Nietypowe anulowanie
Anormalne anulowanie lub przypadkowe anulowanie jest szczególnym rodzajem arytmetycznego błędu proceduralnego, który daje numerycznie poprawną odpowiedź. Podejmuje się próbę skrócenia ułamka przez wykreślenie poszczególnych cyfr w liczniku i mianowniku . To nie jest legalna operacja i generalnie nie daje poprawnej odpowiedzi, ale w niektórych rzadkich przypadkach wynik jest liczbowo taki sam, jak gdyby zastosowano prawidłową procedurę. Trywialne przypadki anulowania końcowych zer lub sytuacji, gdy wszystkie cyfry są równe, są ignorowane.
Przykłady nieprawidłowych anulowań, które nadal dają poprawny wynik, obejmują (te i ich odwrotności to wszystkie przypadki o podstawie 10 z ułamkiem różnym od 1 iz dwiema cyframi):
Artykuł Boasa analizuje przypadki dwucyfrowe o podstawach innych niż podstawa 10 , np. 32/13 = 2/1, a jej odwrotność to jedyne rozwiązania o podstawie 4 z dwiema cyframi.
Anomalne anulowanie zdarza się również przy większej liczbie cyfr, np. 165/462 = 15/42 i przy innej liczbie cyfr (98/392 = 8/32).
Właściwości elementarne
Gdy podstawa jest liczbą pierwszą, nie istnieją rozwiązania dwucyfrowe. Można to udowodnić za pomocą sprzeczności: załóżmy, że rozwiązanie istnieje. Bez utraty ogólności możemy powiedzieć, że to rozwiązanie jest
gdzie podwójna pionowa linia wskazuje konkatenację cyfr . Tak więc mamy
Ale , ponieważ są to cyfry w ; jednak dzieli co oznacza, że . Dlatego. lewa strona również musi wynosić zero, tj. sprzeczność wynikająca z definicji problemu. (Jeśli za , co jest jednym z wykluczonych trywialnych przypadków.)
Inną właściwością jest to, że liczba rozwiązań w bazie nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy . Można to udowodnić podobnie do powyższego: załóżmy, że mamy rozwiązanie
Następnie, wykonując tę samą manipulację, otrzymujemy
Załóżmy, że . zauważ _ To prawie ustanawia inwolucję ze zbioru rozwiązań do siebie. Ale możemy również zastąpić, aby uzyskać który tylko kwadrat. Niech . Biorąc pierwiastki kwadratowe i przestawiając daje . Ponieważ największym wspólnym dzielnikiem jeden , że . Zauważając, że rozwiązania : tj. ma nieparzystą liczbę rozwiązań, gdy jest parzystym kwadratem. Odwrotność stwierdzenia można udowodnić, zauważając, że wszystkie te rozwiązania spełniają początkowe wymagania .