Twierdzenie Haaga

Pracując nad fizyką matematyczną interakcyjnej, relatywistycznej , kwantowej teorii pola , Rudolf Haag rozwinął argument przeciwko istnieniu obrazu interakcji , co jest obecnie powszechnie znane jako twierdzenie Haaga . Oryginalny dowód Haaga opierał się na specyficznej formie powszechnych wówczas teorii pola, ale później został uogólniony przez wielu autorów, zwłaszcza Halla i Wightmana , którzy doszli do wniosku, że nie ma jednej, uniwersalnej przestrzeni Hilberta reprezentacja może opisywać zarówno pola swobodne, jak i pola oddziałujące. Uogólnienie dokonane przez Reeda i Simona pokazuje, że dotyczy to swobodnych neutralnych pól skalarnych o różnych masach, co oznacza, że obraz interakcji jest zawsze niespójny, nawet w przypadku swobodnego pola.

Wstęp

Tradycyjnie opisanie kwantowej teorii pola wymaga opisu zbioru operatorów spełniających kanoniczne relacje (anty)komutacyjne oraz przestrzeni Hilberta, na której te operatory działają. Równoważnie należy podać reprezentację algebry swobodnej na tych operatorach, modulo kanonicznych relacji komutacyjnych ( algebra CCR/CAR ); w tej drugiej perspektywie podstawowa algebra operatorów jest taka sama, ale różne teorie pola odpowiadają różnym (tj. jednostkowo nierównoważnym ) reprezentacjom.

Z filozoficznego punktu widzenia działanie algebry CCR powinno być nieredukowalne , w przeciwnym razie teorię można by zapisać jako połączone efekty dwóch oddzielnych pól. Zasada ta implikuje istnienie cyklicznego stanu próżni . Co ważne, próżnia jednoznacznie określa reprezentację algebry, ponieważ jest cykliczna.

Powszechne są dwie różne specyfikacje próżni: wektor własny minimalnej energii hamiltonianu pola lub stan anihilowany przez operatora liczbowego $a † a$ . Kiedy te specyfikacje opisują różne wektory, mówi się, że próżnia polaryzuje , po fizycznej interpretacji w przypadku elektrodynamiki kwantowej .

Wynik Haaga wyjaśnia, że ta sama kwantowa teoria pola musi traktować próżnię zupełnie inaczej podczas interakcji z próżnią.

Opis formalny

W swojej nowoczesnej formie twierdzenie Haaga składa się z dwóch części:

Jeśli pole kwantowe jest swobodne i niezmienne euklidesowo w wymiarach przestrzennych, to próżnia tego pola nie polaryzuje.
Jeśli dwa pola kwantowe niezmienne Poincarégo dzielą tę samą próżnię, to ich pierwsze cztery funkcje Wightmana pokrywają się. Co więcej, jeśli jedno takie pole jest wolne, to drugie również musi być polem swobodnym o tej samej masie .

Ten stan rzeczy jest jaskrawym przeciwieństwem zwykłej nierelatywistycznej mechaniki kwantowej , w której zawsze istnieje jednolita równoważność między reprezentacjami swobodnymi i oddziałującymi. Fakt ten jest wykorzystywany do konstruowania obrazu interakcji , w którym operatory ewoluują za pomocą reprezentacji pola swobodnego, podczas gdy stany ewoluują za pomocą reprezentacji pola interakcji. W formalizmie kwantowej teorii pola (QFT) taki obraz na ogół nie istnieje, ponieważ te dwie reprezentacje są jednostkowo nierównoważne. W ten sposób kwantowy teoretyk pola ma do czynienia z tzw problem z wyborem : należy wybrać „właściwą” reprezentację spośród nieprzeliczalnie nieskończonego zbioru reprezentacji, które nie są równoważne.

Fizyczny / heurystyczny punkt widzenia

Jak zauważył już Haag w swojej oryginalnej pracy, to właśnie polaryzacja próżni leży u podstaw twierdzenia Haaga. Każde oddziałujące pole kwantowe (w tym nieoddziałujące pola o różnych masach) polaryzuje próżnię, w wyniku czego jej stan próżni znajduje się w zrenormalizowanej przestrzeni Hilberta ${\ Displaystyle \; H _ {\ text {renorm}} \;} która różni$ $się$ od przestrzeni Hilberta . Chociaż izomorfizm zawsze można znaleźć, że odwzorowuje jedną przestrzeń Hilberta na drugą, z twierdzenia Haaga wynika, że żadne takie odwzorowanie nie może dostarczyć unitarnie równoważnych reprezentacji odpowiednich kanonicznych relacji komutacji , tj. jednoznacznych wyników fizycznych.

Obejścia

Wśród założeń, które prowadzą do twierdzenia Haaga, jest niezmienność translacji systemu. W konsekwencji systemy, które można ustawić wewnątrz pudełka z okresowymi warunkami brzegowymi lub które oddziałują z odpowiednimi potencjałami zewnętrznymi, wymykają się wnioskom z twierdzenia.

Haag (1958) i Ruelle (1962) przedstawili teorię rozpraszania Haaga-Ruelle'a , która zajmuje się asymptotycznymi stanami swobodnymi i tym samym służy do sformalizowania niektórych założeń potrzebnych do formuły redukcji LSZ . Technik tych nie można jednak zastosować do cząstek bezmasowych i wiążą się one z nierozwiązanymi problemami ze stanami związanymi.

Sprzeczne reakcje teoretyków pola kwantowego

Podczas gdy niektórzy fizycy i filozofowie fizyki wielokrotnie podkreślali, jak poważnie twierdzenie Haaga wstrząsa podstawami QFT , większość praktykujących kwantowych teoretyków pola po prostu odrzuca ten problem. Większość tekstów z kwantowej teorii pola nastawionych na praktyczne zrozumienie Modelu Standardowego oddziaływań cząstek elementarnych nawet o tym nie wspomina, domyślnie zakładając, że można znaleźć jakiś rygorystyczny zestaw definicji i procedur, aby utwierdzić potężne i dobrze potwierdzone wyniki heurystyczne, na których się opierają .

Na przykład struktura asymptotyczna (por. dżety QCD ) jest specyficznym obliczeniem, które jest silnie zgodne z doświadczeniem, ale mimo to powinna zawieść z powodu twierdzenia Haaga. Ogólne wrażenie jest takie, że nie jest to kalkulacja, na którą się natknięto, ale raczej ucieleśnia fizyczną prawdę. Praktyczne obliczenia i narzędzia są motywowane i uzasadnione odwołaniem się do wielkiego matematycznego formalizmu zwanego QFT . Twierdzenie Haaga sugeruje, że formalizm nie jest dobrze uzasadniony, ale praktyczne obliczenia są na tyle odległe od uogólnionego formalizmu, że wszelkie jego słabości nie wpływają (ani nie unieważniają) praktycznych wyników.

Jak zauważył Teller (1997):

Wszyscy muszą się zgodzić, że jako część matematyki twierdzenie Haaga jest ważnym wynikiem, który przynajmniej wydaje się kwestionować matematyczne podstawy oddziaływającej kwantowej teorii pola, i jednocześnie zgodzić się, że teoria ta okazała się zdumiewająco skuteczna w zastosowaniu do wyników eksperymentów .

Lupher (2005) zasugerował, że szeroki zakres sprzecznych reakcji na twierdzenie Haaga może być częściowo spowodowany faktem, że to samo istnieje w różnych sformułowaniach, które z kolei zostały udowodnione w ramach różnych sformułowań QFT, takich jak podejście aksjomatyczne Wightmana lub wzór LSZ . Według Lufera,

Nieliczni, którzy o tym wspominają, uważają to za coś ważnego, co ktoś (inny) powinien dokładnie zbadać.

Sklar (2000) dalej wskazał:

W teorii mogą występować problemy pojęciowe, które wydają się być wynikiem artefaktów matematycznych. Wydaje się teoretykowi, że nie są to fundamentalne problemy zakorzenione w jakimś głębokim fizycznym błędzie w teorii, ale raczej konsekwencja jakiegoś nieszczęścia w sposobie, w jaki teoria została wyrażona. Twierdzenie Haaga jest być może tego rodzaju trudnością.

Wallace (2011) porównał zalety konwencjonalnej QFT z zaletami algebraicznej kwantowej teorii pola (AQFT) i zauważył, że

... algebraiczna kwantowa teoria pola ma jednostkowo nierównoważne reprezentacje nawet w obszarach skończonych przestrzennie, ale ten brak jednostkowej równoważności przejawia się tylko w odniesieniu do wartości oczekiwanych w dowolnych małych obszarach czasoprzestrzeni i są to dokładnie te wartości oczekiwane, które nie przekazują rzeczywistych informacje o świecie.

Uzasadnia to ostatnie twierdzenie spostrzeżeniami uzyskanymi ze współczesnej teorii grup renormalizacji, a mianowicie faktem, że

... możemy wchłonąć całą naszą ignorancję na temat tego, w jaki sposób odcięcie [tj. odcięcie krótkiego zasięgu wymagane do przeprowadzenia procedury renormalizacji] jest realizowane w wartościach skończenie wielu współczynników, które można zmierzyć empirycznie.

Jeśli chodzi o konsekwencje twierdzenia Haaga, obserwacja Wallace'a sugeruje, że ponieważ QFT nie próbuje przewidzieć podstawowych parametrów, takich jak masy cząstek lub stałe sprzężenia, potencjalnie szkodliwe efekty wynikające z unitarnie nierównoważnych reprezentacji pozostają wchłonięte wewnątrz wartości empirycznych, które wynikają z pomiarów te parametry (w danej skali długości) i które są łatwo importowane do QFT . W praktyce pozostają więc niewidoczne dla kwantowych teoretyków pola.

Dalsza lektura

Fraser, Doreen (2006). Twierdzenie Haaga i interpretacja kwantowych teorii pola z interakcjami (praca doktorska). Uniwersytet w Pittsburghu .
Arageorgis, A. (1995). Pola, cząstki i krzywizna: podstawy i filozoficzne aspekty kwantowej teorii pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni (praca doktorska). Uniwersytet w Pittsburghu .