szereg Hahna

W matematyce szeregi Hahna (czasami znane również jako szeregi Hahna – Mal'ceva – Neumanna ) są rodzajem formalnych szeregów nieskończonych . Są uogólnieniem szeregu Puiseux (same uogólnieniem formalnych szeregów potęgowych ) i zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Hansa Hahna w 1907 r. (A następnie uogólnione przez Anatolija Maltseva i Bernharda Neumanna do ustawienia nieprzemiennego). Pozwalają na dowolne wykładniki nieokreślonego o ile obsługujący je zbiór tworzy $)$ uporządkowany $.$ grupy wartości ( zwykle lub Szeregi Hahna zostały po raz pierwszy wprowadzone, jako grupy, w trakcie dowodu twierdzenia Hahna o osadzeniu , a następnie zbadane przez niego w odniesieniu do drugiego problemu Hilberta .

Sformułowanie

Pole serii Hahna ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo]}$$($ w nieokreślonym nad polem ${\ Displaystyle K}$ iz grupą wartości (grupa uporządkowana) to zbiór formalnych wyrażeń postaci ${\ Displaystyle \ Gamma}$

$\ Displaystyle f = \ suma _ {e \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}$

do ${\ Displaystyle c_ {e} \ w K} tak$$f: = \ {e \ in \Gamma :c_{e}\neq 0\}}$ że wsparcie z f jest dobrze uporządkowane . Suma i iloczyn

$\ Displaystyle f = \ suma _ {e \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}$ i ${\ Displaystyle g =\suma _{e\w \Gamma}d_{e}T^{e}}$

są podane przez

${\ Displaystyle f + g = \ suma _ {e \ in \ Gamma} (c_ {e} + d_ {e}) T ^ {e} }$

I

${\ Displaystyle fg = \ suma _ {e \ in \ Gamma} \ suma _ {e '+ e'' =$

(w tym ostatnim suma $')}$ wartościami $\ suma _ {e'+e$$\$ takie, że do ${\ Displaystyle c_ {e'} \ neq 0}$ , $\ Displaystyle d_ {e''} \ neq 0$ i $skończony,$ ponieważ dobrze uporządkowany zbiór nie może zawierać nieskończonej sekwencji malejącej).

Na przykład ${\ Displaystyle T ^ {-1/p} + T ^ {-1/p ^ {2}} + T ^{-1/p^{3}}+\cdots }$ jest szeregiem Hahna (po dowolnym ciele), ponieważ zbiór wymiernych

${\ Displaystyle \ lewo \ {- {\ Frac {1} {p}}, - {\ Frac {1} {p ^ {2}} },-{\frac {1}{p^{3}}},\ldots \right\}}$

jest dobrze uporządkowany; nie jest to szereg Puiseux , ponieważ mianowniki w wykładnikach są nieograniczone. $K$ jeśli pole podstawowe ma charakterystykę p , ${\ Displaystyle K (T)}$ ten szereg Hahna spełnia równanie, nad .)

Nieruchomości

Właściwości wartościowanego pola

Wycena $_$ _

$\ Displaystyle f = \ suma _ {e \ in \ Gamma} c_ {e} T ^ {e}}$

jest zdefiniowany jako najmniejszy taki, że (innymi słowy $\ Displaystyle e \ in \ Gamma}$ najmniejszy element wsparcia mi $}$$c_ {e} \ neq 0}$$Displaystyle$ ): to sprawia, że ​​​​jest to sferycznie kompletne pole o wartościach z grupą wartości $] ] { \ Displaystyle$ polem pozostałości $\ Gamma}]]$ ${\ displaystyle K}$ (uzasadniając a posteriori terminologię). W rzeczywistości, jeśli $zero$ , to $]], v)}$ jest do (nie -unique) izomorfizm jedyne sferycznie kompletne pole o wartościach z polem pozostałości $Displaystyle$ grupą wartości $\ Gamma}$ . Wycena definiuje topologię na ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawej] \ prawej$$[$ . Jeśli ${R}}$$bezwzględnej$ , to odpowiada ultrametrycznej wartości ${\ Displaystyle | f | = \ exp (-v (f))}$ , w odniesieniu do którego ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ po prawej]}$ to pełna przestrzeń metryczna . Jednak w przeciwieństwie do formalnych szeregów Laurenta czy Puiseux sumy formalne użyte do określenia elementów ciała nie są zbieżne: w przypadku $_$ _ na przykład wartości bezwzględne terminów mają tendencję do 1 (ponieważ ich wyceny mają tendencję do 0), więc szereg nie jest zbieżny (takie szeregi są czasami nazywane „pseudozbieżnymi”).

Właściwości algebraiczne

Jeśli jest algebraicznie domknięty $($ ale niekoniecznie charakterystycznego zera) i $jest$$[T ^ { \Gamma }\right]\right]}$ ] ] { jest algebraicznie domknięty. Zatem algebraiczne domknięcie K. $\ Displaystyle K ((T))}$ jest zawarte w ${\ Displaystyle {\ overline {K}} [[T ^ {\ mathbb {Q}}]]}$ , gdzie jest algebraicznym zamknięciem ${\ Displaystyle {\ overline {K}}}$${\ displaystyle K}$ (kiedy ma charakterystyczne $zero$ , jest to dokładnie pole szeregu Puiseux ): w rzeczywistości możliwe jest podanie nieco analogicznego algebraicznego domknięcia ${\ Displaystyle K ((T))}$ w charakterystyce dodatniej jako podzbiór ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo]}$ .

Jeśli jest polem uporządkowanym , to $[$${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo]}$${\ displaystyle T} nieskończenie$ uporządkowane przez wykonanie nieokreślonego $jakikolwiek$ dodatni element ) lub równoważnie, stosując porządek leksykograficzny na współczynnikach szeregu. Jeśli $_$ _ $\ Displaystyle \$$sama$ jest podzielna , . Fakt ten można wykorzystać do analizy (a nawet skonstruowania) ciała liczb surrealistycznych (które jest izomorficzne, jako ciało uporządkowane, z ciałem szeregu Hahna ze współczynnikami rzeczywistymi i grupami wartości samych liczb surrealistycznych).

Jeśli κ jest nieskończoną regularną liczbą kardynalną $zestaw$ podzbiór z serii, $\ Displaystyle \ {e \ in \ Gamma: c_ {e} \ neq 0 \}}$ ma liczność (ściśle) mniejszą niż κ : okazuje się, że jest to również pole o takich samych właściwościach domknięcia algebraicznego jak pełne ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo] }$$podzielny$ np. jest algebraicznie domknięty lub rzeczywiście domknięty, gdy $.$ jest i jest

Sumowalne rodziny

Sumowalne rodziny

Pojęcie sumowalnych rodzin można zdefiniować w ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawej] \ prawej]}$ . ja $\ displaystyle I}$ jest zbiorem i ${\ displaystyle (f_ {i}) _ {i \ in ja}}$ jest rodziną serii Hahna ${\ Displaystyle f_ {i} \ w K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo]}$ , wtedy mówimy, że ${\ Displaystyle (f_ {i}) _ {i \ in ja}}$ jest sumowalny, jeśli zbiór jest sumowalny, jeśli zbiór jest sumowalny, jeśli zbiór jest sumowalny ${\ displaystyle \ bigcup \ granice _{i\in I}\operatorname {supp} f_{i}\subset \Gamma }$ jest dobrze uporządkowany i każdy zbiór ${\ Displaystyle \ {i \ in I \ mid e \ in \ operatorname {supp} f_ {i} \}}$ dla ${\ Displaystyle e \ in \ Gamma}$ jest skończony.

Możemy wtedy zdefiniować sumę jako szereg Hahna ${\ Displaystyle \ sum \ limits _ {i \ in I} f_ {i}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} f_ {i}: = \ suma \ ograniczenia _ {e \ w \ Gamma} {\ bigg (} \ suma _ {i \ w I} f_ {i} (e ){\bigg )}T^{e}.}$

Jeśli ${\ Displaystyle (f_ {i}) _ {i \ w ja}, (g_ {i}) _ {i \ w ja}} są$ sumowalne, więc rodziny ${\ Displaystyle (f_ {i} + g_ {i}) _ {i \ w I}, (f_ {i} g_ {j}) _ {(i, j) \ w I \ razy I}} i$ my Posiadać

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ in I} f_ {i} + g_ {i} = \ suma _ {i \in I}f_{i}+\suma _{i\in I}g_{i}}$

I

${\ Displaystyle \ suma _ {(i, j) \ w I \ razy ja} f_ {i} g_ {j} = {\ bigg (} \ suma _ {i \ w ja} f_ {i} {\ bigg) }\!{\bigg (}\sum _{i\in I}g_{i}{\bigg)}.}$

To pojęcie sumowalnej rodziny nie odpowiada pojęciu zbieżności w topologii wyceny na ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo]$ } Na przykład w ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ lewo [\ lewo [T ^ {\ mathbb {Q}} \ prawo] \ prawo]}$ rodzina ${\ Displaystyle (T ^ {\ Frac {n} {n + 1}} + T ^ {n + 1}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} jest sumowalny, ale$ sekwencja ${\ Displaystyle {\ duży (} \ suma \ ograniczenia _ {k \ równoważnik n} T ^ {\ Frac {k} {k + 1}} + T ^ {k+1}{\big )}_{n\in \mathbb {N} }}$ nie jest zbieżny.

Ocena funkcji analitycznych

Niech ${R}}$ \ Displaystyle a \ in \ $,$ < i niech oznacza funkcji o wartościach rzeczywistych które są analityczne w sąsiedztwie za $\ displaystyle a}$ .

Jeśli zawiera ${\ Displaystyle$$Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a}$$mathbb {R}}$ , to możemy ocenić każdy element ${\$ za w każdy element postaci ${\ Displaystyle K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawej] \ prawej]}$ postaci , gdzie wycena K. ${\ Displaystyle a+ \ varepsilon}$ ε {\ $\ varepsilon}$ jest ściśle dodatni. Rzeczywiście, rodzina ${\ Displaystyle {\ bigg (} {\ Frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} \ varepsilon ^{n}{\bigg )}_{\!n\in \mathbb {N} }}$ jest zawsze sumowalne, więc możemy zdefiniować ${\ Displaystyle f (a + \ varepsilon): = \ suma \ limity _ {n \ w \ mathbb {N}} {\ Frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} \ varepsilon ^ {n.}}$ . To definiuje homomorfizm pierścienia ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} _ {a} \ longrightarrow K \ lewo [\ lewo [T ^ {\ Gamma} \ prawo] \ prawo$ .

szereg Hahna-Witta

Konstrukcję szeregu Hahna można łączyć z wektorami Witta (przynajmniej nad doskonałym polem ), aby utworzyć skręcony szereg Hahna lub szereg Hahna – Witta : na przykład nad skończonym polem K o charakterystyce p (lub ich algebraicznym zamknięciu), pole szeregu Hahna–Witta z grupą wartości Γ (zawierającą liczby całkowite ) byłby zbiorem sum formalnych $Displaystyle c_ {e}}$$^ {e}}$ gdzie teraz są przedstawicielami Teichmüllera (elementów K ), które mnożone i dodawane do mi {\ w taki sam sposób, jak w przypadku zwykłych wektorów Witta (co otrzymujemy, gdy Γ jest grupą liczb całkowitych). Kiedy Γ jest grupą liczb wymiernych lub rzeczywistych, a K jest algebraicznym domknięciem ciała skończonego p elementami, ta konstrukcja daje (ultra) metrycznie kompletne algebraicznie domknięte ciało zawierające p -adics , $stąd mniej lub bardziej wyraźny$ pola lub jego sferycznego zakończenia

Przykłady

• Pole $formalnego$ Laurenta nad jako $]$$mathbb {Z} }]]}$ { $[T ^$ .
• Ciało liczb surrealistycznych można traktować jako ciało szeregu Hahna o rzeczywistych współczynnikach i grupowaniu wartości samych liczb surrealistycznych.
• Levi -Civita można traktować jako podpole R $\ Displaystyle \ mathbb {R} [[T ^ {\ mathbb {Q}}]]}$ z dodatkowym nałożeniem, że współczynniki będą zbiór lewostronnie $skończony$ : zbiór współczynników mniejszych niż dany współczynnik .
• Pole transserii jest ukierunkowanym połączeniem pól Hahna (i $jest$ pola Levi-Civita). Konstrukcja ${\ Displaystyle T_ {n + 1} = \ mathbb {R} \ lewo [\ lewo [\ varepsilon ^ {T_ {n}} \ prawo] \ prawo]}$ (ale nie jest dosłownie) $}$${\ Displaystyle T_ {0} = \ mathbb {R}$ , .

Zobacz też

• Racjonalne serie

Notatki

• Hahn, Hans (1907), „über   Nichtarchimedischen größensysteMe”, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akadie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - NatuRWissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) , 116 : 601–655, Jfm 38.0501 Die . Hans (1995), Gesammelte Abhandlungen I , Springer-Verlag )
•   MacLane, Saunders (1939), „Uniwersalność pól formalnych szeregów potęgowych” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 45 : 888–890, doi : 10.1090 / s0002-9904-1939-07110-3 , Zbl 0022.30401
• Kaplansky, Irving (1942), „Maksymalne pola z wycenami I” , Duke Mathematical Journal , 9 : 303–321, doi : 10.1215 / s0012-7094-42-00922-0
•    Alling, Norman L. (1987). Podstawy analizy nad surrealistycznymi polami liczbowymi . Studia Matematyczne. Tom. 141. Holandia Północna. ISBN 0-444-70226-1 . Zbl 0621.12001 .
•   Poonen, Bjorn (1993), „Maksymalnie kompletne pola”, L'Enseignement mathématique , 39 : 87–106, Zbl 0807.12006
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), „Algebraiczne zamknięcie pola szeregów potęgowych w charakterystyce dodatniej”, Proceedings of the American Mathematical Society , 129 : 3461–3470, doi : 10.1090 / S0002-9939-01-06001-4
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001), „Serie potęgowe i domknięcia algebraiczne 𝑝”, Journal of Number Theory , 89 : 324–339, arXiv : math / 9906030 , doi : 10.1006/jnth.2000.2630
• Hoeven, van der, Joris (2001), „Operatorzy na uogólnionych szeregach potęgowych”, Illinois Journal of Mathematics , 45 , doi : 10.1215/ijm/1258138061
• Neumann, Bernhard Hermann (1949), „Na zamówionych pierścieniach podziału”, Transactions of the American Mathematical Society , 66 : 202–252, doi : 10.1090 / S0002-9947-1949-0032593-5