}$ reprezentuje liczbę wymierną a nachylenie odcinka łączącego początek współrzędnych z tym punktem ${\ displaystyle a/b}$ . Od ${\ Displaystyle a, b}$ nie muszą być względnie pierwsze , punkt ${\ Displaystyle (b, a)}$ reprezentuje jedną i tylko jedną liczbę wymierną, ale liczba wymierna jest reprezentowana przez więcej niż jeden punkt; np. ${\ Displaystyle (4,2), (60,30), (48,24)}$ wszystkie są reprezentacjami liczby wymiernej ${\ Displaystyle 1/2}$ . Jest to niewielka modyfikacja formalnej definicji $je$ do wartości dodatnich i odwracając kolejność wyrazów w uporządkowanej parze tak segment staje się równy liczbie wymiernej.

Dwa punkty ${\ Displaystyle (b, a) \ neq (d, c)}$ gdzie ${\ Displaystyle a, b, c, d \ in \ mathbb {N} ^ {+}}$ to dwie reprezentacje (prawdopodobnie równoważnych) liczb wymiernych ${\ displaystyle a/b}$ i ${\ displaystyle c/d}$ . $_$ początek $współrzędnych$ i _ $B}$ równoległoboku przeciwny do początku współrzędnych $punkt$ za $a$ i do $/ d}$ .

Pole równoległoboku to ${\ Displaystyle bc-ad}$ , co jest również wielkością iloczynu poprzecznego wektorów ${\ Displaystyle \ langle b, a \ rangle}$ i ${\ Displaystyle \ langle d, c \ rangle}$ . Z formalnej definicji równoważności liczb wymiernych wynika , że obszar wynosi zero, jeśli ${\ displaystyle a/b}$ i są równoważne do ${\ displaystyle c / d$ . W tym przypadku jeden segment pokrywa się z drugim, ponieważ ich nachylenia są równe. Pole równoległoboku utworzonego przez dwie kolejne liczby wymierne w drzewie Sterna-Brocota wynosi zawsze 1.

Uogólnienie

Pojęcie mediany można uogólnić na n ułamków i zachodzi uogólniona nierówność mediany, co wydaje się być pierwszym zauważonym przez Cauchy'ego. Dokładniej, ważona mediana $a_$ ułamków za 1 $n}/b_{n}}$ $Displaystyle a_ {1}/b_ {1}, \ ldots$ , jest określone przez ${\ Displaystyle {\ Frac {\ suma _ {i} w_ {i} a_ {i}} {\ suma _ {i} w_ {i} b_ {i}}}} ($ z $w_{i}>0$ ). Można wykazać $pomiędzy$ $największym$ ułamkiem wśród

Zobacz też

Linki zewnętrzne