własności Rothenberga

Skala diatoniczna z oznaczeniem wielkości kroku   Odtwórz ( pomoc · informacje )

W diatonicznej teorii mnogości , właściwość Rothenberga jest ważnym pojęciem, brakiem sprzeczności i niejednoznaczności, w ogólnej teorii skal muzycznych , którą David Rothenberg wprowadził w przełomowej serii artykułów w 1978 roku. Koncepcja została odkryta niezależnie w bardziej ograniczonym kontekście Geralda Balzano, który nazwał to koherencją .

„Rothenberg nazywa skalę„ ściśle właściwą ”, jeśli posiada ogólny porządek,„ właściwą ”, jeśli dopuszcza niejasności, ale nie zawiera sprzeczności, oraz„ niewłaściwą ”, jeśli dopuszcza sprzeczności”. Skala jest ściśle poprawna, jeśli wszystkie dwa interwały krokowe są większe niż dowolny interwał jednostopniowy, wszystkie trzy interwały krokowe są większe niż dowolny interwał dwustopniowy i tak dalej. Na przykład ze skalą diatoniczną , interwały jednostopniowe to półton (1) i ton (2), interwały dwustopniowe to tercja molowa (3) i durowa (4), interwały trzystopniowe to kwarta (5) i tryton (6), interwały czterostopniowe to kwinta (7) i tryton (6), interwały pięciostopniowe to septa mała (8) i durowa (9), a interwały sześciostopniowe to septyma mała (t) i durowa (e) . Nie jest to więc do końca właściwe, ponieważ interwały trzystopniowe i interwały czterostopniowe mają ten sam rozmiar interwału (tryton), co powoduje niejednoznaczność („dwa [określone] interwały, które brzmią tak samo, odwzorowują różne kody [ogólne interwały]”). Taka skala nazywa się po prostu „właściwą”.

Na przykład skala pentatoniczna durowa jest ściśle właściwa:

1 C 2 D 2 mi 3 G 2 A 3 C
2 C 4 mi 5 A 5 D 5 G 5 C
3 C 7 G 7 D 7 A 7 mi 8 C
4 C 9 A T G 9 mi T D T C

Skale pentatoniczne, które są właściwe, ale nie ściśle, to:

Jedna ściśle właściwa skala pentatoniczna:

  • {0,2,4,7,9} (duża pentatonika)

Skale heptatoniczne, które są właściwe, ale nie ściśle, to:

Właściwość można również uznać za skale, których stabilność = 1, ze stabilnością zdefiniowaną jako „stosunek liczby niejednoznacznych interwałów niekierowanych… do całkowitej liczby interwałów niekierowanych”, w którym to przypadku skala diatoniczna ma stabilność z 20 / 21 .

Dwunasta skala jednakowa jest ściśle właściwa, podobnie jak każda skala równotemperaturowa, ponieważ ma tylko jeden rozmiar interwału dla każdej liczby kroków. Większość skal temperowanych jest również prawidłowa. Jako inny przykład, otonalny fragment harmoniczny 5 ⁄ 4 , 6 ⁄ 4 , 7 ⁄ 4 , 8 ⁄ 4 jest ściśle właściwy, z jednostopniowymi interwałami o różnej wielkości od 8 ⁄ 7 do 5 ⁄ 4 , dwa interwały krokowe różnią się od 4 ⁄ 3 do 3 ⁄ 2 , trzy stopniowe interwały od 8 ⁄ 5 do 7 ⁄ 4 .

Rothenberg wysuwa hipotezę, że właściwe skale zapewniają punkt lub układ odniesienia, który wspomaga percepcję („stabilny gestalt ”), a sprzeczności w niewłaściwych skalach wymagają drona lub ostinato jako punktu odniesienia.

Hirajōshi na C   Play ( pomoc · informacje )

Przykładem niewłaściwej skali jest japońska skala Hirajōshi .

1 C 2 D 1 E ♭ 4 G 1 ♭ _ 4 C
2 C 3 E ♭ 5 ♭ _ 6 D 5 G 5 C
3 C 7 G 7 D 6 ♭ _ 7 E ♭ 9 C
4 C 8 ♭ _ mi G 8 E ♭ mi D T C

Jego kroki w półtonach to 2, 1, 4, 1, 4. Interwały jednostopniowe wahają się od półtonu od G do A ♭ do tercji wielkiej od A ♭ do C. Interwały dwustopniowe różnią się od tercji małej od C do E ♭ i tryton, od A ♭ do D. Tam tercja mała jako interwał dwustopniowy jest mniejsza niż tercja wielka, która występuje jako interwał jednostopniowy, tworząc sprzeczność („sprzeczność występuje… kiedy uporządkowanie dwóch określonych interwały jest przeciwieństwem uporządkowania odpowiadających im interwałów ogólnych”).

Matematyczna definicja przyzwoitości

Rothenberg zdefiniował przyzwoitość w bardzo ogólnym kontekście; jednak dla prawie wszystkich celów wystarczy rozważyć to, co w kontekstach muzycznych często nazywa się skalą okresową , chociaż w rzeczywistości odpowiadają one temu, co matematycy nazywają funkcją quasi-okresową . Są to skale, które powtarzają się w pewnym ustalonym odstępie wyżej każdej nuty w pewnym skończonym zestawie nut. Stałym interwałem jest zwykle oktawa , a więc skala składa się ze wszystkich nut należących do skończonej liczby klas wysokości . Jeśli β i oznacza element skali dla każdej liczby całkowitej i, to β i + ℘ = β i + Ω , gdzie Ω to zazwyczaj oktawa 1200 centów, chociaż może to być dowolna ustalona liczba centów; a ℘ to liczba elementów skali w okresie Ω, który jest czasami nazywany rozmiarem skali.

Dla dowolnego i można rozważyć zbiór wszystkich różnic o i krokach między elementami skali class( i ) = { β n + i − β n }. Możemy w zwykły sposób rozszerzyć uporządkowanie elementów zbioru na same zbiory, mówiąc A < B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a ∈ A i b ∈ B mamy a < b . Wtedy skala jest ściśle właściwa jeśli i < j implikuje klasę ( i ) < klasę ( j ). Właściwe jest , jeśli i ≤ j implikuje class( i ) ≤ class( j ). Ścisła przyzwoitość implikuje stosowność, ale właściwa skala nie musi być ściśle poprawna; przykładem jest skala diatoniczna w równym temperamencie , gdzie interwał trytonowy należy zarówno do klasy kwarty (jako kwarta rozszerzona ), jak i do klasy kwinty (jako kwarta rozszerzona) zmniejszona piąta ). Ścisła przyzwoitość to to samo, co spójność w rozumieniu Balzano.

Interwały ogólne i specyficzne

Klasa interwału class(i) modulo Ω zależy tylko od i modulo ℘, stąd też możemy zdefiniować wersję klasy Class( i ) dla klas skoku modulo Ω , które są nazywane interwałami ogólnymi . Określone klasy tonacji należące do klasy (i) nazywane są wówczas określonymi interwałami . Klasa unisono , Class (0), składa się wyłącznie z wielokrotności Ω i jest zwykle wykluczona z rozważań, tak że liczba ogólnych przedziałów wynosi ℘ - 1. Stąd ogólne przedziały są ponumerowane od 1 do ℘ - 1, i skala jest właściwa, jeśli dla dowolnych dwóch ogólnych przedziałów i < j implikuje klasę ( i ) < klasę ( j ). Jeśli reprezentujemy elementy klasy ( i ) za pomocą odstępów zredukowanych do przedziałów między unisono a Ω, możemy je uporządkować jak zwykle i w ten sposób zdefiniować właściwość, stwierdzając, że i < j dla klas generycznych pociąga za sobą klasę ( i ) < klasę ( j ). Ta procedura, choć znacznie bardziej zawiła niż pierwotnie podana definicja, jest tym, jak zwykle podchodzi się do tej sprawy w diatonicznej teorii mnogości .

Rozważ skalę diatoniczną (durową) we wspólnym 12-tonowym równym temperamencie, który jest zgodny ze wzorem (w półtonach) 2-2-1-2-2-2-1. Żaden interwał w tej skali, obejmujący dowolną liczbę stopni skali, nie jest węższy (składający się z mniejszej liczby półtonów) niż interwał obejmujący mniej stopni skali. Na przykład w tej skali nie można znaleźć kwarty mniejszej niż tercja: najmniejsze kwarty mają szerokość pięciu półtonów, a największe tercje to cztery półtony. Dlatego skala diatoniczna jest właściwa. Istnieje jednak interwał, który zawiera taką samą liczbę półtonów, jak interwał obejmujący mniej stopni skali: kwarta zwiększona (FGAB) i kwinta zmniejszona (BCDEF) mają szerokość sześciu półtonów. Dlatego skala diatoniczna jest właściwa, ale nie do końca właściwa.

Z drugiej strony rozważmy zagadkową skalę , która jest zgodna ze wzorem 1-3-2-2-2-1-1. W tej skali można znaleźć interwały węższe niż inne interwały w skali obejmujące mniej stopni skali: na przykład czwarty zbudowany na 6. stopniu skali ma szerokość trzech półtonów, a trzeci zbudowany na 2. stopniu skali ma pięć szerokości półtonów. Dlatego enigmatyczna skala nie jest właściwa.

Teoria skali diatonicznej

Balzano przedstawił pomysł próby scharakteryzowania skali diatonicznej pod względem przyzwoitości. Nie ma ściśle właściwych skal siedmiodźwiękowych w 12 jednakowym temperamencie ; istnieje jednak pięć właściwych skal, z których jedna to skala diatoniczna. Tutaj transpozycja i mody nie są liczone oddzielnie, więc skala diatoniczna obejmuje zarówno skalę diatoniczną durową , jak i naturalną skalę molową rozpoczynającą się od dowolnej wysokości. Każda z tych skal, jeśli jest pisana poprawnie, ma wersję w dowolnym średnim tonie strojenie, a kiedy kwinta jest bardziej płaska niż 700 centów , wszystkie stają się ściśle poprawne. W szczególności pięć z siedmiu ściśle właściwych siedmiodźwiękowych skal w 19 jednakowym temperamencie jest jedną z tych skal. Pięć skal to:

W każdym systemie średniotonowym, w którym kwinty są bardziej płaskie niż 700 centów, istnieje również ściśle właściwa skala: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ (czyli skala frygijska dominująca ♭ 4 ).

Skala diatoniczna, mollowa wstępująca, mollowa harmoniczna, durowa harmoniczna i ta ostatnia nienazwana gama zawierają pełne koła trzech tercji durowych i czterech tercji mniejszych, różnie ułożonych. Skala durowa lokryjska ma koło składające się z czterech tercji wielkich i dwóch tercji małych, wraz z tercją zmniejszoną , która w temperamencie septymalnego średniego jest zbliżona do septymalnej sekundy wielkiej o stosunku 8 / 7 . Pozostałe skale to wszystkie skale z pełnym kołem trzech głównych i czterech mniejszych tercji, które od ( 5 / 4 ) 3 ( 6 ⁄ 5 ) 4 = 81 ⁄ 20 , hartowane do dwóch oktaw w średniej, wskazuje na średnią.

Pierwsze trzy skale mają podstawowe znaczenie dla muzyki powszechnej , a harmoniczna skala durowa jest często używana, a to, że skala diatoniczna nie jest wyróżniona przez przyzwoitość, jest być może mniej interesujące [ według kogo? ] niż wszystkie podstawowe skale praktyki diatonicznej.

Zobacz też

Dalsza lektura

  • Gerald J. Balzano, Teoretyczny opis grupowy 12-krotnych i mikrotonowych systemów tonacji , Computer Music Journal 4/4 (1980) 66–84
  • Gerald J. Balzano, The Pitch Set as a Level of Description for Studying Musical Pitch Perception , w Music, Mind, and Brain, Manfred Clynes, red., Plenum Press, 1982
  • David Rothenberg, A Model for Pattern Perception with Musical Applications Part I: Pitch Structures as order-preserving maps , Mathematical Systems Theory 11 (1978) 199–234 [1]
Pobrane z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rothenberg_propriety&oldid=1075750366 ”