Pętla Costasa

Pętla Costasa jest obwodem opartym na pętli synchronizacji fazowej (PLL), który jest używany do odzyskiwania częstotliwości nośnej z sygnałów modulacji wytłumionej nośnej (np. sygnałów nośnych wytłumionych w pasmach dwuwstęgowych) i sygnałów modulacji fazy (np. BPSK , QPSK ) . Został wynaleziony przez Johna P. Costasa w General Electric w latach pięćdziesiątych. Jego wynalazek został opisany jako mający „głęboki wpływ na nowoczesną komunikację cyfrową”. Podstawowym zastosowaniem pętli Costas są odbiorniki bezprzewodowe. Jego przewagą nad innymi detektorami opartymi na PLL jest to, że przy małych odchyleniach napięcie błędu pętli Costasa wynosi ${\ Displaystyle \ sin (2 (\ theta _ {i} - \ theta _ { f}})}$ w porównaniu z ${\ Displaystyle \ sin (\ theta _ {i} - \ theta _ {f})}$ . Przekłada się to na podwójną czułość, a także sprawia, że ​​pętla Costasa jest wyjątkowo przystosowana do śledzenia z przesunięciem Dopplera , zwłaszcza w odbiornikach OFDM i GPS .

Klasyczna implementacja

Pętla Costasa pracująca w stanie zablokowanym.

W klasycznej implementacji pętli Costasa lokalny oscylator sterowany napięciem (VCO) zapewnia wyjścia kwadraturowe , jeden do każdego z dwóch detektorów faz , np . detektorów produktów . Ta sama faza sygnału wejściowego jest również podawana do obu detektorów fazy, a wyjście każdego detektora fazy jest przepuszczane przez filtr dolnoprzepustowy . Wyjścia tych filtrów dolnoprzepustowych są wejściami do innego detektora fazy, którego wyjście przechodzi przez filtr redukcji szumów, zanim zostanie użyte do sterowania oscylatorem sterowanym napięciem. Ogólna odpowiedź pętli jest kontrolowana przez dwa indywidualne filtry dolnoprzepustowe, które poprzedzają trzeci detektor fazy, podczas gdy trzeci filtr dolnoprzepustowy pełni trywialną rolę pod względem wzmocnienia i marginesu fazy.

Powyższy rysunek pętli Costasa jest narysowany w stanie „zablokowanym”, w którym częstotliwość VCO i przychodząca częstotliwość nośnej stały się takie same ze względu na proces pętli Costasa. Rysunek nie przedstawia stanu „odblokowanego”.

Modele matematyczne

W dziedzinie czasu

Model dziedziny czasu pętli BPSK Costasa

W najprostszym przypadku ${\ Displaystyle m ^ {2} (t) = 1}$ . Dlatego ${\ Displaystyle m ^ {2} (t) = 1}$ nie wpływa na wejście filtra redukcji szumów. Sygnały nośnej i oscylatora sterowanego napięciem (VCO) są oscylacjami okresowymi $( t$$\ Displaystyle f_ {ref, vco} (\ theta _ {ref$$\ theta}} _ {ref, vco} (t)$ mi } Blok $analogowym$ mnożnikiem . _

Filtr liniowy można opisać matematycznie za pomocą układu liniowych równań różniczkowych:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ll} {\ kropka {x}} = Ax + bu_ {d} (t) i u_ {LF} = c ^ {*} x. \ koniec {tablica}}}$

gdzie $stałymi$$macierzą$ , $są$$wektorem$ filtra i _

Zwykle zakłada się, że model VCO jest liniowy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica}} {ll} {\ kropka {\theta}}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{wolna}+K_{vco}u_{LF}(t),&t\w [0,T],\end{tablica }}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ omega _ {vco} ^ {wolny}}$ jest częstotliwością swobodną VCO i jest współczynnikiem wzmocnienia VCO K $\ Displaystyle K_ {vco}}$ . Podobnie można rozważyć różne nieliniowe modele VCO.

Załóżmy, że częstotliwość głównego generatora jest stała ${\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} _ {ref} (t) \ równoważnik \ omega _ {ref}.}$ Równanie VCO i równanie wydajności filtra

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ll} {\ kropka {x}} = Ax + bf_ {ref} (\ theta _ {ref} (t)) f_ {vco} (\ theta _ {vco} (t )),&{\kropka {\theta}}_{vco}=\omega _{vco}^{wolna}+K_{vco}c^{*}x.\end{tablica}}}$

System nie jest autonomiczny i raczej trudny do zbadania.

W dziedzinie częstotliwości fazowej

Równoważny model domeny fazowo-częstotliwościowej pętli Costasa

Wejście VCO dla modelu domeny fazowo-częstotliwościowej pętli Costasa

W najprostszym przypadku kiedy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f_ {ref} {\ duży (} \ theta _ {ref} (t) {\ duży)} = \ cos {\ duży (} \ omega _ {ref} t {\ duży )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big)}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big) }\\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_ {vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\ sin(2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t )+2\omega _{ref}t){\Duży )}\end{wyrównane}}}$

Standardowe założenie inżynierskie jest takie, że filtr usuwa górną częstotliwość wstęgi bocznej z wejścia, ale pozostawia dolną wstęgę boczną bez zmian. Zatem zakłada się, że wejście VCO to $vco} (t)).}$${\ Displaystyle \ varphi (\ theta _ {ref} (t) - \ theta _ {vco} (t)) = {\ Frac {1} {8}} \ sin (2 \ omega _ {ref} t-2 \theta _$${\ Displaystyle f_ {ref} (\ teta)}$$jest$ równoważna pętli fazowej z charakterystyką detektora i ${\ Displaystyle f_ {vco} (\ teta)}$ sygnałów wejściowych i VCO. Można udowodnić, że wyjścia filtrów w dziedzinie czasu i faza-częstotliwość są prawie równe.

W ten sposób można badać prostszy autonomiczny układ równań różniczkowych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {x}} & = Ax + b \ varphi (\ Delta \ theta), \\\ Delta {\ kropka {\ theta}} & = \ omega _ {vco} ^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned} }}$ .

Kryłowa -Bogoliubowa pozwala udowodnić, że rozwiązania równań nieautonomicznych i autonomicznych są bliskie przy pewnych założeniach. Zatem schemat blokowy pętli Costasa w dziedzinie czasu można asymptotycznie zamienić na schemat blokowy na poziomie relacji faza-częstotliwość.

Przejście do analizy autonomicznego dynamicznego modelu pętli Costasa (w miejsce nieautonomicznego) pozwala na przezwyciężenie trudności związanych z modelowaniem pętli Costasa w dziedzinie czasu, gdzie trzeba jednocześnie obserwować bardzo szybki skala czasowa sygnałów wejściowych i wolna skala czasowa fazy sygnału. Pomysł ten umożliwia obliczenie podstawowych charakterystyk wydajności — zakresów utrzymywania, wciągania i blokowania .

Akwizycja częstotliwości

Pętla Costasa przed synchronizacją

Pętla Costasa po synchronizacji

Sygnały Carrier i VCO przed synchronizacją

Wejście VCO podczas synchronizacji

Sygnały Carrier i VCO po synchronizacji

Klasyczna pętla Costasa będzie działać tak, aby różnica faz między nośnikiem a VCO stała się małą, idealnie zerową wartością. Mała różnica faz oznacza, że ​​osiągnięto blokadę częstotliwości.

Pętla QPSK Costasa

Klasyczną pętlę Costasa można dostosować do modulacji QPSK w celu uzyskania wyższych szybkości transmisji danych.

Klasyczna pętla QPSK Costasa

Wejściowy sygnał QPSK jest następujący

${\ Displaystyle m_ {1 }(t)\cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right) ,m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}$

Wejścia filtrów dolnoprzepustowych LPF1 i LPF2 są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ varphi _ {1} (t) & = \ cos \ lewo (\ theta _ {\ tekst {vco}} \ prawo) \ lewo (m_ {1} (t) \ cos \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\ \varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text {ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}$

Po synchronizacji wyjścia LPF1 $uzyskania$ LPF2 $1} (t)}$$)$ zdemodulowanych danych $m_$ i ${\ Displaystyle m_ {2} (t)}$ ). $}$ dostosować częstotliwość VCO do częstotliwości odniesienia, sygnały t ) $)$

${\ Displaystyle u_ {d} (t) = ja (t) \ nazwa operatora {sgn} (Q (t)) -Q (t) \ nazwa operatora {sgn} (ja (t)).}$

Następnie sygnał jest filtrowany przez filtr $pętli i tworzy$ VCO $}} ( t)}$ , podobnie jak pętla BPSK Costas. Zatem QPSK Costas można opisać za pomocą układu równań różniczkowych zwyczajnych :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {x}} _ {1} & = A _ {\ tekst {LPF}} x_ {1} + b _ {\ tekst {LPF}} \ varphi _ {1} ( t),\\{\kropka {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\ \{\kropka {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}{\big (}c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\ nazwa_operatora {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\nazwa_operatora {sgn}(c_{\text{ LPF}}^{*}x_{1}){\big )},\\{\kropka {\theta}}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco}}^{ \text{free}}+K_{\text{VCO}}{\Big (}c_{\text{LF}}^{*}x+h_{\text{LF}}{\big (}c_{\ text{LPF}}^{*}x_{1}\nazwa_operatora {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2})-c_{\text{LPF}}^{*}x_ {2}\operatorname {sgn}(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}){\big )}{\Big )}.\\\end{aligned}}}$

Tutaj ${\ Displaystyle A _ {\ tekst {LPF}}, b _ {\ tekst {LPF}}, c _ {\ tekst {LPF}}} są$ parametrami LPF1 i LPF2 ${\ Displaystyle A _ {\ tekst {LF}}, b _ {\ tekst {LF}}, c _ {\ tekst {LF}}, h _ {\ tekst {LF}}} są$ parametrami filtr pętli.

• Ten artykuł zawiera materiały należące do domeny publicznej z normy federalnej 1037C . Administracja usług ogólnych . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2022-01-22.