Spinory w trzech wymiarach

W matematyce koncepcja spinoru jako wyspecjalizowana w trzech wymiarach może być traktowana za pomocą tradycyjnych pojęć iloczynu skalarnego i iloczynu krzyżowego . Jest to część szczegółowego algebraicznego omówienia grupy rotacyjnej SO(3) .

Sformułowanie

Skojarzenie spinora ze złożoną macierzą hermitowską 2 × 2 zostało sformułowane przez Élie Cartana .

W szczegółach, mając wektor x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) liczb rzeczywistych (lub zespolonych), można powiązać zespoloną macierz

${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ rightarrow X \ = \ lewo ({\ rozpocząć {macierz} x_ {3} i x_ {1} -ix_ {2} \\ x_ {1} + ix_ {2} i - x_{3}\koniec{macierzy}}\prawo).}$

${\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} \ równoważnik (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}$$często$ to iloczyn wektorową postacią macierzy Pauliego . Macierze tej postaci mają następujące właściwości, które wiążą je wewnętrznie z geometrią 3-przestrzeni:

• ${\ Displaystyle \ det X = - | {\ vec {x}} | ^ {2}}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ det}$ oznacza wyznacznik .
• $I$ gdzie jest macierzą .
• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (XY + YX) = ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}) ja}$
• ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} (XY-YX) = iZ}$ gdzie Z jest macierzą powiązaną z iloczynem krzyżowym ${\ Displaystyle {\ vec {z}} = {\ vec {x}} \ razy {\ vec {y}}}$ .
• U $}}}$$x$ jest wektorem jednostkowym, to macierzą powiązaną z wektorem, który wynika z odbicia $\ vec { x}}}$ w płaszczyźnie prostopadłej do ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ .

Ostatnia właściwość może być wykorzystana do uproszczenia operacji obrotowych. Jest to elementarny fakt z algebry liniowej , że każdy obrót w przestrzeni trójwymiarowej ma czynniki jako złożenie dwóch odbić. (Bardziej ogólnie, każda transformacja ortogonalna odwracająca orientację jest albo odbiciem, albo iloczynem trzech odbić). Tak więc, jeśli R jest obrotem, który rozkłada się jako odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do wektora jednostkowego, ${\ displaystyle {\ vec {u}}_{1}}$ , po którym następuje odbicie w płaszczyźnie prostopadłej do ${\ Displaystyle {\ vec {u}} _ {2}}$ , to macierz reprezentuje ${\ Displaystyle U_ {2} U_ {1} XU_ {1} U_ {2}}$ obrót wektora przez R . x $\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Po skutecznym zakodowaniu całej obrotowej geometrii liniowej przestrzeni 3 w zbiorze złożonych macierzy 2×2, naturalne jest pytanie, jaką rolę, jeśli w ogóle, odgrywają macierze 2×1 (tj. wektory kolumnowe ) . Tymczasowo spinor jest wektorem kolumnowym

$_$ _ wpisy złożone ξ ₁ i ξ ₂ .

Na przestrzeń spinorów najwyraźniej oddziałują złożone macierze 2×2. Jak pokazano powyżej, iloczyn dwóch odbić w parze wektorów jednostkowych definiuje macierz 2 × 2, której działaniem na wektory euklidesowe jest obrót. Mamy więc do czynienia z ruchem obrotowym na spinorach. Jest jednak jedno ważne zastrzeżenie: faktoryzacja rotacji nie jest wyjątkowa. Oczywiście $,$ jeśli obrotu to R spowoduje ten sam obrót. W rzeczywistości można łatwo wykazać, że jest to jedyna niejasność, jaka się pojawia. Zatem działanie rotacyjne na spinor jest zawsze dwuwartościowe .

Historia

Było kilku prekursorów pracy Cartana z macierzami zespolonymi 2×2: Wolfgang Pauli używał tych macierzy tak intensywnie, że elementy pewnej bazy czterowymiarowej podprzestrzeni nazywane są macierzami Pauliego σ _i , tak że macierz hermitowska jest zapisywana jako Wektor Pauliego ${\ Displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}.}$ W połowie XIX wieku operacje algebraiczne tej algebry czterech wymiarów zespolonych badano jako biquaternions .

Michael Stone i Paul Goldbar w Mathematics for Physics kwestionują to, mówiąc: „Reprezentacje spinowe zostały odkryte przez Elie Cartana w 1913 r., kilka lat przed tym, jak były potrzebne w fizyce”.

Formulacja z wykorzystaniem wektorów izotropowych

Spinory można konstruować bezpośrednio z wektorów izotropowych w przestrzeni 3 bez użycia konstrukcji czwartorzędowej. Aby umotywować to wprowadzenie spinorów, załóżmy, że X jest macierzą reprezentującą wektor x w zespolonej przestrzeni 3. Załóżmy dalej, że x jest izotropowe: tj.

${\ Displaystyle {\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {x}} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} }^{2}+x_{3}^{2}=0.}$

Następnie, ponieważ wyznacznik X wynosi zero, istnieje proporcjonalność między jego wierszami lub kolumnami. Zatem macierz można zapisać jako iloczyn zewnętrzny dwóch zespolonych 2-wektorów:

${\ Displaystyle X = 2 \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} \ xi _ {1} \\\ xi _ {2} \ koniec {macierzy}} \ prawo] \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} - \ xi _{2}&\xi _{1}\koniec{macierzy}}\prawo].}$

Ta faktoryzacja daje nadokreślony układ równań we współrzędnych wektora x :

${\ Displaystyle \ lewo. {\ rozpocząć {macierz} \ xi _ {1 }^{2}-\xi _{2}^{2}&=x_{1}\\i(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2})&= x_{2}\\-2\xi _{1}\xi _{2}&=x_{3}\end{macierz}}\right\}}$

 

 

 

 

()

podlega ograniczeniu

${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} = 0.}$

 

 

 

 

()

System ten dopuszcza rozwiązania

${\ Displaystyle \ xi _ {1} = \ pm {\ sqrt {\ Frac {x_ {1} -ix_ {2}} {2}}}, \ quad \ xi _ {2} = \ pm {\ sqrt { \frac {-x_{1}-ix_{2}}{2}}}.}$

 

 

 

 

()

Dowolny wybór znaku rozwiązuje układ ( 1 ). Tak więc spinor można postrzegać jako wektor izotropowy wraz z wyborem znaku. Zauważmy, że ze względu na rozgałęzienia logarytmiczne niemożliwe jest konsekwentne wybranie znaku, tak aby ( 3 ) zmieniał się w sposób ciągły wzdłuż pełnego obrotu między współrzędnymi x . Pomimo tej niejednoznaczności reprezentacji obrotu na spinorze, obroty działają jednoznacznie przez ułamkową transformację liniową na stosunek ξ ₁ : ξ ₂ ponieważ jeden wybór znaku w rozwiązaniu ( 3 ) wymusza wybór drugiego znaku. W szczególności przestrzeń spinorów jest rzutową reprezentacją grupy ortogonalnej.

W konsekwencji tego punktu widzenia spinory można traktować jako rodzaj „pierwiastka kwadratowego” wektorów izotropowych. Konkretnie wprowadzenie matrixa

${\ Displaystyle C = \ lewo ({\ rozpocząć {macierz} 0 i 1 \\ - 1 i 0 \ koniec {macierzy}} \ prawej),}$

układ ( 1 ) jest równoważny rozwiązaniu X = 2 ξ ^t ξ C dla nieokreślonego spinora ξ .

A fortiori , jeśli role ξ i x są teraz odwrócone, postać Q ( ξ ​​) = x definiuje dla każdego spinora ξ wektor x kwadratowy w składowych ξ . Jeśli ta forma kwadratowa jest spolaryzowana , określa dwuliniową postać wektorową na spinorach Q ( μ , ξ ). Ta forma dwuliniowa następnie przekształca się tensorycznie pod wpływem odbicia lub obrotu.

Rzeczywistość

Powyższe rozważania mają równie dobre zastosowanie, niezależnie od tego, czy rozważana pierwotna przestrzeń euklidesowa jest rzeczywista, czy złożona. Jednak gdy przestrzeń jest rzeczywista, spinory posiadają dodatkową strukturę, która z kolei ułatwia pełny opis reprezentacji grupy rotacyjnej. Załóżmy dla uproszczenia, że ​​iloczyn wewnętrzny na 3-przestrzeni ma sygnaturę dodatnio określoną:

${\ Displaystyle \ lewo | x \ prawo | ^ {2} = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^{2}}$

 

 

 

 

()

W tej konwencji wektory rzeczywiste odpowiadają macierzom hermitowskim. Ponadto rzeczywiste obroty zachowujące postać ( 4 ) odpowiadają (w sensie dwuwartościowym) jednostkowym macierzom wyznacznika. Współcześnie przedstawia to specjalną grupę unitarną SU (2) jako podwójne pokrycie SO (3). W konsekwencji spinorowy iloczyn hermitowski

${\ Displaystyle \ langle \ mu | \ xi \ rangle = {\ bar {\ mu}} _ {1} \ xi _ {1} + {\ bar { \mu}}_{2}\xi_{2}}$

 

 

 

 

()

jest zachowywany przez wszystkie rotacje, a zatem jest kanoniczny.

Jeśli jednak sygnatura iloczynu wewnętrznego w przestrzeni 3 jest nieokreślona (tj. niezdegenerowana, ale również dodatnio określona), to powyższa analiza musi być dostosowana, aby to odzwierciedlić. Załóżmy więc, że forma długości w przestrzeni 3 jest dana wzorem:

${\ Displaystyle \ lewo | \ mathbf {x} \ prawo | ^ {2} = x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} + x_{3}^{2}}$

 

 

 

 

()

 $.$$,$ konstruowanie spinorów z poprzednich $wszystkich$ zastępując we Dzięki tej nowej konwencji macierz powiązana z wektorem rzeczywistym jest sama w sobie rzeczywista: ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {macierz} x_ {3} i x_ {1} -x_ {2} \\ x_ {1} + x_ {2}&-x_{3}\end{macierz}}\right)}$ .

Forma ( 5 ) nie jest już niezmienna przy rzeczywistej rotacji (lub odwróceniu), ponieważ grupa stabilizująca ( 4' ) jest teraz grupą Lorentza O(2,1). Zamiast tego forma antyhermitowska

${\ Displaystyle \ langle \ mu | \ xi \ rangle = {\ bar {\ mu}} _ {1} \ xi _ {2} - {\ bar { \mu }}_{2}\xi_{1}}$

definiuje odpowiednie pojęcie iloczynu wewnętrznego dla spinorów w tej sygnaturze metrycznej. Ta postać jest niezmienna przy przekształceniach połączonego składnika tożsamości O (2,1).

W obu przypadkach forma kwartalna

${\ Displaystyle \ langle \ mu | \ xi \ rangle ^ {2} = {\ hbox {długość}} \ lewo (Q ({\ bar {\ mu }},\xi )\right)^{2}}$

jest w pełni niezmiennikiem odpowiednio pod O(3) (lub O(2,1), gdzie Q jest postacią dwuliniową o wartościach wektorowych opisaną w poprzedniej sekcji. Fakt, że jest to niezmiennik kwarcowy, a nie kwadratowy, ma ważne konsekwencje. Jeśli ograniczyć uwagę do grupy specjalnych przekształceń ortogonalnych, to można jednoznacznie wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z tej postaci i uzyskać identyfikację spinorów z ich liczbami podwójnymi. W języku teorii reprezentacji oznacza to, że istnieje tylko jedna nieredukowalna reprezentacja spinowa SO(3) (lub SO(2,1)) aż do izomorfizmu. Jeśli jednak dozwolone są również odwrócenia (np. Odbicia w płaszczyźnie), to nie można już identyfikować spinorów z ich liczbami podwójnymi z powodu zmiany znaku przy zastosowaniu odbicia. Tak więc istnieją dwie nieredukowalne reprezentacje spinowe O(3) (lub O(2,1)), czasami nazywane reprezentacje pinów .

Struktury rzeczywistości

Różnice między tymi dwoma sygnaturami można skodyfikować za pomocą pojęcia struktury rzeczywistości w przestrzeni spinorów. Nieformalnie jest to recepta na przyjmowanie złożonego koniugatu spinora, ale w taki sposób, że może to nie odpowiadać zwykłemu koniugatowi na składniki spinora. Konkretnie, struktura rzeczywistości jest określona przez hermitowską macierz K 2 × 2 , której iloczyn sam w sobie jest macierzą identyczności: K ² = Id . Koniugat spinora w odniesieniu do struktury rzeczywistości K jest określony przez

${\ Displaystyle \ xi ^ {*} = K {\ bar {\ xi}}.}$

Konkretna postać iloczynu wewnętrznego na wektorach (np. ( 4 ) lub ( 4′ )) określa strukturę rzeczywistości (do współczynnika -1), wymagając

${\ Displaystyle {\ bar {X}} = KXK \,}$ , ilekroć X jest macierzą powiązaną z wektorem rzeczywistym.

Tak więc K = i C jest strukturą rzeczywistości w sygnaturze euklidesowej ( 4 ), a K = Id jest strukturą dla sygnatury ( 4′ ). Mając w ręku strukturę rzeczywistości, uzyskuje się następujące wyniki:

• X jest macierzą powiązaną z wektorem rzeczywistym wtedy i tylko wtedy, gdy
  $${\ Displaystyle {\ bar {X}} = KXK \,.}$$
• Jeśli μ i ξ są spinorem, to iloczynem wewnętrznym
  $${\ Displaystyle \ langle \ mu | \ xi \ rangle = i \ ^ {t} \ mu ^ {*} C \ xi}$$
  określa postać hermitowską, która jest niezmienna przy odpowiednich przekształceniach ortogonalnych.

Przykłady z fizyki

Spinory macierzy spinowych Pauliego

Zobacz też: kwaterniony i rotacja przestrzenna

Często pierwszym przykładem spinorów, z jakim spotyka się student fizyki, są spinory 2×1 używane w teorii spinu elektronów Pauliego. Macierze Pauliego są wektorami trzech macierzy 2×2 , które są używane jako operatory spinu .

Biorąc pod uwagę wektor jednostkowy w 3 wymiarach, na przykład ( a , b , c ), bierze się iloczyn skalarny z macierzami spinowymi Pauliego, aby otrzymać macierz spinową dla spinu w kierunku wektora jednostkowego.

Wektory własne tej macierzy spinowej są spinorami dla spinu-1/2 zorientowanego w kierunku określonym przez wektor.

Przykład: u = (0,8; -0,6; 0) jest wektorem jednostkowym. Rozpowszechnianie tego za pomocą macierzy spinowych Pauliego daje macierz:

${\ Displaystyle S_ {u} = (0,8, -0,6,0,0) \ cdot {\ vec {\ sigma}} = 0,8 \ sigma _ {1} -0,6 \ sigma _ {2} + 0,0 \ sigma _ {3} ={\początek{bmacierzy}0,0&0,8+0,6i\\0,8-0,6i&0,0\koniec{matrycy}}}$

Wektory własne można znaleźć zwykłymi metodami algebry liniowej , ale wygodną sztuczką jest zauważenie, że macierz spinowa Pauliego jest macierzą inwolucyjną , to znaczy kwadrat powyższej macierzy jest macierzą tożsamościową .

Zatem (macierzowe) rozwiązanie problemu wektora własnego z wartościami własnymi ± 1 to po prostu 1 _± Su . To jest,

${\ Displaystyle S_ {u} (1 \ pm S_ {u}) = \ pm 1 (1 \ pm S_ {u})}$

Można wtedy wybrać dowolną z kolumn macierzy wektorów własnych jako rozwiązanie wektorowe, pod warunkiem, że wybrana kolumna nie jest równa zeru. Biorąc pod uwagę pierwszą kolumnę powyższego, rozwiązania wektorów własnych dla dwóch wartości własnych to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} 1,0 + (0,0) \\ 0,0 + ( 0,8-0,6i)\koniec{bmacierzy}},{\rozpoczęcie{bmacierzy}1,0-(0,0)\\0,0-(0,8-0,6i)\koniec{bmacierzy}}}$

Su _znalezienia wektorów własnych jest związana z koncepcją ideałów , to znaczy macierzowe wektory własne (1 ± )/2 są operatorami projekcji lub idempotentami , a zatem każdy z nich generuje ideał w algebrze Pauliego. Ta sama sztuczka działa w każdej algebrze Clifforda , w szczególności w algebrze Diraca , która jest omówiona poniżej. Te operatory projekcji są również widoczne w macierzy gęstości , gdzie są przykładami czystych macierzy gęstości.

Mówiąc bardziej ogólnie, operator projekcji dla spinu w kierunku ( a , b , c ) jest określony przez

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} {\ rozpocząć {bmatrix} 1 + c & a-ib \\ a + ib i 1-c \ koniec{bmacierz}}}$

a dowolna kolumna różna od zera może być traktowana jako operator projekcji. Chociaż te dwie kolumny wydają się różne, można użyć a ² + b ² + c ² = 1, aby pokazać, że są one wielokrotnościami (prawdopodobnie zerem) tego samego spinora.

Uwagi ogólne

W fizyce atomowej i mechanice kwantowej właściwość spinu odgrywa główną rolę. Oprócz innych właściwości wszystkie cząstki posiadają właściwość nieklasyczną, tj. nie mającą żadnego odpowiednika w konwencjonalnej fizyce, a mianowicie spin, który jest rodzajem wewnętrznego momentu pędu . W reprezentacji położenia, zamiast funkcji falowej bez spinu, ψ = ψ ( r ), mamy ze spinem: ψ = ψ ( r , σ ), gdzie σ przyjmuje następujący dyskretny zbiór wartości:

${\ Displaystyle \ sigma = -S \ cdot \ hbar, - (S-1) \ cdot \ hbar, ..., + (S-1) \ cdot \hbar ,+S\cdot \hbar }$ .

Operator całkowitego momentu pędu cząstki odpowiada sumie orbitalnego momentu pędu (tj. dozwolone są tylko liczby całkowite) i części wewnętrznej , J $\ Displaystyle {\ vec {\ mathbb {J}}}}$ obrót . _ Wyróżnia się bozony (S = 0, ±1, ±2, ...) i fermiony (S = ±1/2, ±3/2, ±5/2, ...).

Zobacz też

• Kula Blocha
• Równanie Pauliego