Niedziesiętne

System liczb dziesiętnych (znany również jako system liczbowy o podstawie 11) to pozycyjny system liczbowy , którego podstawą jest jedenaście . Chociaż żadne znane społeczeństwo nie liczy jedenastu, przypuszcza się, że zrobiły to dwa: Maorysi , jeden z dwóch ludów polinezyjskich Nowej Zelandii , oraz Pañgwa ( Pangwa ), lud Tanzanii posługujący się językiem bantu . Pomysł liczenia jedenastkami pozostaje interesujący ze względu na jego związek z tradycyjną metodą liczenia praktykowaną w Polinezji. Podczas Rewolucji Francuskiej baza-11 została krótko wspomniana jako możliwa podstawa zreformowanego systemu miar. Cyfry Base-11 pojawiają się również w International Standard Book Number .

Domniemane użycie podstawy 11 w kulturowych systemach liczbowych

Używany przez Maorysów

Conanta i Williamsa

Przez około sto lat pomysł, że Maorysi liczyli przez jedenaście, był najlepiej znany z wzmianki o nim w piśmie amerykańskiego matematyka Leviego Leonarda Conanta . Zidentyfikował to jako „pomyłkę” pochodzącą z XIX-wiecznego słownika języka nowozelandzkiego opublikowanego przez wielebnego Williama Williamsa , ówczesnego archidiakona Waiapu .

„Wiele lat temu pojawiło się stwierdzenie, które od razu przyciągnęło uwagę i rozbudziło ciekawość. Było to skutkiem tego, że Maorysi, rdzenni mieszkańcy Nowej Zelandii, używali jako podstawy swojego systemu liczbowego liczby 11; i że system ten był dość szeroko rozwinięty, mający proste słowa dla 121 i 1331, czyli dla kwadratu i sześcianu 11”.

Oświadczenie to, opublikowane przez Williamsa w pierwszych dwóch wydaniach serii słowników, brzmiało:

„Rdzenny sposób liczenia polega na jedenastu, aż dojdą do dziesiątej jedenastki, która jest ich setką; potem dalej do dziesiątej setki, która jest ich tysiącem: * ale ci tubylcy, którzy utrzymują stosunki z Europejczykami, mają w większości , porzucili tę metodę i pomijając ngahuru , liczą tekau lub tahi tekau jako 10, rua tekau jako 20 itd. * Wydaje się, że jest to zgodne z zasadą odkładania jednego na dziesięć jako sumę. wśród Anglików, jak w przypadku tuzina piekarzy”.

Lekcja i Blosseville

W 2020 roku wcześniejsze, kontynentalne pochodzenie idei, że Maorysi liczyli do jedenastu, wywodzi się z opublikowanych pism dwóch XIX-wiecznych odkrywców naukowych, René Primevère Lesson i Jules de Blosseville . Odwiedzili Nową Zelandię w 1824 roku w ramach rejsu okrężnego Coquille , francuskiej korwety dowodzonej przez Louisa Isidore'a Duperreya i oddelegowanej przez Julesa Dumonta d'Urville'a w latach 1822-1825 . Po powrocie do Francji w 1825 roku Lesson opublikował swoje francuskie tłumaczenie artykułu niemieckiego botanika Adelberta von Chamisso . Na twierdzenie von Chamisso, że nowozelandzki system liczbowy był oparty na dwudziestce ( dwudziestka dwudziestka ), Lesson dodał przypis, aby zaznaczyć błąd:

Tekst Von Chamisso w tłumaczeniu Lekcji: „… de l'E. de la mer du Sud… c'est là qu'on trouve premierement le système arithmétique fondé sur un échelle de vingt, comme dans la Nouvelle- Zélande (2)…” [… na wschód od Morza Południowego… po raz pierwszy znajdujemy system arytmetyczny oparty na skali dwudziestu, jak w Nowej Zelandii (2)…] Przypis do lekcji na temat

von Tekst Chamisso: „(2) Erreur. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais sont les premiers qui ont propagé cette fausse idée. (L.)” [(2) Błąd. Zelandzki system arytmetyczny jest niedziesiętny, a Anglicy jako pierwsi propagują tę fałszywą ideę. (L).]

Von Chamisso sam wspomniał o swoim błędzie w 1821 roku, śledząc źródło swojego zamieszania i jego wyjaśnienia u Thomasa Kendalla , angielskiego misjonarza w Nowej Zelandii, który dostarczył materiał na temat języka Maorysów, który był podstawą gramatyki opublikowanej w 1820 roku przez angielską językoznawca Samuel Lee . W tej samej publikacji z 1821 roku von Chamisso również zidentyfikował system liczbowy Maorysów jako dziesiętny, zauważając, że źródłem nieporozumień była polinezyjska praktyka liczenia rzeczy parami, w której każda para była liczona jako pojedyncza jednostka, tak że dziesięć jednostek było numerycznie równowartość dwudziestu:

„Mamy przed sobą Grammar and Vocabulary of the Language of New Zealand, opublikowane przez Church Missionary Society. Londyn, 1820. 8vo. Autorem tej gramatyki jest ten sam pan Kendall, który przekazał nam Słownictwo podczas podróży Nicolasa Język został teraz dla nas otwarty i poprawiamy naszą opinię”.

I,

„Bardzo trudno jest znaleźć system arytmetyczny ludu. W Nowej Zelandii, podobnie jak na Tonga, jest system dziesiętny. Co mogło być może oszukać pana Kendalla na początku, w jego pierwszej próbie w podróży Mikołaja, za którą podążaliśmy, Nowozelandczycy mają zwyczaj liczenia rzeczy parami. Tubylcy Tonga liczą banany i ryby podobnie parami i dwudziestkami ( Tecow , angielski wynik ) .

Użycie przez lekcję terminu „undécimal” w 1825 r. Było prawdopodobnie błędem drukarza, który połączył zamierzone wyrażenie „un décimal”, które poprawnie zidentyfikowałoby numerację nowozelandzką jako dziesiętną. Lekcja wiedziała, że ​​liczby polinezyjskie są dziesiętne i bardzo podobne w całym regionie, ponieważ podczas swoich dwóch lat na Coquille nauczył się wiele o systemach liczbowych Pacyfiku , gromadząc słowniki liczbowe i docelowo publikując lub komentując kilkanaście z nich. Znał także twórczość Thomasa Kendalla i Samuela Lee dzięki tłumaczeniu dzieł von Chamisso. Okoliczności te sugerują, że jest mało prawdopodobne, aby Lesson źle zrozumiał liczenie w Nowej Zelandii jako liczenie jedenastkami.

Lesson i jego kolega ze statku i przyjaciel, Blosseville, wysłali do swoich współczesnych relacje o rzekomym odkryciu liczenia opartego na jedenastkach w Nowej Zelandii. Co najmniej dwóch z tych korespondentów opublikowało te raporty, w tym włoski geograf Adriano Balbi , który szczegółowo opisał list, który otrzymał od Lessona w 1826 r., oraz węgierski astronom Franz Xaver von Zach , który krótko wspomniał o rzekomym odkryciu w ramach listu z Blosseville, który otrzymał za pośrednictwem osoby trzeciej. Lesson był również prawdopodobnie autorem niedatowanego eseju, napisanego przez Francuza, ale poza tym anonimowego, znalezionego wśród dokumentów pruskiego językoznawcy Wilhelma von Humboldta i opublikowanego w 1839 roku.

Historia rozwinęła się w jej powtórzeniu: list z 1826 roku opublikowany przez Balbiego dodał rzekome słownictwo liczbowe z terminami oznaczającymi jedenaście kwadratów ( Karaou ) i jedenaście sześcianów ( Kamano ), a także opis, w jaki sposób słowa liczbowe i procedura liczenia zostały rzekomo wywołane od lokalnych informatorów. W ciekawy sposób zmienił również błędną klasyfikację wymagającą korekty z dziesiętnej na dziesiętną. Esej z 1839 r. Opublikowany wraz z artykułami von Humboldta o nazwisku Thomas Kendall , angielski misjonarz, którego zamieszanie co do wpływu liczenia par na liczby Maorysów spowodowało, że von Chamisso błędnie zidentyfikował je jako dwudziestkowe . Wymieniono również miejsca, z których rzekomo pochodzili lokalni informatorzy.

Stosunek do tradycyjnego liczenia

Pomysł, że Maorysi liczyli jedenastkami, podkreśla pomysłową i pragmatyczną formę liczenia, praktykowaną niegdyś w całej Polinezji. Ta metoda liczenia odłóż na bok co dziesiąty przedmiot, aby zaznaczyć dziesięć z policzonych przedmiotów; pozycje odłożone były następnie liczone w ten sam sposób, przy czym co dziesiąta pozycja oznaczała teraz sto (druga runda), tysiąc (trzecia runda), dziesięć tysięcy pozycji (czwarta runda) i tak dalej. Metoda liczenia działała tak samo niezależnie od tego, czy podstawową jednostką była pojedyncza pozycja, para czy grupa czterech — podstawowe jednostki liczenia używane w całym regionie — i była podstawą unikalnego liczenia binarnego znalezionego w Mangareva , gdzie liczenie mogło również przebiegać w grupach po osiem osób.

Metoda liczenia rozwiązuje również inną zagadkę: dlaczego hawajskie słowo oznaczające dwadzieścia , iwakalua , oznacza „dziewięć i dwa”: kiedy metoda liczenia była używana z parami, policzono dziewięć par (18) i ustawiono ostatnią parę (2) odłożyć na następną rundę.

Używany przez Pañgwa

Mniej wiadomo o pomyśle, że ludność Pañgwa w Tanzanii liczyła jedenaście. Wspomniał o nim w 1920 roku brytyjski antropolog Northcote W. Thomas :

„Innym nienormalnym systemem liczbowym jest system Pangwa, na północny wschód od jeziora Nyassa, który używa podstawy jedenastu”.

I,

„Gdybyśmy mogli być pewni, że ki dzigo pierwotnie miało znaczenie jedenastu, a nie dziesięciu, w Pangwa, byłoby kuszące, aby skorelować dzi lub či z tym samym słowem w Walegga-Lendu, gdzie oznacza dwanaście, i w ten sposób wprowadzić do związek, choć najdelikatniejszy i najbardziej odległy, obejmuje wszystkie trzy obszary, w których stosowane są systemy nienormalne”.

Twierdzenie zostało powtórzone przez brytyjskiego odkrywcę i administratora kolonialnego Harry'ego H. Johnstona w Vol. II jego studium bantu i semi-bantu z 1922 roku . On również zauważył sugestywne podobieństwa między terminem Pañgwa oznaczającym jedenaście a terminami oznaczającymi dziesięć w pokrewnych językach:

„Czasami istnieją specjalne warunki dla„ jedenastu ”. Z moich informacji wynika, że ​​są one następujące:

Ki-dzigꞷ 36 (w tym języku Pangwa z północno-wschodniej Nyasaland, liczenie w rzeczywistości idzie o jedenaście. Ki-dzigꞷ-kavili = „dwadzieścia dwa”, Ki-dzigꞷ-kadatu = „trzydzieści trzy”). Jednak rdzeń -dzigꞷ jest oczywiście tym samym, co -tsigꞷ , które oznacza „dziesięć” w nr 38. Może być również spokrewnione z -digi ( „dziesięć”) z 148, -tuku lub -dugu z Ababua i języki Konga, -dikꞷ 130, -liku 175 („osiem”) i Tiag 249”.

W klasyfikacji języków bantu i semi-bantu dokonanej przez Johnstona,

• 36 to Pañgwa, Bantu Group J, N. Ruvuma, NE Nyasaland
• 38 to Kiñga, Bantu Grupa K, Ukiñga
• 130 is Ba-ñkutu (Ba-ñkpfutu), Bantu Group DD, Central Congꞷland
• 148 to Li-huku, Bantu Group HH, Upper Ituri
• 175 to Ifumu lub Ifuru (E. Teke), Bantu Group LL, Kwa-Kasai-Upper Ꞷgꞷwe (Teke)
• 249 to Afudu, grupa Semi-Bantu D, S. Benue

Obecnie rozumie się, że Pañgwa ma liczby dziesiętne, z liczbami sześć i wyższymi zapożyczonymi z suahili .

Baza 11 w historii pomiarów

Wkrótce po rewolucji francuskiej Akademia Nauk powołała komitet ( la Commission des Poids et Mesures ) do standaryzacji systemów miar, co było popularną reformą, która była wczesnym krokiem w kierunku stworzenia międzynarodowego systemu metrycznego . W dniu 27 października 1790 r. Komitet poinformował, że rozważał użycie systemu dwunastkowego (podstawa 12) jako podstawy dla wag, długości / odległości i pieniędzy ze względu na jego większą podzielność w stosunku do dziesiętnych (podstawa 10). Ostatecznie jednak odrzucili tę inicjatywę, uznając, że wspólna skala oparta na mówionych liczbach uprości obliczenia i przeliczenia oraz ułatwi wdrożenie nowego systemu. Matematykowi Josephowi-Louisowi Lagrange'owi , członkowi komitetu, przypisuje się wpłynięcie na komitet w celu wybrania ułamka dziesiętnego. Debata na temat tego, którego użyć, wydaje się ożywiona, jeśli nie kontrowersyjna, ponieważ w pewnym momencie Lagrange zasugerował przyjęcie 11 jako liczby podstawowej, na tej podstawie, że niepodzielność była w rzeczywistości korzystna; ponieważ 11 było pierwszą , żaden ułamek z nią jako mianownikiem nie byłby redukowalny:

Delambre napisał: „Il était peu frappé de l'objection que l'on tirait contre ce système du petit nombre des diviseurs de sa base. Il sorrytait presque qu'elle ne fut pas un nombre premier, tel que 11, qui nécessairement eût donné un même dénominateur à toutes les frakcje. que des novateurs plus intrépides auraient voulu substituer à celui de 10, qui fait partout la base de la numération."

W tłumaczeniu: „On [Lagrange] prawie żałował, że [podstawa] nie była liczbą pierwszą, taką jak 11, która z konieczności dawałaby wszystkim ułamkom ten sam mianownik. Pomysł ten zostanie uznany, jeśli wolisz, za jedną z tych przesady które wymykają się najlepszym umysłom w ferworze sporów; ale użył liczby 11 tylko po to, aby wykluczyć liczbę 12, którą co bardziej nieustraszeni innowatorzy chcieli zastąpić 10, która jest wszędzie podstawą numeracji”.

W 1795 roku, w opublikowanych publicznych wykładach w École Normale , Lagrange zauważył, że ułamki o różnych mianownikach (np. 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , 1 / 5 , 1 / 7 ), choć same w sobie proste, niewygodne, ponieważ ich różne mianowniki utrudniały ich porównywanie. Oznacza to, że ułamki nie są trudne do porównania, jeśli licznik wynosi 1 (np. 1 ⁄ 2 jest większe niż 1 / 3 , co z kolei jest większe niż 1 / 4 ). Jednak porównania stają się trudniejsze, gdy zarówno liczniki, jak i mianowniki są mieszane: 3 / 4 jest większe niż 5 / 7 , co z kolei jest większe niż 2 / 3 , chociaż nie można tego ustalić poprzez proste sprawdzenie mianowników w sposób możliwy, jeśli licznik wynosi 1. Zauważył, że trudność została rozwiązana, gdyby wszystkie ułamki miały ten sam mianownik:

Lagrange napisał: „On voit aussi par-là, qu'il est indifférent que le nombre qui suit la base du système, comme le nombre 10 dans notre système décimal, ait des diviseurs ou non; peut-être meme y aurait-il, à quelques égards, de l'avantage à ce que ce nombre n'eût point de diviseurs, 1/2 comme le nombre 11 , ce qui aurait lieu dans le système undécimal, parce qu'on en serait moins porté à pracodawcy les ułamki , 1 / 3 itd.”

W tłumaczeniu: „Widzimy również z tego [argumentu o podzielności], że nie ma znaczenia, czy liczba będąca podstawą systemu, jak liczba 10 w naszym systemie dziesiętnym, ma dzielniki, czy nie; być może nawet byłoby , pod pewnymi względami zaleta, gdyby ta liczba nie miała dzielników, takich jak liczba 11, co miałoby miejsce w systemie dziesiętnym [podstawa-11], ponieważ byłby mniej skłonny do używania ułamków zwykłych 1 ⁄ 2 , 1 ⁄ 3 itd.”

Base-11 w International Standard Book Numbers (ISBN)

10-cyfrowe numery w systemie International Standard Book Numbers (ISBN) wykorzystywały podstawę 11 jako cyfrę kontrolną . Cyfra kontrolna to ostatnia cyfra numeru ISBN, która jest matematycznie powiązana ze wszystkimi innymi zawartymi w nim cyframi i służy do weryfikacji ich dokładności. Reprezentuje odpowiedź na obliczenia matematyczne, w tym przypadku takie, które mnożą 10 cyfr numeru ISBN przez liczby całkowite od 10 (cyfra od lewej) do 2 (od drugiej do ostatniej cyfry po prawej stronie, ostatnia to sama cyfra kontrolna), a następnie sumuje ich. Obliczenie powinno dać wielokrotność 11, której ostatnia cyfra, reprezentowana przez cyfry od 0 do 9 lub X (dla 10), jest równa dziesiątej cyfrze numeru ISBN. Od 1 stycznia 2007 r. standardem są 13-cyfrowe numery ISBN. Międzynarodowa Agencja ISBN udostępnia kalkulator online, który konwertuje 10-cyfrowe numery ISBN na 13 cyfr.

Podwójne liczby dziesiętne

Debel

Baza-10	Baza-11
1	1
2	2
4	4
8	8
16	15
32	2A
64	59
128	107
256	213
512	426
1024	851
2048	15A2

Wykres mnożenia niedziesiętnego

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	10	11	12
2	2	4	6	8	A	11	13	15	17	19	20	22	24
3	3	6	9	11	14	17	1A	22	25	28	30	33	36
4	4	8	11	15	19	22	26	2A	33	37	40	44	48
5	5	A	14	19	23	28	32	37	41	46	50	55	5A
6	6	11	17	22	28	33	39	44	4A	55	60	66	71
7	7	13	1A	26	32	39	45	51	58	64	70	77	83
8	8	15	22	2A	37	44	51	59	66	73	80	88	95
9	9	17	25	33	41	4A	58	66	74	82	90	99	A7
A	A	19	28	37	46	55	64	73	82	91	A0	AA	109
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	AA	110	121	132
12	12	24	36	48	5A	71	83	95	A7	109	120	132	144

Zobacz też

• Cyfra kontrolna Base-11 dla 10-cyfrowych numerów ISBN