Przestrzeń poliadyczna

W matematyce przestrzeń poliadyczna jest przestrzenią topologiczną , która jest obrazem w funkcji ciągłej potęgi topologicznej jednopunktowego zagęszczenia przestrzeni Alexandroffa .

Historia

Przestrzenie poliadyczne zostały po raz pierwszy zbadane przez S. Mrówkę w 1970 r. jako uogólnienie przestrzeni diadycznych . Teorię rozwinęli dalej RH Marty, János Gerlits i Murray G. Bell, z których ten ostatni wprowadził koncepcję bardziej ogólnych przestrzeni wyśrodkowanych.

Tło

, że podzbiór K przestrzeni topologicznej X jest zwarty , jeśli każde otwarte pokrycie K zawiera skończone podpokrycie. Mówi się, że jest on lokalnie zwarty w punkcie x ∈ X , jeśli x leży wewnątrz jakiegoś zwartego podzbioru X . X jest przestrzenią lokalnie zwartą, jeśli jest lokalnie zwarta w każdym punkcie przestrzeni.

podzbiór właściwy A ⊂ X jest gęsty , jeśli domknięcie Ā = X . Przestrzeń, której zbiór ma przeliczalny, gęsty podzbiór, nazywa się przestrzenią rozdzielną .

Dla niezwartej, lokalnie zwartej przestrzeni topologicznej Hausdorffa definiujemy jednopunktowe zagęszczenie Alexandroffa jako przestrzeń topologiczną ze zbiorem ( ${\ Displaystyle \ lewo \ {\ omega \ prawo \} \ Puchar X}$ $\ displaystyle (X, \ tau _ {X$ $\ omega X}$ X $Displaystyle$ , gdzie , z topologią ${\ displaystyle \ tau _ {\ omega X}}$ zdefiniowane w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ tau _ {X} \ subseteq \ tau _ {\ omega X}}$
$_$ _ $_ \displaystyle C\subseteq X}$ .

Definicja

Niech $będzie$ dyskretną przestrzenią $topologiczną$ $będzie$ zagęszczeniem . Przestrzeń Hausdorffa $fa$ $\ displaystyle f: \ omega X ^ {\ lambda} \rightarrow P}$ , jeśli dla jakiejś liczby kardynalnej $istnieje$ ciągła funkcja surjektywna. , gdzie $jest$ przestrzenią $razy$ $_$ przez _

Przykłady

$Weź$ zbiór liczb naturalnych o dyskretnej $zagęszczenie$ jednopunktowe . Wybierz i zdefiniuj homeomorfizm $]$ $\ displaystyle h: \ omega \ mathbb {Z} + \ Rightarrow \ lewo [0,1$ z mapowaniem

{\ Displaystyle h (x) = {\ początek {przypadki} 1 / x, & {\ tekst {jeśli}} x \ in \ mathbb {Z} +\\0,&{\text{if }}x=\omega \end{cases}}}

Z definicji wynika, że przestrzeń ${\ Displaystyle \ lewo \ {0 \ prawo \} \ kubek \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} \ lewo \ {1/n\right\}}$ jest poliadyczny i zwarty bezpośrednio z definicji zwartości, bez użycia Heinego-Borela.

Każda przestrzeń diadyczna (przestrzeń zwarta będąca ciągłym obrazem zbioru Cantora) jest przestrzenią poliadyczną.

Niech X będzie przestrzenią rozłączną, zwartą. Jeśli X jest przestrzenią metryzowalną , to jest ona poliadyczna (prawda jest również odwrotna).

Nieruchomości

Komórkowość przestrzeni jest $\}}$ $\ displaystyle c (X)}$ przestrzeni $X}$ . Szczelność przestrzeni definiuje się następująco: ${\ displaystyle t ($ $)}$ ${\ displaystyle A \ podzbiór X}$ i $displaystyle p \ in {\ bar {A}}}$ \ Definiujemy ${\ Displaystyle a (p, A): = \ min \ lewo \ {\ pion B \ pion: p \ w {\ bar {B}}, B \ podzbiór A \ prawo \}}$ i zdefiniuj ${\ Displaystyle t (p, X): = \ sup \ lewo \ {a (p, A): A \ podzbiór X, p\in {\bar {A}}\right\}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle t (X): = \ sup \ lewo \ {t (p, X): p \ w X \ prawo \}.}$ Waga topologiczna przestrzeni poliadycznej $)$ $c(X)\cdot t(X)}$ w $)$ $(X$ .

Niech będzie przestrzenią $poliadyczną$ i niech $podzbiór X}$ . Wtedy istnieje przestrzeń poliadyczna $(A)}$ że $)$ $P$ ${\ displaystyle c ($ .

Przestrzenie poliadyczne to najmniejsza klasa przestrzeni topologicznych, które zawierają metryczne przestrzenie zwarte i są zamknięte pod iloczynami i obrazami ciągłymi. Każda przestrzeń poliadyczna $\$ masie $displaystyle \ równoważnik 2 ^ {\ omega}}$ jest ciągłym obrazem ${\ displaystyle \ mathbb {Z} +}$ .

Przestrzeń topologiczna X ma właściwość Suslina, jeśli nie ma nieprzeliczalnej rodziny parami rozłącznych, niepustych otwartych podzbiorów X. Załóżmy, że X ma właściwość Suslina, a X jest poliadyczny. Wtedy X jest diadyczne.

Niech $zbiorów$ najmniejszą $zbiorów$ i $najmniejszą$ _ liczność niepustego zbioru otwartego $.$ Jeśli jest przestrzenią poliadyczną $,$ ${\ Displaystyle dis (X) \ geq \ Delta (X)}$ .

Twierdzenie Ramseya

Istnieje analogia twierdzenia Ramseya z kombinatoryki dla przestrzeni poliadycznych. W tym celu opisujemy związek między przestrzeniami boolowskimi i przestrzeniami poliadowymi. Niech oznacza algebra $)$ wszystkich podzbiorów Clopen . do O $displaystyle CO (X$ } Definiujemy przestrzeń Boole'a jako zwartą przestrzeń Hausdorffa, której podstawą jest ${\ displaystyle CO (X)}$ . Element ${\ Displaystyle G \ w CO (X) '}$ tak, że jest ${\ Displaystyle \ langle \ langle G \ rangle \ rangle = CO (X)}$ nazywany agregatem prądotwórczym dla ${\ displaystyle CO (X)}$ . Mówimy, że $, \ kappa)}$ $\$ { , jeśli $} jest$ sumą co najwyżej $, gdzie dla każdego ,$ α ${$ $G$ ${\$ alfa rozłącznym zbiorem liczności co najwyżej Petr Simon udowodnił, że $X}$ $\ displaystyle$ jest przestrzenią Boole'a z zespołem generującym ${\ Displaystyle G}$ od ${\ Displaystyle CO (X)}$ jest ${\ Displaystyle (\ tau, \ kappa)}$ -rozłączny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ displaystyle X}$ jest homeomorficzny do zamkniętej podprzestrzeni ${\ displaystyle \ alfa \ kappa ^ {\ tau}}$ . Właściwość podobna do Ramseya dla przestrzeni poliadycznych, jak stwierdził Murray Bell dla przestrzeni boolowskich, jest zatem następująca: każdy nieprzeliczony zbiór clopen zawiera nieprzeliczalny zbiór podrzędny, który jest albo połączony, albo rozłączny.

Ścisłość

Definiujemy liczbę zwartości przestrzeni , oznaczoną przez $\ operatorname {cmpn} \, X}$ $displaystyle$ , jako najmniejszą liczbę $displaystyle$ , że $}$ $X$ ma n-arną zamkniętą bazę . Możemy konstruować przestrzenie poliadyczne o dowolnej liczbie zwartości. Zademonstrujemy to za pomocą dwóch twierdzeń udowodnionych przez Murraya Bella w 1985 roku. Niech $będzie$ zbiorów i niech ${\ displaystyle S}$ być zbiorem. Oznaczamy zbiór ${\ Displaystyle \ {\ bigcap {\ mathcal {F}}: {\ mathcal {F}} {\ tekst {jest skończonym podzbiorem}} \ mathcal {S}} \}}$ przez ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$ ; wszystkie podzbiory $rozmiaru$ o $n}}$ $Displaystyle$ [ S ; i wszystkie podzbiory wielkości co najwyżej przez $[S] ^ {<= n}$ $displaystyle$ . Jeśli dla wszystkich $\ równoważnik n <\ omega}$ $zestaw$ ⋂ $Displaystyle \ bigcap {\ mathcal {F}} \ neq$ , wtedy mówimy, że ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ jest n-połączony. Jeśli każdy n-połączony podzbiór $zbioru$ $jest$ przecięcie, to mówimy, że n-arny. Należy zauważyć, że jeśli jest n-ary, to tak jest, $^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}$ $\ displaystyle {\ mathcal {S}$ } i każda z $cmpn$ $} = {\mathcal {S}}^{\widehat {\mathcal {F}}}}$ zamkniętą, n-arną bazę podrzędną, $w$ której $}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S$ . $Należy$ zauważyć, że zbiór zamkniętych podzbiorów zwartej przestrzeni ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} = {\ mathcal {S}} ^ {\ widehat {\ mathcal {F}}}$ $displaystyle X}$ jest zamkniętą podbazą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zamkniętego w otwartym zbiorze $istnieje$ $fa$ taki , że $\ displaystyle {\ mathcal {F} }$ $podzbiór { \ mathcal {S}}}$ i ${\ displaystyle K \ podzbiór \ bigcup {\ mathcal {F}} \ podzbiór U}$ .

Niech $_$ $zbiorem$ nieskończonym $.$ liczbą _ Definiujemy produktu w $}$ : dla $displaystyle s \ in$ s ${\ Displaystyle s ^ {-} = \ {F \ w [S] ^ {\ równoważnik n}: s \ w F \}}$ i niech ${\ Displaystyle s ^ {+} = \ {F \ w [S] ^ {\ równoważnik n}: s \ notin F \}}$ . Niech będzie zbiorem $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ bigcup _ {s \ w S} \ {s ^ {+}, s ^ {-} \}}$ . Bierzemy podbazę Clopen dla naszej topologii na $]$ $\ displaystyle [S] ^ {\ równoważnik n}$ . Ta topologia jest zwarta i Hausdorffa. Dla i ${ \$ $n}$ tak, że mamy to $S$ $}}$ dyskretną podprzestrzenią $S ]$ i stąd ${\ displaystyle [S] jest$ sumą $_$ _

Twierdzenie (górna granica na ${\ Displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [S] ^ {\ równoważnik n}})$ : Dla każdego całkowitego rzędu ${\ displaystyle <}$ na ${\ displaystyle S}$ , istnieje $R}}}$ ${\ Displaystyle [$ S ] ^ { $\$ równoważnik 2n .

Dowód : $s$ ${\ Displaystyle L_ {s} = \ {F \ w s ^ {+}: |\ {t \ w F: t <s \} | \ równoważnik n-1 \}}$ _ i ${\ Displaystyle R_ {s} = \ {F \ w s ^ {+}: |\ {t \ w F: t> s \} | \ równoważnik n-1 \}}$ . Zestaw ${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} = \ bigcup _ {s \ w S} \ {L_ {s}, R_ {s}, s ^{+}\}}$ . Dla ZA $\ displaystyle A}$ , ${\ displaystyle B}$ i tak, że , niech $\ filiżanka C \ neq \ pusty$ $zestaw$ } ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} = \ {L_ {s}: s \ w A \} \ kubek \ {R_ {s}: s \ w B \} \ kubek \ {s ^ {-}: s \ w$ $}$ $\}}$ tak, że jest $displaystyle {$ podzbiorem $}}$ . Pokaż, że ${\ displaystyle A \ puchar B \ in \ bigcap {\ mathcal {F}}$ } ${\ displaystyle \ blacksquare}$

Dla przestrzeni $wycofaniem$ i $podprzestrzeni$ mówimy funkcja $jest$ to $jest$ tożsamości $.$ _ Mówimy, że $X}$ to wycofanie się z $displaystyle$ . $wycofaniem$ istnieje $taki$ otwarty że i $jest$ $}$ _ mówimy, $jest$ $sąsiedzkie$ wycofanie .

Twierdzenie (Dolna granica na ${\ Displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [S] ^ {\ równoważnik n}})$ Niech ${\ displaystyle n}$ będzie takie, że ${\ displaystyle 2\równoważnik n<\omega }$ . Wtedy nie można osadzić jako wycofania sąsiedztwa w żadnej przestrzeni $\ równoważnik 2n-1}}$ $\ Displaystyle [\ omega _ {1}] ^ {$ z ${\ displaystyle \ nazwa operatora {cmpn} \, K \ równoważnik n}$ .

Z dwóch powyższych twierdzeń można wywnioskować, że dla takiego $}$ $n$ to ${\ Displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [\ omega _ {1}] ^ {\ równoważnik 2n-1} = n + 1 = \ operatorname {cmpn} \, [\ omega _ {1}] ^ {\ równoważnik 2n}}$ .

Niech $będzie$ jednopunktowym zagęszczeniem przestrzeni Alexandroffa dyskretnej przestrzeni $}$ tak że $} {\ displaystyle A = S$ . Definiujemy $surjekcję$ g ${\ Displaystyle g ((x_ {1}, ..., x_ {n})) = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}\}\cap S}$ . Wynika z $jest$ przestrzenią Stąd ${\ Displaystyle [\ omega _ {1}] ^ {\ równoważnik 2n-1}}$ jest przestrzenią poliadyczną o liczbie zwartości ${\ Displaystyle \ operatorname {cmpn} \, [\ omega _ {1}] ^ {\ równoważnik 2n-1} = n+ 1}$ .

Uogólnienia

Przestrzenie wyśrodkowane, przestrzenie zwarte AD i przestrzenie ξ-adyczne są uogólnieniami przestrzeni poliadycznych.

Wyśrodkowana przestrzeń

Niech $.$ zbiorem zbiorów Mówimy, że $} \mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ , jeśli dla wszystkich skończonych podzbiorów ${\ displaystyle \ bigcap {\ mathcal {F}} \ neq$ $pusty$ . Zdefiniuj przestrzeń boolowską ${\ Displaystyle Cen ({\ mathcal {S}}) = \ {\ chi _ {T}: T {\ tekst {jest wyśrodkowanym zbiorem podrzędnym }} {\ mathcal {S}} \}},$ z topologia podprzestrzeni z $}$ } Mówimy, że przestrzeń jest ${\ Displaystyle Cen ({\ mathcal {S}})}$ $X}$ jeśli istnieje zbiór taki, że $X$ $\ displaystyle$ jest ciągłym obrazem do .

Wyśrodkowane przestrzenie zostały wprowadzone przez Murraya Bella w 2004 roku.

Kompaktowa przestrzeń AD

Niech będzie zbiorem niepustym i rozważmy rodzinę jego podzbiorów. $mathcal {A}} \ subseteq {\ mathcal {P}} (X)$ ${$ . Mówimy, że jest to odpowiednia rodzina, jeśli: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

$\ w {\ mathcal {A}} \ ziemia B \ subseteq {\ mathcal {A}} \ Rightarrow B \ in {\ mathcal {A}}}$
biorąc pod uwagę $w$ każdy skończony podzbiór z $,$ to A $\ in { \mathcal {A}}}$ $displaystyle$ .

Możemy traktować jako przestrzeń $topologiczną,$ $uznając$ ją za podzbiór ${\ Displaystyle K ({\ mathcal {A}})}$ Cantora i przypadku oznaczamy ją .

Niech $będzie$ przestrzenią zwartą ${A}$ istnieje zbiór ${ \$ $odpowiednia$ rodzina $}$ mathcal $displaystyle$ $.$ obrazem , wtedy mówimy, że jest przestrzeń zwarta w formacie

Przestrzenie AD-compact wprowadził Grzegorz Plebanek. Udowodnił, że są one domknięte pod iloczynami dowolnymi i zagęszczeniami Alexandroffa związków rozłącznych . Wynika z tego, że każda przestrzeń poliadyczna jest zatem przestrzenią zwartą AD. Odwrotna sytuacja nie jest prawdą, ponieważ istnieją przestrzenie zwarte AD, które nie są poliadyczne.

przestrzeń ξ-adyczna

Niech i $niech$ $będą$ kardynałami i niech $przestrzenią$ Hausdorffa $Jeśli$ istnieje $ciągłe$ od $,$ to się przestrzeń adyczna.

Przestrzenie ξ-adyczne zaproponował S. Mrówka, a następujące wyniki na ich temat podał János Gerlits (dotyczą one także przestrzeni poliadycznych, gdyż są szczególnym przypadkiem przestrzeni ξ-adycznych).

Niech $będzie$ $kardynałem$ i niech przestrzenią topologiczną. Mówimy, że $\}}$ $jeśli$ , dla dowolnej rodziny ${$ ${$ $_ {\ alfa}: \ alfa \ w$ niepustych otwartych podzbiorów , gdzie ${\ mathfrak {n}}}$ $p$ , możemy znaleźć zbiór punkt taki, że $\ displaystyle p \ w X$ $= {\ mathfrak {n}}}$ $p}$ i dla każdego sąsiedztwa $displaystyle$ . {\ mamy to ${\ displaystyle | \ {\ beta \ in B: N \ cap G _ {\ beta} = \ pusty zestaw \} | <{\ mathfrak {n}}}$ .

Jeśli $X$ przestrzenią ξ-adyczną, to $ma$ dla nieskończonego kardynała. $X}$ $n}}}$ { Z tego wyniku wynika, że żadna nieskończona przestrzeń ξ-adyczna Hausdorffa nie może być przestrzenią skrajnie rozłączoną .

Przestrzeń hyadyczna

Przestrzenie hyadyczne zostały wprowadzone przez Erica van Douwena . Są one zdefiniowane w następujący sposób.

Niech będzie przestrzenią $Hausdorffa$ Oznaczamy przez hiperprzestrzeń $(X)$ $}$ . Definiujemy podprzestrzeń $}$ $H$ przez { ( $X): | F | \ równoważnik 2 \}}$ Podstawa ${\ displaystyle H (X)}$ to rodzina wszystkich zbiorów postaci ${\ Displaystyle \ langle U_ {0}, \ kropki, U_ {n} \ rangle = \ {F \ w H (X): F \ subseteq U_ {0} \ Puchar \ kropki \ Puchar U_ {n}, F \ cap U_ {i} \ neq \ pustyset {\ tekst {dla}} 0 \ równoważnik i \ równoważnik n \}}$ , gdzie ${\ displaystyle n}$ jest dowolną liczbą całkowitą i ${\ displaystyle U_ {i}}$ są $otwarte$ . Jeśli $zwarty$ , to mówimy, że przestrzeń Hausdorffa $jest$ , jeśli istnieje ciągłe surjekcja z ${\ Displaystyle H (X)}$ do ${\ Displaystyle Y}$ .

Przestrzenie poliadyczne są hyadyczne.

Zobacz też