Grupa

W matematyce , w obszarze algebry abstrakcyjnej zwanej teorią grup , grupa A jest rodzajem grupy, która jest podobna do grup abelowych . Grupy zostały po raz pierwszy zbadane w latach czterdziestych XX wieku przez Philipa Halla i nadal są badane. Wiele wiadomo o ich budowie.

Definicja

Grupa A jest grupą skończoną , której wszystkie podgrupy Sylowa są abelowe .

Historia

Termin grupa A został prawdopodobnie użyty po raz pierwszy w ( Hall 1940 , rozdz. 9), gdzie uwagę ograniczono do rozpuszczalnych grup A. Prezentacja Halla była raczej krótka bez dowodów, ale jego uwagi wkrótce zostały rozszerzone o dowody w ( Taunt 1949 ). Teorię reprezentacji grup A badano w ( Itô 1952 ). Następnie Carter opublikował ważny związek między podgrupami Cartera a pracą Halla ( Carter 1962 ). Prace Halla, Taunta i Cartera zostały przedstawione w formie podręcznika w ( Huppert 1967 ). Skupienie się na rozpuszczalnych grupach A rozszerzyło się, wraz z klasyfikacją skończonych prostych grup A w ( Walter 1969 ), co pozwoliło uogólnić pracę Taunta na skończone grupy w ( Broshi 1971 ). Zainteresowanie grupami A rozszerzyło się również ze względu na ważny związek z odmianami grup omawianymi w ( Ol'šanskiĭ 1969 ). Współczesne zainteresowanie grupami A zostało odnowione, gdy nowe techniki wyliczania umożliwiły ścisłe asymptotyczne ograniczenia liczby różnych izomorfizmu grup A w ( Venkataraman 1997 ).

Nieruchomości

O grupach A można powiedzieć:

Każda podgrupa , grupa ilorazowa i bezpośredni produkt grup A są grupami A.
Każda skończona grupa abelowa jest grupą A.
Skończona grupa nilpotentna jest grupą A wtedy i tylko wtedy, gdy jest abelowa.
Grupa symetryczna w trzech punktach to grupa A, która nie jest abelowa.
Każda grupa porządku bez kostek jest grupą A.
Wyprowadzona długość grupy A może być dowolnie duża, ale nie większa niż liczba różnych pierwszych dzielników rzędu, podana w ( Hall 1940 ) i przedstawiona w formie podręcznikowej jako ( Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 14.16 ).
Dolny szereg nilpotentny pokrywa się z szeregiem pochodnym ( Hall 1940 ).
Rozpuszczalna grupa A ma unikalną podgrupę maksymalnej abelowej normalnej ( Hall 1940 ).
Dopasowana podgrupa rozwiązalnej grupy A jest równa iloczynowi bezpośredniemu środków wyrazów szeregu pochodnego , po raz pierwszy podanego w ( Hall 1940 ) , następnie udowodnionego w ( Taunt 1949 ) i przedstawionego w formie podręcznika w ( Huppert 1967 , Kap. VI, Satz 14.8).
Nieabelowa skończona prosta grupa jest grupą A wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z pierwszą grupą Janko lub z PSL(2, q ) gdzie q > 3 i albo q = 2 ⁿ albo q ≡ 3,5 mod 8 , jak pokazano w ( Walter 1969 ).
Wszystkie grupy w rozmaitości generowanej przez skończoną grupę są skończenie aproksymowalne wtedy i tylko wtedy, gdy ta grupa jest grupą A, jak pokazano w ( Ol'šanskiĭ 1969 ).
Podobnie jak grupy Z , których podgrupy Sylowa są cykliczne, grupy A mogą być łatwiejsze do zbadania niż ogólne grupy skończone ze względu na ograniczenia lokalnej struktury. Na przykład, dokładniejsze wyliczenie rozpuszczalnych grup A zostało znalezione po wyliczeniu rozpuszczalnych grup z ustalonymi, ale arbitralnymi podgrupami Sylowa ( Venkataraman 1997 ). Bardziej spokojną prezentację podano w ( Blackburn, Neumann & Venkataraman 2007 , rozdz. 12).

Blackburn, Simon R.; Neumann, Piotr M.; Venkataraman, Geetha (2007), Wyliczanie grup skończonych , Cambridge Tracts in Mathematics nr 173 (wyd. 1), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0 , OCLC 154682311
Broshi, Aviad M. (1971), „Grupy skończone, których podgrupy Sylowa są abelowe”, Journal of Algebra , 17 : 74–82, doi : 10.1016/0021-8693 (71) 90044-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0269741
Carter, Roger W. (1962), „Nilpotent self-normalizing subgroups and system normalizers”, Proceedings of the London Mathematical Society , Third Series, 12 : 535–563, doi : 10.1112/plms/s3-12.1.535 , MR 0140570
Hall, Philip (1940), „Konstrukcja rozpuszczalnych grup”, Journal für die reine und angewandte Mathematik , 182 : 206–214, ISSN 0075-4102 , MR 0002877
Huppert, B. (1967), Endliche Gruppen (w języku niemieckim), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03825-2 , MR 0224703 , OCLC 527050 , zwłaszcza Kap. VI, §14, s. 751–760
Itô, Noboru (1952), „Notatka o grupach A” , Nagoya Mathematical Journal , 4 : 79–81, doi : 10.1017 / S0027763000023023 , ISSN 0027-7630 , MR 0047656
Ol'šanskiĭ, A. Ju. (1969), „Odmiany grup skończenie przybliżonych”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (po rosyjsku), 33 (4): 915–927, Bibcode : 1969IzMat...3..867O , doi : 10.1070/IM1969v003n04ABEH000807 , ISSN 0373-2436 , MR 0258927
Taunt, DR (1949), "w grupach A", Proc. Cambridge Philos. soc. , 45 (1): 24–42, Bibcode : 1949PCPS...45...24T , doi : 10.1017/S0305004100000414 , MR 0027759
Venkataraman, Geetha (1997), „Wyliczanie skończonych rozpuszczalnych grup z abelowymi podgrupami Sylowa”, The Quarterly Journal of Mathematics , druga seria, 48 (189): 107–125, doi : 10.1093 / qmath / 48.1.107 , MR 1439702
Walter, John H. (1969), „Charakterystyka grup skończonych z abelowymi podgrupami Sylowa 2”., Annals of Mathematics , Second Series, 89 (3): 405–514, doi : 10,2307/1970648 , JSTOR 1970648 , MR 0249504