Wielościan Goldberga

Dwudziestościenny wielościan Goldberga z pięciokątami w kolorze czerwonym
$GP(1,4) = {5+,3} 1,4$	$GP(4,4) = {5+,3} 4,4$
$GP(7,0) = {5+,3} 7,0$	$GP(3,5) = {5+,3} 3,5$
$GP(10,0) = {5+,3} 10,0$ Równoboczny i sferyczny

W matematyce , a dokładniej w kombinatoryce wielościennej , wielościan Goldberga jest wypukłym wielościanem złożonym z sześciokątów i pięciokątów . Zostały one po raz pierwszy opisane w 1937 roku przez Michaela Goldberga (1902–1990). Są one zdefiniowane przez trzy właściwości: każda ściana jest albo pięciokątem, albo sześciokątem, dokładnie trzy ściany spotykają się w każdym wierzchołku i mają obrotową symetrię dwudziestościanu . Niekoniecznie są lustrzanie symetryczne ; np $GP(5,3)$ i $GP(3,5)$ są swoimi enancjomorfami . Wielościan Goldberga to podwójny wielościan sfery geodezyjnej .

Konsekwencją wzoru wielościanu Eulera jest to, że wielościan Goldberga ma zawsze dokładnie dwanaście pięciokątnych ścian. Dwudziestościan zapewnia, że pięciokąty są zawsze regularne i zawsze jest ich 12. Jeśli wierzchołki nie są ograniczone do kuli, wielościan można zbudować z płaskimi równobocznymi (ale nie na ogół równokątnymi) ścianami.

Proste przykłady wielościanów Goldberga obejmują dwunastościan i dwudziestościan ścięty . Inne formy można opisać, wykonując skoczka szachowego od jednego pięciokąta do drugiego: najpierw wykonaj $m$ kroków w jednym kierunku, następnie skręć o 60° w lewo i wykonaj $n$ kroków. Taki wielościan jest oznaczany jako $GP(m, n).$ Dwunastościan to $GP(1,0)$ , a dwudziestościan ścięty to $GP(1,1).$

Podobną technikę można zastosować do konstruowania wielościanów o symetrii czworościennej i symetrii ośmiościennej . Te wielościany będą miały raczej trójkąty lub kwadraty niż pięciokąty. Odmianom tym podano rzymskie indeksy dolne oznaczające liczbę boków na niesześciokątnych ścianach: $GP III (n, m),$ $GP IV (n, m)$ i $GP V (n, m).$

Elementy

Liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian GP ( m , n ) można obliczyć z m i n , gdzie T = m ² + mn + n ² = ( m + n ) ² − mn , w zależności od jednej z trzech symetrii systemy: Liczbę niesześciokątnych ścian można określić za pomocą charakterystyki Eulera, jak pokazano tutaj .

Symetria	dwudziestościenny	ośmiościenny	czworościenny
Baza	Dwunastościan GP _V (1,0) = {5+,3} _1,0	Sześcian GP _IV (1,0) = {4+,3} _1,0	Czworościan GP _III (1,0) = {3+,3} _1,0
Obraz
Symbol	GP _V ( m , n ) = {5+,3} _{m , n}	GP _IV ( m , n ) = {4+,3} _{m , n}	GP _III ( m , n ) = {3+,3} _{m , n}
Wierzchołki	${\ displaystyle 20T}$	${\ Displaystyle 8T}$	${\ displaystyle 4T}$
Krawędzie	${\ Displaystyle 30T}$	${\ displaystyle 12T}$	${\ Displaystyle 6 T}$
Twarze	${\ Displaystyle 10 T + 2}$	${\ Displaystyle 4T + 2}$	${\ Displaystyle 2T + 2}$
Twarze według typu	12 {5} i 10 ( T - 1) {6}	6 {4} i 4 ( T - 1) {6}	4 {3} i 2 ( T - 1) {6}

Budowa

Większość wielościanów Goldberga można skonstruować przy użyciu notacji wielościanów Conwaya, zaczynając od nasion (T) etraedru, (C) ube i (D) dwudziestościanu. Operator fazowania , c , zastępuje wszystkie krawędzie sześciokątami, przekształcając GP ( m , n ) w GP (2 m ,2 n ), z mnożnikiem T równym 4. Obcięty operator kis , y = tk , generuje GP (3, 0), transformacja GP ( m , n ) do GP (3 m ,3 n ), z mnożnikiem T równym 9.

W przypadku formularzy klasy 2 podwójny operator kis , z = dk , przekształca GP ( a , 0) w GP ( a , a ), z mnożnikiem T równym 3. W przypadku formularzy klasy 3 operator wirowania w generuje GP ( 2,1), z mnożnikiem T równym 7. Generator wiru zgodny z ruchem wskazówek zegara i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, w w = wrw generuje GP (7,0) w klasie 1. Generalnie wir może przekształcić GP( a , b ) w GP( a + 3 b ,2 ab ) dla a > b i tego samego kierunku chiralności. Jeśli kierunki chiralne są odwrócone, GP( a , b ) staje się GP(2 a + 3 b , a - 2 b ) jeśli a ≥ 2 b , a GP(3 a + b ,2 b - a ) jeśli za < 2 b .

Przykłady

Wielościany klasy I
Częstotliwość	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	( m , 0)
T	1	4	9	16	25	36	49	64	m ²
Dwudziestościan (Goldberg)	regularny dwunastościan	dwunastościan ścięty							więcej
ośmiościenny	sześcian	sfazowany sześcian							więcej
czworościenny	czworościan	sfazowany czworościan							więcej

Wielościany klasy II
Częstotliwość	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	( m , m )
T	3	12	27	48	75	108	147	192	3m2 _ ^_
Dwudziestościan (Goldberg)	dwudziestościan ścięty								więcej
ośmiościenny	ścięty ośmiościan								więcej
czworościenny	ścięty czworościan								więcej