Powierzchnia odpowietrzająca

W geometrii różniczkowej powierzchnia oddechowa jest jednoparametrową rodziną powierzchni matematycznych, które odpowiadają rozwiązaniom oddechowym równania sinus-Gordona , równania różniczkowego występującego w fizyce teoretycznej . Powierzchnie $,$ że mają stałą krzywiznę gdzie krzywizna jest dobrze zdefiniowana. To czyni je przykładami uogólnionych pseudosfer .

Tło matematyczne

Stojący odpowietrznik Sine-Gordon to 2-solitonowe, sprzężone w czasie rozwiązanie zapobiegające zaginaniu.

Istnieje zgodność między osadzonymi powierzchniami o stałej krzywiźnie -1, znanymi jako pseudosfery, a rozwiązaniami równania sinus-Gordona. Tę korespondencję można zbudować, zaczynając od najprostszego przykładu pseudosfery, traktroidu . W specjalnym zestawie współrzędnych, znanych jako współrzędne asymptotyczne, równania Gaussa – Codazziego , które są równaniami konsystencji dyktującymi, kiedy powierzchnię o określonej pierwszej i drugiej postaci podstawowej można osadzić w trójwymiarowej przestrzeni za pomocą płaskiej metryki , sprowadzić do sinusa -Równanie Gordona.

W korespondencji traktroid odpowiada statycznemu rozwiązaniu 1-solitonowemu rozwiązania sinus-Gordona. Ze względu na niezmienniczość Lorentza sinus-Gordona, do rozwiązania statycznego można zastosować jednoparametrową rodzinę wzmocnień Lorentza w celu uzyskania nowych rozwiązań: po stronie pseudosfery są one znane jako transformacje Liego , które odkształcają traktroid do jedno- rodzina parametrów powierzchni znana jako powierzchnie Diniego .

Metoda transformacji Bäcklunda pozwala na skonstruowanie dużej liczby odrębnych rozwiązań równania sinus-Gordona, rozwiązań wielosolitonowych. Na przykład 2-soliton odpowiada powierzchni Kuen. Jednakże, chociaż generuje to nieskończoną rodzinę rozwiązań, rozwiązania oddychające nie należą do nich.

Roztwory oddechowe są zamiast tego wyprowadzane z metody odwrotnego rozpraszania dla równania sinus-Gordona. Są zlokalizowane w przestrzeni, ale oscylują w czasie.

Każde rozwiązanie równania sinus-Gordona daje pierwszą i drugą postać podstawową, które spełniają równania Gaussa-Codazziego. Podstawowe twierdzenie teorii powierzchni gwarantuje zatem, że istnieje sparametryzowana powierzchnia, która odzyskuje przepisaną pierwszą i drugą podstawową postać. Lokalnie parametryzacja jest dobrze zachowana, ale arbitralnie rozszerzona wynikowa powierzchnia może mieć samoprzecięcia i wierzchołki. Rzeczywiście, twierdzenie Hilberta mówi, że żadna pseudosfera nie może być regularnie osadzona (z grubsza, czyli bez $w$ .

Parametryzacja

Parametryzacja ${\ Displaystyle \ sigma: \ mathbb {R} ^ {2} \ strzałka w prawo \ mathbb {R} ^ {3}; (u, v) \ mapsto (x, y, z)}$ z parametrem jest podane przez ${\ displaystyle 0 <a <1}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & {} = - u + {\ Frac {2 \ lewo (1-a ^ {2} \ prawo) \ cosh (au) \ sinh ( au)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\\\\y&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au) \left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\cos(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)-\sin(v) \sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2} (au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}\\\\z&{}= {\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\sin(v)\cos \left( {\sqrt {1-a^{2}}}v\right)+\cos(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{ a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a ^{2}}}v\right)\right)}}\end{wyrównane}}}$

Powierzchnia odpowietrznika, gdy za $\ Displaystyle a = {\ Frac {2} {5}} {\ tekst {i}} -14 \ równoważnik u <14}$${\ Displaystyle {\ tekst {i}} -37,4 \ równoważnik v <37,4}$

Linki zewnętrzne

• Xah Lee Web — Galeria Surface
• Powierzchnia oddechowa w Wirtualnym Muzeum Matematyki