Prawo cosinusów Lamberta

W optyce prawo cosinusów Lamberta mówi , że natężenie promieniowania lub natężenie światła obserwowane z idealnej rozpraszającej powierzchni odbijającej lub idealnego promiennika rozpraszającego jest wprost proporcjonalne do cosinusa kąta θ między kierunkiem padającego światła a ₀ normalną do powierzchni; ja = ja sałata ( θ ) . Prawo to jest również znane jako prawo emisji cosinusów lub prawo emisji Lamberta . Jej nazwa pochodzi od Johanna Heinricha Lamberta z jego Photometrii opublikowanej w 1760 roku.

Mówi się, że powierzchnia spełniająca prawo Lamberta jest Lambertowska i wykazuje współczynnik odbicia Lamberta . Taka powierzchnia ma taki sam blask , gdy patrzy się pod dowolnym kątem. Oznacza to na przykład, że dla ludzkiego oka ma taką samą pozorną jasność (lub luminancję ). Ma ten sam blask, ponieważ chociaż moc emitowana z danego elementu powierzchniowego jest zmniejszona o cosinus kąta emisji, to kąt bryłowy, na którym opiera się powierzchnia widoczna dla widza, jest zmniejszony o tę samą wartość. Ponieważ stosunek mocy do kąta bryłowego jest stały, radiancja (moc na jednostkę kąta bryłowego na jednostkę rzutowanej powierzchni źródła) pozostaje taka sama.

Rozpraszacze Lambertowskie i grzejniki

Gdy element powierzchniowy promieniuje w wyniku oświetlenia przez źródło zewnętrzne, natężenie promieniowania (energia lub fotony/czas/powierzchnia) padające na ten element powierzchniowe będzie proporcjonalne do cosinusa kąta między źródłem oświetlającym a normalną. Rozpraszacz Lamberta będzie wówczas rozpraszał to światło zgodnie z tym samym prawem cosinusów, co emiter Lamberta. Oznacza to, że chociaż blask powierzchni zależy od kąta między normalną a źródłem oświetlającym, to nie będzie zależał od kąta między normalną a obserwatorem. Na przykład, jeśli księżyc gdyby był rozpraszaczem Lamberta, można by się spodziewać, że jego rozproszona jasność znacznie zmniejszy się w kierunku terminatora z powodu zwiększonego kąta padania światła słonecznego na powierzchnię. Fakt, że nie zmniejsza się, ilustruje, że księżyc nie jest rozpraszaczem lambertowskim i w rzeczywistości ma tendencję do rozpraszania większej ilości światła pod kątami ukośnymi niż rozpraszacz lambertowski.

Emisja promiennika Lamberta nie zależy od ilości padającego promieniowania, ale raczej od promieniowania pochodzącego z samego ciała emitującego. Na przykład, gdyby słońce było grzejnikiem Lamberta, można by oczekiwać stałej jasności na całym dysku słonecznym. Fakt, że słońce wykazuje ciemnienie kończyn w widzialnym obszarze ilustruje, że nie jest to grzejnik Lamberta. Ciało doskonale czarne jest przykładem grzejnika Lamberta.

Szczegóły równego efektu jasności

Rysunek 1: Szybkość emisji (fotony/s) w kierunku normalnym i poza normalnym. Liczba fotonów na sekundę skierowanych na dowolny klin jest proporcjonalna do powierzchni klina.

₀ Rysunek 2: Zaobserwowana intensywność (fotony/(s·m ² ·sr)) dla obserwatora normalnego i nienormalnego; dA to powierzchnia apertury obserwacyjnej, a d Ω to kąt bryłowy, na który odpowiada apertura z punktu widzenia emitującego elementu obszaru.

Sytuację dla powierzchni Lamberta (emitującej lub rozpraszającej) przedstawiono na rysunkach 1 i 2. Dla jasności pojęciowej będziemy myśleć w kategoriach fotonów , a nie energii lub energii świetlnej . Każdy z klinów w okręgu reprezentuje równy kąt d Ω o dowolnie wybranym rozmiarze, a dla powierzchni Lamberta liczba fotonów emitowanych na sekundę w każdym klinie jest proporcjonalna do powierzchni klina.

Długość każdego klina jest iloczynem średnicy koła i cos( θ ). Maksymalna szybkość emisji fotonów na jednostkę kąta bryłowego jest wzdłuż normalnej i zmniejsza się do zera dla θ = 90°. W kategoriach matematycznych promieniowanie wzdłuż normalnej wynosi I fotonów/(s·m ² ·sr), a liczba fotonów emitowanych na sekundę do pionowego klina wynosi I d Ω dA . Liczba fotonów emitowanych na sekundę do klina pod kątem θ wynosi I sałata ( θ ) re Ω dA .

₀₀ Rysunek 2 przedstawia to, co widzi obserwator. Obserwator znajdujący się bezpośrednio nad elementem powierzchniowym będzie widział scenę przez aperturę o powierzchni dA , a element powierzchniowy dA znajdzie się naprzeciw (bryłowego) kąta dΩ , który jest częścią całkowitego kątowego pola widzenia obserwatora scena. Ponieważ rozmiar klina d Ω został wybrany arbitralnie, dla wygody możemy założyć bez utraty ogólności, że pokrywa się on z kątem bryłowym, na który odpowiada apertura, „patrząc” z locus elementu obszaru emitującego dA. W ten sposób normalny obserwator będzie rejestrował to samo I d Ω dA fotony na emisję na sekundę wyprowadzone powyżej i zmierzą radiancję

{\ Displaystyle I_ {0} = {\ Frac {ja \ d \ omega \ dA} {d \ omega _ {0} \ dA_ {0}}}

fotony/(s·m ² ·sr).

₀₀ Obserwator pod kątem θ do normalnej będzie widział scenę przez tę samą aperturę o obszarze dA (nadal odpowiadającą klinowi d Ω) iz tego ukośnego punktu obserwacyjnego element obszaru dA jest skrócony w perspektywie i będzie naprzeciw (pełnego) kąta d Ω cos( θ ). Obserwator ten będzie rejestrował I cos( θ ) d Ω dA na sekundę, a więc będzie mierzyć radiancję

{\ Displaystyle I_ {0} = {\ Frac {I \ sałata (\ theta) \,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d \Omega _{0}\,dA_{0}}}}

fotonów/(s·m ² ·sr),

czyli to samo, co zwykły obserwator.

Powiązanie szczytowego natężenia światła i strumienia świetlnego

Ogólnie rzecz biorąc, natężenie światła punktu na powierzchni zmienia się w zależności od kierunku; dla powierzchni Lamberta ten rozkład jest określony przez prawo cosinusów, z szczytowym natężeniem światła w kierunku normalnym. $tot}}}$ założenie Lamberta, możemy obliczyć całkowity ${\ Displaystyle F _ {\ text {$ świetlny , na podstawie szczytowego natężenia światła , poprzez całkowanie twierdzenie cosinusów:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F _ {\ tekst {całość}} & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ { 0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_ {\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta)}{2}}\,d\theta \end{wyrównane}}}

i tak

{\ Displaystyle F _ {\ tekst {tot}} = \ pi \, \ operatorname {sr} \ cdot I _ {\ max}}

gdzie $dla$ $strumień$ wyznacznikiem macierzy Jakobianu sfery i zdając sobie sprawę, świetlny na steradian Podobnie, szczytowe natężenie będzie wynosić ${\ Displaystyle 1 / (\ pi \, \ operatorname {sr})}$ całkowitego wypromieniowanego strumienia świetlnego. Dla powierzchni Lamberta ten sam współczynnik ${\ Displaystyle \ pi \, \ operatorname {sr}}$ odnosi luminancję do emitancji światła , intensywność promieniowania do strumienia promieniowania i blask do emitancji promieniowania . ^{[ Potrzebne źródło ]} Radiany i steradiany są oczywiście bezwymiarowe, więc „rad” i „sr” są uwzględnione tylko dla jasności.

Przykład: Powierzchnia o luminancji powiedzmy 100 cd/m ² (= 100 nitów, typowy monitor PC) będzie miała emitancję świetlną 100π lm/m ^{2 , jeśli jest idealnym emiterem Lamberta} . Jeśli jego powierzchnia wynosi 0,1 m ² (~19-calowy monitor), to całkowite wyemitowane światło, czyli strumień świetlny, wyniesie 31,4 lm.

Zobacz też

^ Podręcznik RCA Electro-Optics, s. 18 i nast
^ Nowoczesna inżynieria optyczna, Warren J. Smith, McGraw-Hill, s. 228, 256
^ Pedrotti i Pedrotti (1993). Wprowadzenie do optyki . Sala Prentice'a . ISBN 0135015456 .
^ Lambert, Johann Heinrich (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Eberharda Kletta.
^ Incropera i DeWitt, Podstawy wymiany ciepła i masy , wyd. 5, str. 710.

[RCAEOH-1] Podręcznik RCA Electro-Optics, s. 18 i nast

[SmithW-2] Nowoczesna inżynieria optyczna, Warren J. Smith, McGraw-Hill, s. 228, 256

[3] Pedrotti i Pedrotti (1993). Wprowadzenie do optyki . Sala Prentice'a . ISBN 0135015456 .

[4] Lambert, Johann Heinrich (1760). Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae . Eberharda Kletta.

[5] Incropera i DeWitt, Podstawy wymiany ciepła i masy , wyd. 5, str. 710.