Twierdzenie Danskina

W analizie wypukłej twierdzenie Danskina jest twierdzeniem , które dostarcza informacji o pochodnych funkcji postaci

$${\ Displaystyle f (x) = \ max _ {z \ w Z} \ phi (x, z).}$$

Twierdzenie ma zastosowanie w optymalizacji , gdzie czasami jest używane do rozwiązywania problemów minimax . Oryginalne twierdzenie podane przez JM Danskina w jego monografii z 1967 r. Zawiera wzór na pochodną kierunkową maksimum funkcji różniczkowalnej kierunkowo (niekoniecznie wypukłej).

Rozszerzenie na bardziej ogólne warunki zostało udowodnione w 1971 r. przez Dimitri Bertsekas.

Oświadczenie

Następująca wersja została udowodniona w „Programowaniu nieliniowym” (1991). Załóżmy, że jest ciągłą funkcją dwóch argumentów, ${\ Displaystyle \ phi (x, z)}$

$${\ Displaystyle \ phi: \ mathbb {R} ^ {n} \ razy Z \ do \ mathbb {R}}$$

gdzie ${\ Displaystyle Z \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {m}}$ jest zbiorem zwartym . Dalej $załóżmy$$_$ jest w dla z ${\ Displaystyle Z \ w Z.}$

W tych warunkach twierdzenie Danskina dostarcza wniosków dotyczących wypukłości i różniczkowalności funkcji

$${\ Displaystyle f (x) = \ max _ {z \ w Z} \ phi (x, z).}$$

Aby podać te wyniki, definiujemy zbiór punktów maksymalizacji jako Z $\ Displaystyle Z_ {0} (x)}$

$${\ Displaystyle Z_ {0} (x) = \ lewo \ {{\ overline {z}}: \ phi (x, {\ overline {z}}) = \ max _ {z \ w Z} \ phi (x ,z)\prawo\}.}$$

Twierdzenie Danskina daje następnie następujące wyniki.

wypukłość

${\ displaystyle f (x)}$ jest wypukła .

Półróżnicowy kierunkowy

Półróżniczka w kierunku oznaczona $częściowe _ {$$Displaystyle \$${\$ fa ( x ) {\ Displaystyle f (x)} jest podane przez

$${\ Displaystyle \ częściowe _ {y} f (x) = \ max _ {z \ w Z_ {0} ( x)}\phi '(x,z;y),}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ phi '(x, z; y)}$ jest pochodną kierunkową funkcji ${\ Displaystyle \ phi (\ cdot, z)}$ w ${\ displaystyle x}$ w kierunku ${\ Displaystyle r.}$

Pochodna

${\ Displaystyle f (x)}$ jest różniczkowalna w $Displaystyle$ , jeśli $Z_ {0} (x)}$ składa się z pojedynczego elementu ${\ Displaystyle {\ overline {z}}}$ . $(x$$)$ przypadku pochodna (lub gradient z jeśli ${$ wektorem) jest dana przez Displaystyle

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe x}} = {\ Frac {\ częściowe \ phi (x, {\ overline {z}})} {\ częściowe x}}.}$$

Przykład bez pochodnej kierunkowej

$,$ aby stwierdzić półróżniczkowalność, a nie pochodną kierunkową, jak wyjaśnia ten prosty przykład Ustaw ${\ Displaystyle Z = {- 1 + 1}, \ phi (x, z) = zx,}$ , otrzymujemy ${\ Displaystyle f (x) = | x |}$ , który jest częściowo różniczkowalny z ${\ Displaystyle \ częściowe _ {-} f (0) = - 1, \ częściowe _ {+} f (0) = + 1}$ , ale nie ma pochodnej kierunkowej w ${\ displaystyle x = 0}$ .

Subróżnicowy

φ ${\ Displaystyle \ phi (x, z)}$$\ częściowe \ phi / \ częściowe x}$ różniczkowalna względem dla wszystkich $z \ in Z,}$$Displaystyle$ i jeśli $x$ jest ciągłe w odniesieniu do wszystkich, to podróżniczka $}$ fa $\$ x ) { Displaystyle podane przez

$${\ Displaystyle \ częściowe f (x) = \ operatorname {conv} \ lewo \ {{\ Frac {\częściowe \phi (x,z)}{\częściowe x}}:z\in Z_{0}(x)\right\}}$$

gdzie $_$ wypukłą . _

Rozszerzenie

Doktorat z 1971 r. Teza Bertsekasa (Twierdzenie A.22) $ogólnego$ wyniku, który nie był Zamiast tego zakłada się, że $rozszerzoną zamkniętą właściwą$$Z ,}$ rzeczywistych dla każdego $Displaystyle$ zwartym że ${\ Displaystyle \ operatorname {int} (\ operatorname {dom} (f)}}$ wnętrze efektywnej domeny ${\ Displaystyle f,}$ nie jest puste i że ${\ Displaystyle \ operatorname {int} (\ operatorname {dom} (f)} \ razy Z.}$ ciągły na $zbiorze$${\ Displaystyle \ operatorname {int } (\ operatorname {dom} (f)),}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x}$ w różniczka podrzędna z jest dana przez ${\ displaystyle f}$ w ${\ displaystyle x}$

$${\ Displaystyle \ częściowe f (x) = \ operatorname {conv} \ lewo \ {\ częściowe \ phi (x, z):z\w Z_{0}(x)\prawo\}}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ częściowe \ phi (x, z)}$ jest subróżniczką ${\ Displaystyle \ phi (\ cdot, z)}$ w ${\ Displaystyle x}$ dla $_$ w ${\ Displaystyle Z.}$

Zobacz też

• Maksymalne twierdzenie
• Twierdzenie o obwiedni
• Lemat Hotellinga