Twierdzenie Kaplansky'ego o gęstości

W teorii algebr von Neumanna twierdzenie Kaplansky'ego o gęstości , ze względu na Irvinga Kaplansky'ego , jest fundamentalnym twierdzeniem o przybliżeniu. Znaczenie i wszechobecność tego narzędzia technicznego skłoniło Gerta Pedersena do skomentowania w jednej ze swoich książek, że:

Twierdzenie o gęstości jest wielkim darem Kaplansky'ego dla ludzkości. Można go używać codziennie, aw niedziele dwa razy.

Oświadczenie formalne

Niech K ⁻ oznacza domknięcie silnego operatora zbioru K w B(H) , zbiór operatorów ograniczonych w przestrzeni Hilberta H , i niech ( K ) ₁ oznacza przecięcie K z kulą jednostkową B(H) .

Twierdzenie Kaplansky'ego o gęstości . Jeśli jest algebrą samosprzężoną operatorów w ${\ Displaystyle B (H)}$$, to$$\ Displaystyle A}$ element w kuli jednostkowej zamknięcia ${\ displaystyle A}$ z silnym operatorem ZA znajduje się w zamknięciu silnego operatora kuli jednostkowej ${\ displaystyle A}$ . Innymi słowy, ${\ Displaystyle (A) _ {1} ^ {-} = (A ^ {-}) _ {1}}$ . Jeśli $jest$ operatorem samosprzężonym w ${\ Displaystyle (A ^ {-}) _ {1}}$$jest$ w zamknięciu silnego operatora zbiór operatorów samosprzężonych w ${\ Displaystyle (A) _ {1}}$ .

Twierdzenie Kaplansky'ego o gęstości można wykorzystać do sformułowania pewnych przybliżeń w odniesieniu do topologii silnego operatora .

1) Jeśli h jest operatorem dodatnim w ( A ⁻ ) ₁ , to h należy do domknięcia operatora silnego zbioru operatorów samosprzężonych w ( A ⁺ ) ₁ , gdzie A ⁺ oznacza zbiór operatorów dodatnich w A .

2) Jeśli A jest C*-algebrą działającą na przestrzeni Hilberta H i u jest operatorem unitarnym w A ^- , to u jest w domknięciu operatora silnego zbioru operatorów unitarnych w A .

0 W twierdzeniu o gęstości i 1) powyżej, wyniki są również ważne, jeśli weźmie się pod uwagę kulę o promieniu r > , zamiast kuli jednostkowej.

Dowód

f o wartościach rzeczywistych jest ciągła z silnym operatorem. Innymi słowy, dla sieci { a _α } samosprzężonych operatorów w A , ciągły rachunek funkcjonalny a → f ( a ) spełnia,

${\ Displaystyle \ lim f (a_ {\ alfa}) = f (\ lim a_ {\ alfa})}$

0 w silnej topologii operatora . Pokazuje to, że samosprzężona część kuli jednostkowej w A ⁻ może być silnie aproksymowana przez elementy samosprzężone w A . Obliczenia macierzowe w M ₂ ( A ) uwzględniające operator samosprzężony z wpisami na przekątnej oraz a i a ^* na innych pozycjach, następnie usuwają ograniczenie samosprzężenia i dowodzą twierdzenia.

Zobacz też

• Twierdzenie o gęstości Jacobsona

Notatki

•   Kadison, Richard , Podstawy teorii algebr operatorów, tom. I: Elementary Theory , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0821808191 .
• VFR Jonesa von Neumanna ; niekompletne notatki z kursu.
•   M. Takesaki Teoria algebr operatorów I ISBN 3-540-42248-X