Twierdzenie Goldberga-Sachsa

Goldberga -Sachsa jest wynikiem ogólnej teorii względności Einsteina o próżniowych rozwiązaniach równań pola Einsteina , odnoszących się do istnienia pewnego rodzaju zgodności z algebraicznymi właściwościami tensora Weyla .

Mówiąc dokładniej, twierdzenie stwierdza, że próżniowe rozwiązanie równań pola Einsteina dopuszcza zerową kongruencję geodezyjną bez ścinania wtedy i tylko wtedy, gdy tensor Weyla jest algebraicznie szczególny .

Twierdzenie to jest często używane przy poszukiwaniu algebraicznie specjalnych rozwiązań próżniowych.

Promienie wolne od ścinania

Promień to rodzina geodezyjnych krzywych podobnych do światła. ${\ Displaystyle l_$ jest styczne pole wektorowe jest zerowe i geodezyjne: $a} l ^ {a} = 0}$ ${$ i $\ Displaystyle l ^ {b} \ nabla _ {b} l ^ {a} = 0}$ . W każdym punkcie znajduje się (nieunikatowy) przestrzenny wycinek 2D przestrzeni stycznej prostopadłej do ${\ displaystyle l ^ {a}}$ . Rozpinany jest przez złożony wektor zerowy ${\ Displaystyle m ^ {a}}$ i jego złożony koniugat ${\ Displaystyle {\ bar {m}} ^ {a}}$ . Jeśli metryka jest dodatnia w czasie, to metryka rzutowana na wycinek to ${\ Displaystyle {\ tylda {g}} ^ {ab} = - m ^ {a}{\bar {m}}^{b}-{\bar {m}}^{a}m^{b}}$ . Goldberg i Sachs rozważali rzutowanie gradientu na ten wycinek.

${\ Displaystyle A ^ {ab} = {\ tylda {g}} ^ {ap} {\ tylda {g}} ^ {bq} \ nabla _ {p} l_ {q} = z {\ bar {m}} ^{a}m^{b}+{\bar {z}}m^{a}{\bar {m}}^{b}+{\bar {\sigma}}m^{a}m^{ b}+\sigma {\bar {m}}^{a}{\bar {m}}^{b}.}$

Promień jest wolny od ścinania, jeśli ${\ displaystyle \ sigma = 0}$ . Intuicyjnie oznacza to, że mały cień rzucany przez promień zachowa swój kształt. Cień może się obracać i rosnąć/kurczyć, ale nie zostanie zniekształcony.

Twierdzenie

Metryka próżni $gdy$ zerową kongruencję geodezyjną bez ścinania; $\ Displaystyle k_ {[a} C_ {b] ijc} k ^ {i} k ^ {j}$ ja jot do .

Jest to twierdzenie pierwotnie sformułowane przez Goldberga i Sachsa. Chociaż stwierdzili to w kategoriach wektorów stycznych i tensora Weyla , dowód jest znacznie prostszy w odniesieniu do spinorów. Równania pola Newmana-Penrose'a dają ${\ Displaystyle k_ {[a} C_ {b] ijc} k ^$ Pietrowa, ponieważ zamiast udowadniać , można po prostu udowodnić ${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = 0}$ . Dla tych dowodów załóżmy $, że$ $mamy$ wirującą, której maszt bez ścinania .

Dowód, że promień bez ścinania implikuje specjalność algebraiczną : Jeśli promień jest geodezyjny i wolny od ścinania, to ${\ Displaystyle \ varepsilon + {\ bar {\ varepsilon}} = \ kappa = \ sigma = 0}$ . Złożony obrót $\ Displaystyle o ^ {A} \ rightarrow e ^ {i \ theta} o ^ {$ $}$ i może ustawić ${\ Displaystyle \ varepsilon = 0}$ uprościć obliczenia. Pierwszym użytecznym równaniem NP jest $D\sigma -\delta \kappa =0$ daje $Displaystyle \ Psi _ {0} =$ .

Aby pokazać, że ${\ Displaystyle \ Psi _ {1} = 0} , zastosuj$ do niego komutator ${\ displaystyle \ delta DD \ delta}$ Tożsamość Bianchiego daje potrzebne wzory: ${\ Displaystyle D \ Psi _ {1} = 4 \ rho \ Psi _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ delta \ Psi _ {1} = (2 \ beta + 4 \ tau) \ Psi _ {1}}$ . Praca $,$ tego komutatora pokaże tę część dowodu.

Dowód, że specjalność algebraiczna implikuje promień bez ścinania : Załóżmy $}$ $re {\ displaystyle \ Psi _ {ABCD$ jest zdegenerowanym czynnikiem . Chociaż ta degeneracja może być n-krotna (n=2..4) i dowód będzie funkcjonalnie taki sam, przyjmijmy, że jest to degeneracja 2-krotna. Wtedy projekcja ${\ Displaystyle o ^ {B} o ^ {C} o ^ {D} \ Psi _ {ABCD} = 0}$ . Tożsamość Bianchiego w czasoprzestrzeni próżni wynosi ${\ Displaystyle \ nabla ^ {AA'} \ Psi _ {ABCD} = 0}$ , więc zastosowanie pochodnej do projekcji da ${\ Displaystyle o_ {A} o_ {B} \ nabla ^ {AA'} o ^ {B} = 0}$ , co odpowiada ${\ Displaystyle \ kappa =\sigma = 0.}$ Kongruencja jest zatem wolna od ścinania i prawie geodezyjna: ${\ Displaystyle Dl_ {a} = (\ varepsilon + {\ bar {\ varepsilon}}) l_ {a}}$ . Istnieje odpowiednie przeskalowanie, które sprawi, że ta kongruencja będzie geodezyjna, a tym samym promień wolny $od$ Ścinanie pola wektorowego jest niezmienne przy przeskalowaniu, więc pozostanie wolne od ścinania.

Znaczenie i przykłady

W czasoprzestrzeniach typu D Pietrowa występują dwie degeneracje algebraiczne. Zgodnie z twierdzeniem Goldberga-Sachsa istnieją zatem dwa promienie bez ścinania, które wskazują wzdłuż tych zdegenerowanych kierunków. Ponieważ równania Newmana-Penrose'a są zapisane w bazie z dwoma rzeczywistymi wektorami zerowymi, istnieje naturalna baza, która upraszcza równania pola. Przykładami takich czasoprzestrzeni próżni są metryka Schwarzschilda i metryka Kerra , które opisują odpowiednio nierotującą i obracającą się czarną dziurę. To właśnie to uproszczenie algebraiczne umożliwia ręczne rozwiązywanie metryki Kerra.

W przypadku Schwarzschilda ze współrzędnymi symetrycznymi w czasie, dwa promienie wolne od ścinania to ${\ Displaystyle l ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} = \ pm \ lewo (1- {\ Frac {2M} {r}} \ prawej) ^ {-1} \ częściowe _ {t} + \ częściowe _{r}.}$

Pod transformacją współrzędnych ${\ Displaystyle (t, r, \ theta, \ varphi) \ rightarrow (t \ mp r ^ {* }, r, \ theta, \ varphi)}$ gdzie ${\ displaystyle r ^ {*}}$ jest współrzędną żółwia , upraszcza się to do ${\ Displaystyle l ^ {\ mu} \ częściowe _ {\ mu} = \ częściowe _ {r}}$ .

Zlinearyzowana grawitacja

Dain i Moreschi wykazali, że odpowiednie twierdzenie nie będzie obowiązywać w zlinearyzowanej grawitacji , to znaczy, biorąc pod uwagę rozwiązanie zlinearyzowanych równań pola Einsteina dopuszczających zerową kongruencję bez ścinania, to rozwiązanie to nie musi być algebraicznie szczególne.

Zobacz też