Pole różniczkowo zamknięte

W matematyce pole różniczkowe K jest domknięte różniczkowo , jeśli każdy skończony układ równań różniczkowych mający rozwiązanie w pewnym polu różniczkowym rozciągającym się na K ma już rozwiązanie w K. Koncepcja ta została wprowadzona przez Robinsona (1959) . Ciała różniczkowo domknięte są odpowiednikami równań różniczkowych pól algebraicznie domkniętych dla równań wielomianowych.

Teoria pól różniczkowo zamkniętych

Przypomnijmy, że polem różniczkowym jest pole wyposażone w operator derywacji . Niech K będzie polem różniczkowym z operatorem wyprowadzenia ∂.

  • Wielomian różniczkowy w x jest wielomianem w wyrażeniach formalnych x , ∂ x , ∂ 2 x , ... ze współczynnikami w K .
  • Rząd niezerowego wielomianu różniczkowego w x jest największym n takim, że występuje w nim ∂ n x lub −1 , jeśli wielomian różniczkowy jest stały.
  • Separator S f wielomianu różniczkowego rzędu n ≥ 0 jest pochodną f względem ∂ n x .
  • Pole stałych K jest podciałem elementów a , gdzie ∂ a =0.
  • W polu różniczkowym K o niezerowej charakterystyce p wszystkie potęgi p są stałymi. Wynika z tego, że ani K , ani jego pole stałych nie jest doskonałe , chyba że ∂ jest trywialne. Ciało K z wyprowadzeniem ∂ nazywamy różniczkowo doskonałym , jeśli ma albo cechę 0, albo cechę p , a każda stała jest p -tą potęgą elementu K .
  • Ciało różniczkowo zamknięte jest różniczkowalnie doskonałym polem różniczkowym K takim, że jeśli f i g są wielomianami różniczkowymi takimi, że S f ≠ 0 i g ≠ 0, a f ma rząd większy niż g , to jest trochę x w K z f ( x )=0 i g ( x )≠0. (Niektórzy autorzy dodają warunek, że K ma charakterystykę 0, w którym to przypadku S f jest automatycznie niezerowe, a K jest automatycznie doskonały.)
  • DCF p jest teorią ciał różniczkowo domkniętych o charakterystyce p (gdzie p jest równe 0 lub liczbie pierwszej).

Przyjmując g = 1 i f dowolny wielomian zwyczajny rozłącznie domknięty pokazuje, że każde ciało różnie domknięte jest domknięte rozłącznie . W charakterystyce 0 oznacza to, że jest ona algebraicznie domknięta, ale w charakterystyce p > 0 pola różniczkowo domknięte nigdy nie są algebraicznie domknięte.

W przeciwieństwie do liczb zespolonych w teorii ciał algebraicznie domkniętych, nie ma naturalnego przykładu ciała różnie domkniętego. Każde pole różniczkowo doskonałe K ma domknięcie różniczkowe , rozszerzenie modelu głównego , które jest domknięte różniczkowo. Shelah pokazał, że domknięcie różniczkowe jest unikalne aż do izomorfizmu nad K . Shelah pokazał również, że pierwsze różniczkowo domknięte ciało o charakterystyce 0 (różnicowe domknięcie wymiernych) nie jest minimalne ; był to dość zaskakujący wynik, ponieważ nie jest to coś, czego można by się spodziewać przez analogię do ciał algebraicznie domkniętych.

0 Teoria DCF p jest zupełna , a model zupełny (dla p = 0 wykazał to Robinson, a dla p > 0 Wood (1973) ). Teoria DCF p jest modelowym towarzyszem teorii pól różniczkowych o charakterystyce p . Jest to modelowe uzupełnienie teorii pól różnie doskonałych o charakterystyce p , jeśli dodać do języka symbol dający pierwiastek p ze stałych, gdy p > 0. Teoria pól różniczkowych o charakterystyce p > 0 nie ma dopełnienia modelu, a przy charakterystyce p = 0 jest tożsama z teorią pól różniczkowo doskonałych, więc jej uzupełnieniem jest DCF.

Liczba ciał różniczkowo zamkniętych o pewnej nieskończonej liczności κ wynosi 2 κ ; dla κ niepoliczalnego udowodnili to Shelah (1973) , a dla przeliczalnego κ Hrushovski i Sokolovic.

Topologia Kolchina

Topologię Kolchina na K m definiuje się przyjmując zbiory rozwiązań układów równań różniczkowych nad K w m zmiennych jako podstawowe zbiory zamknięte. Podobnie jak topologia Zariskiego , topologia Kolchina jest noetherowska .

Zbiór d-konstrukcyjny to skończona suma zbiorów zamkniętych i otwartych w topologii Kolchina. Równoważnie, zbiór d-konstrukcyjny to zbiór rozwiązań formuły wolnej od kwantyfikatorów lub atomowej z parametrami w K .

Eliminacja kwantyfikatora

0 Podobnie jak teoria ciał algebraicznie domkniętych, teoria DCF ciał różniczkowo domkniętych o charakterystyce 0 eliminuje kwantyfikatory . Geometryczna treść tego stwierdzenia jest taka, że ​​rzut zbioru d-konstruowalnego jest d-konstrukcyjny. Eliminuje również wyobrażenia, jest kompletny i kompletny.

W charakterystyce p >0 teoria DCF p eliminuje kwantyfikatory w języku ciał różniczkowych z dodaną funkcją jednoargumentową r , która jest pierwiastkiem p wszystkich stałych i wynosi 0 na elementach, które nie są stałe.

Nullstellensatz różniczkowy

nullstellensatz Hilberta .

  • Różniczkowy ideał lub ∂-ideał to ideał zamknięty pod ∂.
  • Ideał nazywa się radykalnym , jeśli zawiera wszystkie korzenie swoich elementów.

Załóżmy, że K jest ciałem różniczkowo zamkniętym o charakterystyce 0. . Wtedy różniczka Seidenberga nullstellensatz stwierdza, że ​​istnieje bijekcja pomiędzy

  • Radykalne ideały różniczkowe w pierścieniu wielomianów różniczkowych w n zmiennych i
  • ∂-zamknięte podzbiory K n .

Ta zgodność odwzorowuje podzbiór ∂-zamknięty na ideał znikających na nim elementów i odwzorowuje ideał na jego zbiór zer.

Stabilność Omegi

W charakterystyce 0 Blum wykazał, że teoria pól różniczkowo domkniętych jest ω-stabilna i ma rangę Morleya ω. [ potrzebne źródło ] W niezerowej charakterystyce Wood (1973) wykazał, że teoria pól różnie zamkniętych nie jest ω-stabilna, a Shelah (1973) dokładniej wykazał, że jest stabilna , ale nie superstabilna .

Struktura zbiorów definiowalnych: trychotomia Zilbera

Kwestie rozstrzygalności

Jądro Manina

Aplikacje

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Differentially_closed_field&oldid=1134401163 ”