Streszczenie polytope

Kwadratowa piramida i związana z nią abstrakcyjna polytope.

W matematyce abstrakcyjny polytop jest algebraicznym częściowo uporządkowanym zbiorem , który oddaje diadyczną właściwość tradycyjnego polytopu bez określania właściwości czysto geometrycznych, takich jak punkty i linie.

geometryczny polytope jest realizacją abstrakcyjnego polytope w jakiejś rzeczywistej przestrzeni N-wymiarowej , typowo euklidesowej . Ta abstrakcyjna definicja pozwala na bardziej ogólne kombinatoryczne niż tradycyjne definicje polytope, umożliwiając w ten sposób nowe obiekty, które nie mają odpowiednika w tradycyjnej teorii.

Pojęcia wprowadzające

Tradycyjne kontra abstrakcyjne polytopy

Izomorficzne czworoboki.

W geometrii euklidesowej dwa kształty, które nie są podobne , mogą jednak mieć wspólną strukturę. Na przykład kwadrat i trapez składają się z naprzemiennego łańcucha czterech wierzchołków i czterech boków, co czyni je czworobokami . Mówi się, że są izomorficzne lub „zachowujące strukturę”.

Ta wspólna struktura może być reprezentowana w podstawowym abstrakcyjnym politopie, czysto algebraicznym, częściowo uporządkowanym zbiorze, który oddaje wzór połączeń (lub incydentów) między różnymi elementami strukturalnymi. Mierzalne właściwości tradycyjnych polytopów, takie jak kąty, długości krawędzi, skośność, prostoliniowość i wypukłość, nie mają znaczenia dla abstrakcyjnego polytopu.

To, co jest prawdziwe w przypadku tradycyjnych polytopów (zwanych także klasycznymi lub geometrycznymi polytopami), może nie dotyczyć abstrakcyjnych i odwrotnie. Na przykład tradycyjny polytop jest regularny, jeśli wszystkie jego fasetki i figury wierzchołków są regularne, ale niekoniecznie tak jest w przypadku abstrakcyjnego polytopu.

Realizacje

Mówi się, że tradycyjny polytope jest realizacją powiązanego abstrakcyjnego polytope. Realizacja to odwzorowanie lub wstrzyknięcie abstrakcyjnego obiektu w rzeczywistą przestrzeń, zwykle euklidesową , w celu skonstruowania tradycyjnego polytope jako rzeczywistej figury geometrycznej.

Sześć przedstawionych czworoboków to różne realizacje abstrakcyjnego czworoboku, z których każdy ma inne właściwości geometryczne. Niektóre z nich nie odpowiadają tradycyjnym definicjom czworoboku i są uważane za niewierne realizacje. Konwencjonalny polytope jest wierną realizacją.

Twarze, stopnie i kolejność

W abstrakcyjnym polytopie każdy element strukturalny (wierzchołek, krawędź, komórka itp.) Jest powiązany z odpowiednim elementem zbioru. Termin ściana jest używany w odniesieniu do dowolnego takiego elementu, np. wierzchołka (ściana 0), krawędzi (ściana 1) lub ogólna ściana k , a nie tylko wielokątna ściana 2.

Ściany są uszeregowane zgodnie z ich rzeczywistym wymiarem: wierzchołki mają rangę 0, krawędzie rangę 1 i tak dalej.

Ściany incydentów różnych stopni, na przykład wierzchołek F krawędzi G, są uporządkowane według relacji F < G. Mówi się, że F jest podpowierzchnią G.

Mówi się, że F, G są przypadkowe , jeśli F = G lub F <G lub G <F. To użycie „incydentu” występuje również w geometrii skończonej , chociaż różni się od tradycyjnej geometrii i niektórych innych dziedzin matematyki. Na przykład w kwadracie ABCD krawędzie AB i BC nie są abstrakcyjnie incydentne (chociaż obie są incydentne z wierzchołkiem B). [ potrzebne źródło ]

Polytope jest wtedy definiowany jako zbiór ścian P z relacją porządku < . Formalnie P (z < ) będzie (ścisłym) częściowo uporządkowanym zbiorem lub poset .

Najmniejsze i największe twarze

Tak jak w matematyce potrzebna jest liczba zero, tak też każdy zbiór ma pusty zbiór ∅ jako podzbiór. W abstrakcyjnym polytope ∅ jest umownie identyfikowane jako najmniejsza lub zerowa ściana i jest podpowierzchnią wszystkich pozostałych. [ dlaczego? ] Ponieważ najmniejsza ściana znajduje się o jeden poziom poniżej wierzchołków lub ścian 0, jej ranga wynosi −1 i można ją oznaczyć jako F −1 . Zatem F −1 ≡ ∅, a abstrakcyjny polytope zawiera również zbiór pusty jako element. Zwykle nie jest to realizowane.

Istnieje również jedna twarz, której wszystkie inne są podpowierzchniami. To się nazywa największa twarz. W n -wymiarowym polytope największa ściana ma rangę = n i może być oznaczona jako F n . Czasami jest realizowany jako wnętrze figury geometrycznej.

Te najmniejsze i największe twarze są czasami nazywane niewłaściwymi twarzami, podczas gdy wszystkie inne są właściwymi twarzami.

Prosty przykład

Ściany abstrakcyjnego czworoboku lub kwadratu pokazano w poniższej tabeli:

Typ twarzy Ranga ( k ) Liczyć k -twarze
Najmniej −1 1 F -1
Wierzchołek 0 4 a , b , c , d
Krawędź 1 4 W, X, Y, Z
Największy 2 1 G

Relacja < zawiera zestaw par, które tutaj obejmują

fa -1 < za , ... , fa -1 <X , ... , fa -1 <G , ... , b <Y , ... , do <G , ... , Z <G.

Relacje porządku są przechodnie , tj. F < G i G < H implikują, że F < H. Dlatego, aby określić hierarchię twarzy, nie jest konieczne podawanie każdego przypadku F < H, tylko pary, w których jedna jest następcą drugi, tj. gdzie F < H i żadne G nie spełnia F < G < H.

Krawędzie W, X, Y i Z są czasami zapisywane odpowiednio jako ab , ad , bc i cd , ale taki zapis nie zawsze jest odpowiedni.

Wszystkie cztery krawędzie są strukturalnie podobne i to samo dotyczy wierzchołków. Figura ma zatem symetrie kwadratu i jest zwykle nazywana kwadratem.

Diagram Hassego

Wykres ( po lewej) i schemat Hassego czworoboku, przedstawiający szeregi (po prawej)

Mniejsze posety, aw szczególności polytopy, są często najlepiej wizualizowane na diagramie Hassego , jak pokazano. Zgodnie z konwencją twarze o równej randze są umieszczane na tym samym poziomie pionowym. Każda „linia” między ścianami, powiedzmy F, G, wskazuje relację porządkującą <taką, że F <G, gdzie F jest poniżej G na diagramie.

Diagram Hassego definiuje unikalny poset i dlatego w pełni oddaje strukturę polytope. Izomorficzne politopy dają początek izomorficznym diagramom Hassego i odwrotnie. To samo nie dotyczy generalnie grafów polytopów.

Ranga

Ranga ściany F jest zdefiniowana jako ( m − 2), gdzie m jest maksymalną liczbą ścian w dowolnym łańcuchu (F', F", ... , F) spełniającą F' < F" < ... < F. F' jest zawsze najmniejszą ścianą, F −1 .

Ranga abstrakcyjnego polytopu P to maksymalna ranga n dowolnej ściany. Jest to zawsze ranga największej ściany F n .

Ranga twarzy lub polytope zwykle odpowiada wymiarowi jej odpowiednika w tradycyjnej teorii.

W przypadku niektórych rang ich typy twarzy są wymienione w poniższej tabeli.

Ranga -1 0 1 2 3 ... n - 2 n - 1 N
Typ twarzy Najmniej Wierzchołek Krawędź † Komórka Podpowierzchnia lub grzbiet Aspekt Największy

† Tradycyjnie „twarz” oznaczała twarz rangi 2 lub twarz 2. W teorii abstrakcyjnej termin „twarz” oznacza twarz dowolnej rangi.

Flagi

W geometrii flaga jest maksymalnym łańcuchem ścian, tj. (całkowicie) uporządkowanym zbiorem Ψ ścian, z których każda jest podpowierzchnią następnej (jeśli istnieje) i takim, że Ψ nie jest podzbiorem żadnego większego łańcucha. Biorąc pod uwagę dowolne dwie różne twarze F, G we fladze, F <G lub F> G.

Na przykład { ø , a , ab , abc } jest flagą w trójkącie abc .

Dla danego polytopu wszystkie flagi zawierają taką samą liczbę twarzy. Inne pozycje na ogół nie spełniają tego wymogu.

Sekcje

Wykres (po lewej) i schemat Hassego graniastosłupa trójkątnego, przedstawiający 1-sekcję ( czerwony ) i 2-sekcję ( zielony ).

Każdy podzbiór P' poset P jest posetem (z tą samą relacją <, ograniczoną do P').

W abstrakcyjnym polytope, biorąc pod uwagę dowolne dwie ściany F , H z P z F ≤ H , zbiór { G | F ≤ G ≤ H } nazywamy sekcją P i oznaczamy H / F . (W teorii porządku przekrój nazywany jest zamkniętym przedziałem posetu i oznaczany [ F , H ].

Na przykład w pryzmacie abcxyz (patrz diagram) przekrój xyz / ø (podświetlony na zielono) to trójkąt

{ ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.

Sekcja k jest sekcją rzędu k .

P jest zatem sekcją samą w sobie.

To pojęcie przekroju nie ma takiego samego znaczenia jak w tradycyjnej geometrii.

aspekty

Fasetą dla danej j -ściany F jest ( j − 1 )-sekcja F / ∅, gdzie F j jest największą ścianą.

Na przykład w trójkącie abc ściana w ab to ab / b = { ∅, a, b, ab }, co jest odcinkiem linii.

Rozróżnienie między F i F / ∅ zwykle nie jest znaczące i często traktuje się je jako identyczne.

Figury wierzchołków

Figura wierzchołka w danym wierzchołku V to przekrój ( n −1) F n / V , gdzie F n jest największą ścianą.

Na przykład w trójkącie abc figura wierzchołka w b to abc / b = { b, ab, bc, abc }, co jest odcinkiem linii. Figury wierzchołków sześcianu to trójkąty.

Łączność

Poset P jest spójny, jeśli P ma rangę ≤ 1 lub, biorąc pod uwagę dowolne dwie ściany właściwe F i G, istnieje sekwencja ścian właściwych

H 1 , H 2 , ... , H k

takie, że F = H 1 , G = H k i każdy H i , i < k, jest incydentalny ze swoim następnikiem.

Powyższy warunek zapewnia, że ​​para rozłącznych trójkątów abc i xyz nie jest (pojedynczym) polytopem.

Poset P jest silnie spójny , jeśli każda sekcja P (w tym samo P) jest spójna.

Z tym dodatkowym wymaganiem wykluczone są również dwie piramidy, które mają tylko jeden wierzchołek. Jednak na przykład dwie kwadratowe piramidy można „skleić” na ich kwadratowych powierzchniach – uzyskując ośmiościan. „Wspólna twarz” nie jest więc ścianą ośmiościanu.

Definicja formalna

Abstrakcyjny wielotop to częściowo uporządkowany zbiór , którego elementy nazywamy twarzami , spełniający 4 aksjomaty: [ potrzebne źródło ]

  1. Ma tylko jedną najmniejszą twarz i jedną największą twarz .
  2. Wszystkie flagi zawierają taką samą liczbę twarzy.
  3. Jest silnie powiązany .
  4. Jeśli rangi dwóch ścian a > b różnią się o 2, to są dokładnie 2 ściany leżące ściśle między a i b .

N - polytop jest polytopem rangi n . Abstrakcyjny polytop związany z prawdziwym polytopem wypukłym jest również nazywany jego siatką czołową .

Najprostsze polytopy

Ranga < 1

Jest tylko jedna pozycja dla każdej rangi -1 i 0. Są to odpowiednio twarz zerowa i punkt. Nie zawsze są one uważane za ważne abstrakcyjne polytopy.

Ranga 1: segment linii

Wykres (po lewej) i schemat Hassego odcinka linii

Jest tylko jeden polytope rangi 1, który jest segmentem liniowym. Ma najmniejszą ścianę, tylko dwie ściany 0 i największą ścianę, na przykład {ø, a, b, ab }. Wynika z tego, że wierzchołki a i b mają rangę 0, a największa ściana ab , a więc i pozycja, mają rangę 1.

Ranga 2: wielokąty

Dla każdego p , abstrakcyjny ) tradycyjny wielokąt z p wierzchołkami i p krawędziami lub p -gon. Dla p = 3, 4, 5, ... mamy trójkąt, kwadrat, pięciokąt, ....

Dla p = 2 mamy digon i apeirogon . _

Digon

Wykres (po lewej) i schemat Hassego Digon

Digon to wielokąt, który ma tylko 2 krawędzie . W przeciwieństwie do innych wielokątów, obie krawędzie mają te same dwa wierzchołki. Z tego powodu jest zdegenerowany na płaszczyźnie euklidesowej .

Ściany są czasami opisywane za pomocą „notacji wierzchołków” - np. { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } dla trójkąta abc . Zaletą tej metody jest implikowanie relacji < .

W przypadku dwukąta ta notacja wierzchołków nie może być używana . Należy nadać ścianom indywidualne symbole i określić pary podpowierzchni F < G.

Zatem dwukąt jest zdefiniowany jako zbiór { ø , a , b , E', E", G} z relacją < daną przez

{ ø < ​​a , ø < b , a <E', a <E", b <E', b <E", E'<G, E"<G}

gdzie E' i E" to dwie krawędzie, a G największa ściana.

Ta potrzeba identyfikacji każdego elementu polytopu za pomocą unikalnego symbolu dotyczy wielu innych abstrakcyjnych polytopów i dlatego jest powszechną praktyką.

Polytope można w pełni opisać za pomocą notacji wierzchołków tylko wtedy, gdy każda ściana jest incydentna z unikalnym zestawem wierzchołków . Mówi się, że polytop mający tę właściwość jest atomistyczny .

Przykłady wyższej rangi

Zbiór j -ścian (−1 ≤ j ≤ n ) tradycyjnego n -polytopu tworzy abstrakcyjny n -polytop.

Pojęcie abstrakcyjnego polytope jest bardziej ogólne i obejmuje również:

Hosohedry i hozotopy

Sześciokątny hosohedron , zrealizowany jako kulisty wielościan .

Digon jest uogólniony przez hosohedron i hozotopy o wyższych wymiarach, z których wszystkie można zrealizować jako kuliste wielościany - teselują kulę.

Rzutowe politopy

Hemicube można wyprowadzić z sześcianu , identyfikując przeciwległe wierzchołki, krawędzie i ściany. Ma 4 wierzchołki, 6 krawędzi i 3 ściany.

Cztery przykłady nietradycyjnych abstrakcyjnych wielościanów to Hemicube (pokazano), Hemi-octahedron , Hemi-dodecahedron i Hemi-icosahedron . Są to rzutowe odpowiedniki brył platońskich i mogą być zrealizowane jako (globalnie) rzutowe wielościany - teselują rzeczywistą płaszczyznę rzutową .

Hemicube to kolejny przykład, w którym notacja wierzchołków nie może być użyta do zdefiniowania polytopu - wszystkie 2-ściany i 3-ściany mają ten sam zestaw wierzchołków.

Dwoistość

Każdy geometryczny polytop ma podwójnego bliźniaka. Abstrakcyjnie, dual to ten sam polytope, ale z odwróconą kolejnością: diagram Hassego różni się tylko adnotacjami. W n -polytopie każda z oryginalnych k -ścian odwzorowuje się na ( n - k - 1) -twarz w dualności. Tak więc, na przykład, n -ściana jest odwzorowywana na (-1)-ścianę. Podwójna liczba podwójna jest ( izomorficzna z) oryginałem.

Politop jest samodwoisty, jeśli jest taki sam, tj. jest z nim izomorficzny. Stąd diagram Hassego samodualnego polytopu musi być symetryczny względem osi poziomej w połowie odległości między górą a dołem. Kwadratowa piramida w powyższym przykładzie jest samodualna.

Figura wierzchołka w wierzchołku V jest podwójna aspektu, do którego V odwzorowuje się w dualnym polytopie.

Streszczenie regularnych polytopów

Formalnie abstrakcyjny polytop jest definiowany jako „regularny”, jeśli jego grupa automorfizmów działa przechodnio na zestawie swoich flag. W szczególności, dowolne dwie k -ściany F , G n -polytopu są „ takie same”, tj. istnieje automorfizm, który odwzorowuje F na G. Kiedy abstrakcyjny polytope jest regularny, jego grupa automorfizmów jest izomorficzna z ilorazem grupy Coxetera .

Wszystkie polytopy rangi ≤ 2 są regularne. Najbardziej znanymi wielościanami regularnymi jest pięć brył platońskich. Półsześcian (pokazany) jest również regularny.

Nieformalnie dla każdej rangi k oznacza to, że nie ma możliwości odróżnienia żadnej k -ściany od innych - ściany muszą być identyczne, muszą mieć identycznych sąsiadów i tak dalej. Na przykład sześcian jest regularny, ponieważ wszystkie ściany są kwadratami, wierzchołki każdego kwadratu są dołączone do trzech kwadratów, a każdy z tych kwadratów jest przymocowany do identycznych układów innych ścian, krawędzi i wierzchołków i tak dalej.

Sam ten warunek jest wystarczający, aby zapewnić, że każdy regularny abstrakcyjny polytope ma izomorficzne regularne ( n -1) -ściany i izomorficzne regularne figury wierzchołków.

Jest to słabszy warunek niż regularność dla tradycyjnych polytopów, ponieważ odnosi się do (kombinatorycznej) grupy automorfizmów, a nie do (geometrycznej) grupy symetrii. Na przykład każdy abstrakcyjny wielokąt jest regularny, ponieważ kąty, długości krawędzi, krzywizna krawędzi, skośność itp. Nie istnieją dla abstrakcyjnych polytopów.

Istnieje kilka innych słabszych koncepcji, niektóre jeszcze nie w pełni znormalizowane, takie jak półregularne , quasi-regularne , jednolite , chiralne i archimedesowe , które mają zastosowanie do polytopów, które mają niektóre, ale nie wszystkie, twarze równoważne w każdej randze.

Realizacja

Zbiór punktów V w przestrzeni euklidesowej wyposażony w suriekcję ze zbioru wierzchołków abstrakcyjnego polytopu P , taki, że automorfizmy P indukują permutacje izometryczne V , nazywamy realizacją abstrakcyjnego polytopu. Dwie realizacje nazywane są przystającymi, jeśli naturalna bijekcja między ich zbiorami wierzchołków jest indukowana przez izometrię ich otaczających przestrzeni euklidesowych.

Jeśli abstrakcyjny n -polytop jest zrealizowany w n -wymiarowej przestrzeni, tak że układ geometryczny nie łamie żadnych zasad dla tradycyjnych polytopów (takich jak zakrzywione ściany lub grzbiety o zerowym rozmiarze), to mówi się, że realizacja jest wierna . Ogólnie rzecz biorąc, tylko ograniczony zbiór abstrakcyjnych polytopów rzędu n może być wiernie zrealizowany w dowolnej n -przestrzeni. Charakterystyka tego efektu jest wyjątkowym problemem.

W przypadku regularnego abstrakcyjnego polytopu, jeśli kombinatoryczne automorfizmy abstrakcyjnego polytopu są realizowane przez symetrie geometryczne, wówczas figura geometryczna będzie regularnym polytopem.

Przestrzeń modułowa

Grupa G symetrii realizacji V abstrakcyjnego polytopu P jest generowana przez dwa odbicia, których iloczyn przekłada każdy wierzchołek P na następny. Iloczyn dwóch odbić można rozłożyć na iloczyn niezerowego przesunięcia, skończenie wielu obrotów i prawdopodobnie trywialnego odbicia.

Ogólnie przestrzeń modułów realizacji abstrakcyjnego polytopu jest wypukłym stożkiem o nieskończonym wymiarze. Stożek realizacji abstrakcyjnego polytopu ma nieprzeliczalnie nieskończony wymiar algebraiczny i nie może być domknięty w topologii euklidesowej .

Problem amalgamacji i uniwersalne polytopy

Ważnym zagadnieniem w teorii abstrakcyjnych polytopów jest problem amalgamacji . Jest to seria pytań, np

Czy dla danych abstrakcyjnych polytopów K i L są jakieś polytopy P , których ścianki to K , a figury wierzchołków to L ?
Jeśli tak, to czy wszystkie są skończone?
Jakie są skończone?

Na przykład, jeśli K to kwadrat, a L to trójkąt, odpowiedzi na te pytania brzmią

Tak, istnieją polytopy P o kwadratowych ścianach, połączone po trzy na wierzchołek (czyli są polytopy typu {4,3}).
Tak, wszystkie są skończone, w szczególności
jest sześcian z sześcioma kwadratowymi ścianami, dwunastoma krawędziami i ośmioma wierzchołkami oraz półsześcian z trzema ścianami, sześcioma krawędziami i czterema wierzchołkami.

Wiadomo, że jeśli odpowiedź na pierwsze pytanie brzmi „tak” dla pewnych regularnych K i L , to istnieje unikalny polytop, którego ścianki to K i figury wierzchołków to L , zwany uniwersalnym polytopem z tymi ściankami i figurami wierzchołków, który obejmuje wszystkie inne takie polytopy. To znaczy, załóżmy, że P jest uniwersalnym polytopem ze ścianami K i figurami wierzchołków L . Wtedy każdy inny polytope Q z tymi fasetami i figurami wierzchołków można zapisać Q = P / N , gdzie

  • N jest podgrupą grupy automorfizmów P i
  • P / N to zbiór orbit elementów P pod działaniem N , z częściowym porządkiem indukowanym przez P.

Q = P / N nazywamy ilorazem P i mówimy, że P obejmuje Q .

Biorąc pod uwagę ten fakt, poszukiwanie polytopów z określonymi fasetami i liczbami wierzchołków zwykle wygląda następująco:

  1. Spróbuj znaleźć odpowiedni uniwersalny polytope
  2. Spróbuj sklasyfikować jego ilorazy.

Te dwa problemy są na ogół bardzo trudne.

Wracając do powyższego przykładu, jeśli K jest kwadratem, a L jest trójkątem, uniwersalny polytope { K , L } jest sześcianem (również zapisanym {4,3}). Hemicube to iloraz {4,3}/ N , gdzie N to grupa symetrii (automorfizmów) sześcianu z tylko dwoma elementami - tożsamością i symetrią, która odwzorowuje każdy róg (lub krawędź lub ścianę) na jego przeciwieństwo .

Jeśli zamiast tego L jest również kwadratem, uniwersalny polytope { K , L } (to znaczy {4,4}) jest tesselacją płaszczyzny euklidesowej przez kwadraty. Ta teselacja ma nieskończenie wiele ilorazów o kwadratowych ścianach, po cztery na wierzchołek, niektóre regularne, a inne nie. Z wyjątkiem samego uniwersalnego polytopu, wszystkie odpowiadają różnym sposobom układania teselacji torusa lub nieskończenie długiego cylindra z kwadratami.

11-ogniwowy i 57-ogniwowy

11 -komórkowy , odkryty niezależnie przez HSM Coxetera i Branko Grünbauma , jest abstrakcyjnym 4-polytopem. Jego ścianki to hemi-icosahedra. Ponieważ jego ścianki są topologicznie rzutowymi płaszczyznami zamiast sfer, komórka 11 nie jest teselacją żadnej rozmaitości w zwykłym sensie. Zamiast tego 11-komórkowa jest lokalnie projekcyjnym politopem. Jest samopodwójny i uniwersalny: jest to jedyny polytop z hemi-icosaedral fasetami i hemi-dwunastościannymi figurami wierzchołków.

Komórka 57 jest również samopodwójna, z hemi-dwunastościannymi fasetami. Została odkryta przez HSM Coxeter wkrótce po odkryciu 11-komórkowej. Podobnie jak 11-ogniwowy, jest również uniwersalny, będąc jedynym polytopem z hemi-dodekaedrycznymi fasetami i hemi-icosaedralnymi figurami wierzchołków. Z drugiej strony istnieje wiele innych polytopów z hemi-dodekahedrycznymi fasetami i typem Schläfliego {5,3,5}. Uniwersalna politopia z hemi-dwudziestościennymi fasetkami i dwudziestościennymi (nie hemi-icosahedralnymi) figurami wierzchołków jest skończona, ale bardzo duża, z 10006920 fasetami i o połowę mniejszą liczbą wierzchołków.

Topologia lokalna

Historycznie problem amalgamacji był realizowany zgodnie z lokalną topologią . Oznacza to, że zamiast ograniczać K i L do określonych polytopów, mogą one być dowolnym polytopem o danej topologii , to znaczy dowolnym polytopem układającym teselację w daną rozmaitość . Jeśli K i L są kuliste (to znaczy teselacje sfery topologicznej ) , to P nazywa się lokalnie sferyczną i odpowiada sobie teselacją jakiejś rozmaitości. Na przykład, jeśli K i L są kwadratami (a więc są topologicznie takie same jak koła), P będzie teselacją płaszczyzny, torusa lub butelki Kleina po kwadratach. Teselacja n -wymiarowej rozmaitości jest w rzeczywistości polytopem rangi n + 1. Jest to zgodne z powszechną intuicją, że bryły platońskie są trójwymiarowe, mimo że można je traktować jako teselacje dwuwymiarowej powierzchni kuli.

Ogólnie rzecz biorąc, abstrakcyjny polytope jest lokalnie nazywany X , jeśli jego fasetki i figury wierzchołków są topologicznie sferami lub X , ale nie obiema sferami. 11 -komórkowe i 57-komórkowe są przykładami lokalnie rzutowych politopów rangi 4 (czyli czterowymiarowych) , ponieważ ich fasetki i figury wierzchołków są teselacjami rzeczywistych płaszczyzn rzutowych . Ta terminologia ma jednak pewną słabość. Nie pozwala na łatwy sposób na opisanie polytope, którego ścianki są torusami , a figury wierzchołków są na przykład płaszczyznami rzutowymi. Co gorsza, jeśli różne aspekty mają różne topologie lub w ogóle nie mają dobrze zdefiniowanej topologii. Jednak poczyniono znaczne postępy w zakresie pełnej klasyfikacji lokalnie toroidalnych regularnych polytopów

Wymień mapy

Niech Ψ będzie flagą abstrakcyjnego n -polytopu i niech −1 < i < n . Z definicji abstrakcyjnego polytopu można dowieść, że istnieje unikalna flaga różniąca się od Ψ elementem rangi i , a poza tym taka sama. Jeśli nazwiemy tę flagę Ψ ( i ) , to zdefiniujemy zbiór map na flagach polytopes, powiedzmy φ i . Mapy te nazywane są mapami wymiany , ponieważ zamieniają się parami flag : ( Ψφ i ) φ i = Ψ zawsze. Niektóre inne właściwości map wymiany:

  • φ i 2 jest mapą tożsamości
  • φ i generuję grupę . _ (Akcja tej grupy na flagach polytope jest przykładem tego, co nazywa się akcją flagi grupy na polytope)
  • Jeśli | ja − j | > 1, φ ja φ jot = φ jot φ ja
  • Jeśli α jest automorfizmem polytopu, to αφ i = φ i α
  • Jeśli polytope jest regularny, grupa generowana przez φ i jest izomorficzna z grupą automorfizmu, w przeciwnym razie jest ściśle większa.

Mapy wymiany, aw szczególności akcja flagi, mogą być użyte do udowodnienia, że ​​dowolny abstrakcyjny polytop jest ilorazem jakiegoś regularnego polytopu.

Macierze incydentów

Polytope można również przedstawić poprzez zestawienie jego częstości występowania .

Następująca macierz częstości jest macierzą trójkąta:

ø A B C Ab pne ok ABC
ø 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 1 0 0 1 0 1 1
B 1 0 1 0 1 1 0 1
C 1 0 0 1 0 1 1 1
Ab 1 1 1 0 1 0 0 1
pne 1 0 1 1 0 1 0 1
ok 1 1 0 1 0 0 1 1
ABC 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabela pokazuje 1 wszędzie tam, gdzie ściana jest podpowierzchnią innej lub odwrotnie (więc tabela jest symetryczna względem przekątnej) - więc w rzeczywistości tabela zawiera nadmiarowe informacje ; wystarczyłoby pokazać tylko 1, gdy powierzchnia wiersza ≤ powierzchnia kolumny.

Ponieważ zarówno ciało, jak i zbiór pusty są incydentalne ze wszystkimi innymi elementami, pierwszy wiersz i kolumna, a także ostatni wiersz i kolumna są trywialne i można je wygodnie pominąć.

Kwadratowa Piramida

Kwadratowa piramida i związana z nią abstrakcyjna polytope.

Dalsze informacje uzyskuje się, licząc każde wystąpienie. To użycie liczbowe umożliwia symetrii , jak na schemacie Hassego kwadratowej piramidy : Jeśli wierzchołki B, C, D i E są uważane za symetrycznie równoważne w abstrakcyjnym polytope, to krawędzie f, g, h i j zostaną zgrupowane razem, a także krawędzie k, l, m i n, i wreszcie trójkąty P , Q , R i S . Zatem odpowiednią macierz częstości tego abstrakcyjnego polytopu można przedstawić jako:

A B, C, D, E f, g, h, j k,l,m,n P , Q , R , S   T  
A 1 * 4 0 4 0
B, C, D, E * 4 1 2 2 1
f, g, h, j 1 1 4 * 2 0
k,l,m,n 0 2 * 4 1 1
P , Q , R , S 1 2 2 1 4 *
T 0 4 0 4 * 1

W tej skumulowanej reprezentacji macierzy częstości występowania ukośne wpisy reprezentują całkowitą liczbę elementów dowolnego typu.

Elementy różnych typów tej samej rangi najwyraźniej nigdy nie są incydentalne, więc wartość zawsze będzie wynosić 0, jednak aby ułatwić rozróżnienie takich relacji, zamiast 0 używana jest gwiazdka (*).

Wpisy pod przekątną każdego wiersza reprezentują zliczenia odpowiednich elementów podrzędnych, podczas gdy wpisy na przekątnej reprezentują odpowiednie zliczenia elementów wierzchołka, krawędzi lub jakiejkolwiek innej figury.

Już ta prosta piramida kwadratowa pokazuje, że zakumulowane w symetrii macierze częstości nie są już symetryczne. Ale nadal istnieje prosta relacja encji (oprócz uogólnionych wzorów Eulera dla przekątnej, odpowiednio elementów podprzekątnych każdego rzędu, odpowiednio elementów superprzekątnych każdego rzędu - przynajmniej wtedy, gdy nie ma dziur ani gwiazdek itp.) brane pod uwagę), jak dla każdej takiej macierzy występowania posiada:

Historia

W latach sześćdziesiątych Branko Grünbaum wezwał społeczność geometryczną do rozważenia uogólnień koncepcji regularnych polytopów , które nazwał polystromata . Opracował teorię polystromata, pokazując przykłady nowych obiektów, w tym 11-komórkowy .

11 -komorowa jest samodualnym 4-polytopem , którego ścianki nie są dwudziestościanami , ale „ hemi-icosahedrami ” - to znaczy są kształtem, jaki uzyskuje się, jeśli weźmie się pod uwagę przeciwległe ściany dwudziestościanu jako w rzeczywistości ta sama twarz ( Grunbaum, 1977). Kilka lat po odkryciu przez Grünbauma 11-komórkowego , HSM Coxeter odkrył podobny politop, 57-komórkowy (Coxeter 1982, 1984), a następnie niezależnie ponownie odkrył 11-komórkowy.

Dzięki wcześniejszym pracom Branko Grünbauma , HSM Coxetera i Jacquesa Titsa , które położyły podwaliny, podstawowa teoria struktur kombinatorycznych, znanych obecnie jako abstrakcyjne polytopy, została po raz pierwszy opisana przez Egona Schulte w jego rozprawie doktorskiej z 1980 roku. Zdefiniował w nim „zespoły o regularnej częstości występowania” i „politopy o regularnej częstości występowania”. Następnie on i Peter McMullen opracowali podstawy teorii w serii artykułów naukowych, które zostały później zebrane w książkę. Od tego czasu wielu innych badaczy wniosło własny wkład, a pierwsi pionierzy (w tym Grünbaum) również przyjęli definicję Schulte'a jako „poprawną”.

Od tego czasu badania nad teorią abstrakcyjnych polytopów koncentrowały się głównie na regularnych polytopach, to znaczy takich, których grupy automorfizmu działają przechodnio na zbiór flag polytopu.

Zobacz też

Notatki

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Abstract_polytope&oldid=1121365384 ”