Krzywa brachistochrony

Krzywa najszybszego opadania nie jest linią prostą ani wielokątną (niebieska), ale cykloidą (czerwona).

W fizyce i matematyce krzywa brachistochrony (od starogreckiego βράχιστος χρόνος (brákhistos khrónos) „najkrótszy czas”) lub krzywa najszybszego opadania to ta leżąca na płaszczyźnie między punktem A a dolnym punktem B , gdzie B jest nie bezpośrednio pod A , po którym kulka ślizga się bez tarcia pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego do zadanego punktu końcowego w jak najkrótszym czasie. Problem ten postawił Johann Bernoulli w 1696 roku.

Krzywa brachistochrony ma taki sam kształt jak krzywa tautochrony ; oba są cykloidami . Jednak część cykloidy używana dla każdego z nich jest różna. Mówiąc dokładniej, brachistochrona może wykorzystać cały obrót cykloidy (na granicy, gdy A i B znajdują się na tym samym poziomie), ale zawsze zaczyna się od wierzchołka . Natomiast problem tautochrony można wykorzystać tylko do pierwszej połowy obrotu i zawsze kończy się on na poziomie. Problem można rozwiązać za pomocą narzędzi z rachunku wariacyjnego i sterowania optymalnego .

Krzywa jest niezależna zarówno od masy badanego ciała, jak i lokalnej siły grawitacji. Wybierany jest tylko parametr tak, aby krzywa pasowała do punktu początkowego A i punktu końcowego B . Jeśli ciało ma prędkość początkową w punkcie A lub jeśli uwzględni się tarcie, to krzywa minimalizująca czas różni się od krzywej tautochrony .

Historia

Johann Bernoulli postawił problem brachistochrony czytelnikom Acta Eruditorum w czerwcu 1696 r. Powiedział:

Ja, Johann Bernoulli, zwracam się do najwybitniejszych matematyków na świecie. Nic nie jest bardziej atrakcyjne dla inteligentnych ludzi niż uczciwy, trudny problem, którego możliwe rozwiązanie zapewni sławę i pozostanie trwałym pomnikiem. Idąc za przykładem Pascala, Fermata itp., mam nadzieję zyskać wdzięczność całej społeczności naukowej, stawiając przed najlepszymi matematykami naszych czasów problem, który przetestuje ich metody i siłę ich intelektu. Jeśli ktoś przekaże mi rozwiązanie proponowanego problemu, publicznie uznam go za godnego pochwały

Bernoulli napisał opis problemu jako:

Mając dane dwa punkty A i B na płaszczyźnie pionowej, jaka jest krzywa wyznaczona przez punkt, na który działa tylko grawitacja, który zaczyna się w A i dociera do B w najkrótszym czasie .

Johann i jego brat Jakob Bernoulli wyprowadzili to samo rozwiązanie, ale wyprowadzenie Johanna było nieprawidłowe i próbował przekazać rozwiązanie Jakoba jako własne. Johann opublikował rozwiązanie w czasopiśmie w maju następnego roku i zauważył, że rozwiązanie jest tą samą krzywą, co krzywa tautochrony Huygensa . Po wyprowadzeniu równania różniczkowego dla krzywej za pomocą metody podanej poniżej, wykazał, że daje to cykloidę. Jednak jego dowód jest zepsuty przez użycie jednej stałej zamiast trzech stałych, v _m , 2g i D , poniżej.

Bernoulli pozwolił na sześć miesięcy na rozwiązania, ale w tym okresie nie otrzymano żadnego. Na prośbę Leibniza czas został publicznie przedłużony o półtora roku. Isaac Newton wrócił do domu z Mennicy Królewskiej, znalazł wyzwanie w liście od Johanna Bernoulliego. Newton nie spał całą noc, aby go rozwiązać, i wysłał rozwiązanie anonimowo w następnym poście. Po przeczytaniu rozwiązania Bernoulli natychmiast rozpoznał jego autora, wykrzykując, że „rozpoznaje lwa po śladzie pazura”. Ta historia daje pewne wyobrażenie o potędze Newtona, ponieważ rozwiązanie jej zajęło Johannowi Bernoulliemu dwa tygodnie. Newton napisał również: „Nie lubię być ogłuszany [dręczony] i dokuczany przez obcokrajowców w sprawach matematycznych…”, a Newton rozwiązał już problem minimalnego oporu Newtona , który jest uważany za pierwszy tego rodzaju w rachunku wariacyjnym .

Ostatecznie pięciu matematyków odpowiedziało rozwiązaniami: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz , Ehrenfried Walther von Tschirnhaus i Guillaume de l'Hôpital . Cztery z rozwiązań (z wyłączeniem l'Hôpital) zostały opublikowane w tym samym wydaniu czasopisma, co Johann Bernoulli. W swoim artykule Jakob Bernoulli przedstawił dowód warunku przez co najmniej czas podobny do poniższego, zanim wykazał, że jego rozwiązaniem jest cykloida. Według Newtona, Toma Whiteside'a , próbując prześcignąć swojego brata, Jakob Bernoulli stworzył twardszą wersję problemu brachistochrony. Rozwiązując go, opracował nowe metody, które Leonhard Euler udoskonalił w coś, co ten ostatni nazwał (w 1766 r.) rachunkiem wariacyjnym . Joseph-Louis Lagrange wykonał dalsze prace, które zaowocowały współczesnym rachunkiem nieskończenie małym .

Wcześniej, w 1638 roku, Galileusz próbował rozwiązać podobny problem dla ścieżki najszybszego zejścia z punktu do ściany w swoich Dwóch nowych naukach . Wyciąga wniosek, że łuk koła jest szybszy niż dowolna liczba jego cięciw,

Z powyższego można wywnioskować, że najszybszą ze wszystkich [lationem omnium velocissimam] drogą z jednego punktu do drugiego nie jest najkrótsza droga, mianowicie linia prosta, ale łuk koła.

...

W konsekwencji, im bardziej wpisany wielokąt zbliża się do koła, tym krótszy jest czas potrzebny na zejście z A do C. To, co zostało udowodnione dla kwadrantu, jest prawdziwe również dla mniejszych łuków; uzasadnienie jest takie samo.

Tuż po Twierdzeniu 6 o Dwóch Nowych Naukach Galileusz ostrzega przed możliwymi błędami i potrzebą „wyższej nauki”. W tym dialogu Galileusz dokonuje przeglądu własnej pracy. Galileusz zbadał cykloidę i nadał jej nazwę, ale związek między nią a jego problemem musiał poczekać na postęp w matematyce.

Przypuszczenie Galileusza jest takie, że „najkrótszy ze wszystkich czas [dla ruchomego ciała] będzie jego opadaniem wzdłuż łuku ADB [ćwiartki koła], a podobne właściwości należy rozumieć jako utrzymujące się dla wszystkich mniejszych łuków wziętych w górę od najniższego granica B”.

Na ryc. 1, z „Dialogu o dwóch głównych systemach świata”, Galileusz twierdzi, że ciało poruszające się po łuku ćwiartki koła z punktu A do punktu B dotrze do punktu B w krótszym czasie, niż gdyby poruszało się jakąkolwiek inną drogą z A do B. Podobnie na ryc. 2, z dowolnego punktu D na łuku AB twierdzi, że czas wzdłuż mniejszego łuku DB będzie krótszy niż dla jakiejkolwiek innej ścieżki z D do B. W rzeczywistości najszybsza droga z A do B lub od D do B, brachistochrona, jest łukiem cykloidalnym, który pokazano na ryc. 3 dla ścieżki od A do B i ryc. 4 dla ścieżki od D do B, nałożony na odpowiedni łuk kołowy .

Rozwiązanie Johanna Bernoulliego

Wstęp

W liście do L'Hôpital (21.12.1696) Bernoulli stwierdził, że rozważając problem krzywej najszybszego opadania, już po 2 dniach zauważył ciekawe pokrewieństwo lub związek z innym, nie mniej znaczącym problemem prowadzącym do „metoda pośrednia” rozwiązania. Wkrótce potem odkrył „metodę bezpośrednią”.

Metoda bezpośrednia

W liście do Henriego Basnage'a, przechowywanym w Bibliotece Publicznej Uniwersytetu w Bazylei, datowanym na 30 marca 1697 r., Johann Bernoulli stwierdził, że znalazł dwie metody (zawsze określane jako „bezpośrednia” i „pośrednia”), aby pokazać, że brachistochrona była „pospolity cykloida”, zwany też „ruletką”. Idąc za radą Leibniza, umieścił tylko metodę pośrednią w Acta Eruditorum Lipsidae z maja 1697 r. Napisał, że było to częściowo dlatego, że uważał, że wystarczy przekonać każdego, kto wątpił w wniosek, częściowo dlatego, że rozwiązało to również dwa słynne problemy w optyce które „nieżyjący już pan Huygens” poruszył w swoim traktacie o świetle. W tym samym liście skrytykował Newtona za ukrywanie jego metody.

Oprócz swojej metody pośredniej opublikował także pięć innych odpowiedzi na problem, które otrzymał.

Bezpośrednia metoda Johanna Bernoulliego jest historycznie ważna jako dowód na to, że brachistochrona jest cykloidą. Metoda polega na wyznaczeniu krzywizny krzywej w każdym punkcie. Wszystkie inne dowody, w tym dowód Newtona (który nie został wówczas ujawniony), opierają się na znalezieniu gradientu w każdym punkcie.

W 1718 roku Bernoulli wyjaśnił, w jaki sposób rozwiązał problem brachistochrony swoją bezpośrednią metodą.

Wyjaśnił, że nie opublikował go w 1697 r., z powodów, które nie miały już zastosowania w 1718 r. Artykuł ten był w dużej mierze ignorowany aż do 1904 r., kiedy głębokość metody została po raz pierwszy doceniona przez Constantina Carathéodory'ego, który stwierdził, że pokazuje ona, że ​​cykloida jest jedyna możliwa krzywa najszybszego opadania. Według niego inne rozwiązania po prostu sugerowały, że czas opadania cykloidy jest stacjonarny, ale niekoniecznie minimalny.

Rozwiązanie analityczne

Uważa się, że ciało przesuwa się wzdłuż dowolnego małego łuku kołowego Ce między promieniami KC i Ke, ze środkiem K nieruchomym. Pierwszy etap dowodu polega na znalezieniu konkretnego łuku kołowego Mm, po którym ciało pokonuje w jak najkrótszym czasie.

Prosta KNC przecina AL w punkcie N, a prosta Kne przecina ją w punkcie n. Tworzą one mały kąt CKe w punkcie K. Niech NK = a zdefiniujemy punkt zmienny, C na rozciągniętym KN. Spośród wszystkich możliwych łuków kołowych Ce należy znaleźć łuk Mm, który wymaga minimalnego czasu przesunięcia się między dwoma promieniami, KM i Km. Aby znaleźć Mm Bernoulli argumentuje w następujący sposób.

Niech MN = x. Definiuje m tak, że MD = mx, a n tak, że Mm = nx + na i zauważa, że ​​x jest jedyną zmienną i że m jest skończone, a n jest nieskończenie małe. Mały czas na podróż wzdłuż łuku Mm to ${\ Displaystyle {\ Frac {Mm} {MD ^ {\ Frac {1} {2}} }}={\frac {n(x+a)}{(mx)^{\frac {1}{2}}}}}$ , co musi być minimum („un plus petit”). Nie wyjaśnia, że ​​ponieważ Mm jest tak mała, że ​​prędkość wzdłuż niej można założyć, że jest to prędkość w punkcie M, która jest jako pierwiastek kwadratowy z MD, pionowa odległość M poniżej linii poziomej AL.

Wynika z tego, że po zróżnicowaniu to musi dać

${\ Displaystyle {\ Frac {(xa) dx} {2x ^ {\ Frac {3} {2}}}} = 0}$ tak, że x = za.

Warunek ten określa krzywą, po której ciało ślizga się w możliwie najkrótszym czasie. Dla każdego punktu M na krzywej promień krzywizny MK jest przecięty na 2 równe części przez jego oś AL. Ta właściwość, o której Bernoulli mówi, że była znana od dawna, jest unikalna dla cykloidy.

Na koniec rozważa bardziej ogólny przypadek, w którym prędkość jest dowolną funkcją X (x), więc czas do zminimalizowania to ${\ Displaystyle {\ Frac {(x + a)}} {X}} }$ . Warunek minimalny staje się wtedy ${\ Displaystyle X = {\ Frac {(x + a) dX} {dx}}},$ który pisze jako: ${\ Displaystyle X = (x + a) \ Delta x}$ i co daje MN (= x) jako funkcję NK (= a). Z tego równanie krzywej można uzyskać z rachunku całkowego, chociaż tego nie demonstruje.

Roztwór syntetyczny

Następnie przechodzi do tego, co nazwał rozwiązaniem syntetycznym, które było klasycznym, geometrycznym dowodem na to, że istnieje tylko jedna krzywa, po której ciało może się zsunąć w minimalnym czasie, a tą krzywą jest cykloida.

Powodem syntetycznej demonstracji, na wzór starożytnych, jest przekonanie pana de la Hire. Ma mało czasu na naszą nową analizę, określając ją jako fałszywą (Twierdzi, że znalazł 3 sposoby na udowodnienie, że krzywa jest parabolą sześcienną) – List od Johana Bernoulliego do Pierre'a Varignon z dnia 27 lipca 1697.

Załóżmy, że AMmB jest częścią cykloidy łączącą A z B, po której ciało zsuwa się w najkrótszym czasie. Niech ICcJ będzie częścią innej krzywej łączącej A z B, która może być bliższa AL niż AMmB. Jeżeli łuk Mm leży naprzeciw kąta MKm w jego środku krzywizny K, niech łuk na IJ, który leży naprzeciw tego samego kąta, będzie równy Cc. Okrągły łuk przechodzący przez C ze środkiem K to Ce. Punkt D na AL znajduje się pionowo nad M. Połącz K z D, a punkt H to miejsce, w którym CG przecina KD, w razie potrzeby przedłużony.

Niech i $t będą czasami,$ których ciało spada odpowiednio wzdłuż Mm i Ce.

${\ Displaystyle \ tau \ propto {\ Frac {Mm} {MD ^ {\ Frac {1} {2}}}}}$${\ Displaystyle t \propto {\frac {Ce}{CG^{\frac {1}{2}}}}}$ t ,

${\ Displaystyle CF = {\ Frac {CH ^ {2}} {MD}}}$${\ Displaystyle { \frac {Mm}{Ce}}={\frac {MD}{CH}}}$ punktu F, gdzie do i ponieważ , wynika z tego, że

$\ Displaystyle {\ Frac {\ tau} {t}} = {\ Frac {Mm} {Ce}}. \ lewo ({\ Frac { CG}{MD}}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {CG}{CF}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Ponieważ MN = NK, dla cykloidy:

${\ Displaystyle GH = {\ Frac {MD.HD} {DK}} = {\ Frac {MD.CM} {MK}}}$ , ${\ Displaystyle CH = {\ Frac {MD.CK} {MK}} = {\ Frac {MD. (MK + CM)}} {MK}}}$ i ${\ Displaystyle CG = CH + GH = {\ Frac {MD. (MK + 2 CM)} {MK}}}$

Jeśli Ce jest bliższe K niż Mm, to wtedy

$Displaystyle CH = {\ Frac {MD. (MK-CM)}} {MK}}}$${\ Displaystyle CG = CH-GH = {\ Frac {MD. (MK-2CM)} {MK}}}$ i do

W obu przypadkach,

${\ Displaystyle CF = {\ Frac {CH ^ {2}} {MD}}> CG}$ i wynika z tego, że ${\ Displaystyle \ tau <t}$

Jeżeli łuk Cc oparty na nieskończenie małym kącie MKm na IJ nie jest kołowy, musi być większy niż Ce, ponieważ Cec staje się trójkątem prostokątnym w granicy, gdy kąt MKm zbliża się do zera.

Zauważ, że Bernoulli dowodzi, że CF > CG za pomocą podobnego, ale innego argumentu.

Z tego wnioskuje, że ciało przechodzi przez cykloidę AMB w krótszym czasie niż jakakolwiek inna krzywa ACB.

Metoda pośrednia

Zgodnie z zasadą Fermata rzeczywista droga między dwoma punktami, pokonywana przez wiązkę światła, zajmuje najmniej czasu. W 1697 roku Johann Bernoulli wykorzystał tę zasadę do wyznaczenia krzywej brachistochrony, biorąc pod uwagę trajektorię wiązki światła w ośrodku, w którym prędkość światła wzrasta po stałym przyspieszeniu pionowym (grawitacja g ).

Z zasady zachowania energii wynika , że ​​prędkość chwilowa ciała v po upadku z wysokości y w jednorodnym polu grawitacyjnym jest wyrażona wzorem:

${\ Displaystyle v = {\ sqrt {2gy}}}$ ,

Prędkość ruchu ciała wzdłuż dowolnej krzywej nie zależy od przemieszczenia poziomego.

Bernoulli zauważył, że prawo załamania daje stałą ruchu wiązki światła w ośrodku o zmiennej gęstości:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ sin {\ teta}} {v}} = {\ Frac {1} {v}} {\ Frac {dx} {ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}$ ,

gdzie v _m jest stałą i reprezentuje $.$ trajektorii względem pionu

Powyższe równania prowadzą do dwóch wniosków:

1. Na początku kąt musi wynosić zero, gdy prędkość cząstek wynosi zero. Stąd krzywa brachistochrony jest styczna do pionu w początku.
2. Prędkość osiąga maksymalną wartość, gdy trajektoria staje się pozioma, a kąt θ = 90°.

Zakładając dla uproszczenia, że ​​cząstka (lub wiązka) o współrzędnych (x,y) oddala się od punktu (0,0) i osiąga maksymalną prędkość po upadku na pionową odległość D :

${\ displaystyle v_ {m} = {\ sqrt {2gD}}}$ .

Przekształcenie terminów w prawie załamania światła i podniesieniu do kwadratu daje:

${\ Displaystyle v_ {m} ^ {2} dx ^ {2} = v ^ {2} ds ^ {2 }=v^{2}(dx^{2}+dy^{2})}$

które można rozwiązać dla dx pod względem dy :

${\ Displaystyle dx = {\ Frac {v \ dy} {\ sqrt {v_ {m} ^ {2} -v ^ {2}}}}$ }

Podstawiając z wyrażeń dla v i v _m powyżej daje:

${\ Displaystyle dx = {\ sqrt {\ Frac {y} {Dy}}} \, dy \,,}$

które jest równaniem różniczkowym odwróconej cykloidy utworzonej przez okrąg o średnicy D=2r , którego równanie parametryczne to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = r (\ varphi - \ sin \ varphi) \\ y & = r (1- \ cos \ varphi). \ koniec {wyrównane}}}$

parametrem rzeczywistym , odpowiadającym kątowi obrotu toczącego się koła. Dla danego φ środek koła leży w punkcie ( x , y ) = ( rφ , r ) .

W problemie brachistochrony ruch ciała jest określony przez ewolucję w czasie parametru:

${\ Displaystyle \ varphi (t) = \ omega t \ \ omega = {\ sqrt {\ Frac {g} {r}}}}$

gdzie t to czas od wyzwolenia ciała z punktu (0,0).

Rozwiązanie Jakoba Bernoulliego

Brat Johanna, Jakob, pokazał, w jaki sposób można wykorzystać drugą różnicę, aby uzyskać warunek w jak najkrótszym czasie. Zmodernizowana wersja dowodu jest następująca. Jeśli wykonamy pomijalne odchylenie od ścieżki o najmniejszym czasie, to dla trójkąta różniczkowego utworzonego przez przemieszczenie wzdłuż ścieżki oraz przemieszczenia poziome i pionowe,

${\ Displaystyle ds ^ {2} = dx ^ {2} + dy ^ {2}}$ .

Po zróżniczkowaniu z ustalonym dy otrzymujemy,

${\ Displaystyle 2ds \ d ^ {2} s = 2dx \ d ^ {2} x}$ .

I wreszcie przestawienie terminów daje,

${\ Displaystyle {\ Frac {dx} {ds}} d ^ {2} x = d ^ {2} s = v \ d ^ {2} T}$

gdzie ostatnia część to przemieszczenie dla danej zmiany w czasie dla 2. różniczki. Rozważmy teraz zmiany wzdłuż dwóch sąsiednich ścieżek na poniższym rysunku, dla których pozioma separacja między ścieżkami wzdłuż linii środkowej wynosi d ² x (taka sama dla górnego i dolnego trójkąta różniczkowego). Na starej i nowej ścieżce części, które się różnią, to:

${\ Displaystyle d ^ {2} t_ {1} = {\ Frac {1} {v_ {1}}} {\ Frac {dx_ {1} } {ds_ {1}}} d ^ {2} x}$

${\ Displaystyle d ^ {2} t_ {2} = {\ Frac { 1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}$

Dla ścieżki najmniejszych czasów te czasy są sobie równe, więc dla ich różnicy otrzymujemy,

${\ Displaystyle d ^ {2} t_ {2} -d ^ {2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1 }{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

A warunkiem najmniejszego czasu jest,

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {v_ {2}}} {\ Frac {dx_ {2}} {ds_ {2}} }={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}$

co zgadza się z założeniem Johanna opartym na prawie załamania światła .

Rozwiązanie Newtona

Wstęp

W czerwcu 1696 roku Johann Bernoulli na kartach Acta Eruditorum Lipsidae rzucił wyzwanie międzynarodowej społeczności matematycznej: znaleźć taką postać krzywej łączącej dwa stałe punkty, aby masa ześlizgnęła się po niej pod wpływem samej grawitacji, w jak najkrótszym czasie. Pierwotnie rozwiązanie miało zostać złożone w ciągu sześciu miesięcy. Zgodnie z sugestią Leibniza Bernoulli przedłużył wyzwanie do Wielkanocy 1697 r., publikując drukowany tekst zatytułowany „Programma”, opublikowany w Groningen w Holandii.

Programma jest datowana na 1 stycznia 1697 r. W kalendarzu gregoriańskim. Było to 22 grudnia 1696 roku według kalendarza juliańskiego, używanego w Wielkiej Brytanii. Według siostrzenicy Newtona, Catherine Conduitt, Newton dowiedział się o wyzwaniu 29 stycznia o godzinie 16:00 i rozwiązał je do 4 rano następnego dnia. Jego rozwiązanie, przekazane Towarzystwu Królewskiemu, nosi datę 30 stycznia. To rozwiązanie, opublikowane później anonimowo w Philosophical Transactions , jest poprawne, ale nie wskazuje metody, dzięki której Newton doszedł do swoich wniosków. Bernoulli, pisząc do Henriego Basnage'a w marcu 1697 roku, wskazał, że chociaż jego autor „przez nadmiar skromności” nie ujawnił swojego nazwiska, to jednak nawet na podstawie skąpych dostarczonych szczegółów można było rozpoznać dzieło Newtona, „jak lew pazurem” (po łacinie ex ungue Leonem ).

DT Whiteside charakterystycznie wyjaśnia pochodzenie wyrażenia łacińskiego, wywodzącego się z greki, ze znaczną szczegółowością. List w języku francuskim ma „ex ungue Leonem” poprzedzone francuskim słowem „comme”. Często cytowana wersja „tanquam ex ungue Leonem” pochodzi z książki Davida Brewstera o życiu i twórczości Newtona z 1855 roku. Zamiarem Bernoulliego było po prostu, aby mógł stwierdzić, że anonimowe rozwiązanie należy do Newtona, tak jak można było stwierdzić, że zwierzę był lwem, któremu podano pazur. Nie miał sugerować, że Bernoulli uważał Newtona za lwa wśród matematyków, jak to od tego czasu zaczęto interpretować.

John Wallis , który miał wtedy 80 lat, dowiedział się o problemie we wrześniu 1696 r . . Po tym, jak Newton przedstawił swoje rozwiązanie, Gregory poprosił go o szczegóły i sporządził notatki z ich rozmowy. Można je znaleźć w Bibliotece Uniwersytetu w Edynburgu, rękopis A ${\ displaystyle 78 ^ {1}}$ , datowany na 7 marca 1697. Albo Gregory nie zrozumiał argumentu Newtona, albo wyjaśnienie Newtona było bardzo krótkie. Jednak możliwe jest, z dużym stopniem pewności, skonstruowanie dowodu Newtona na podstawie notatek Gregory'ego, analogicznie do jego metody określania bryły o minimalnym oporze (Principia, Księga 2, Twierdzenie 34, Scholium 2). Szczegółowy opis jego rozwiązania tego ostatniego problemu zawiera projekt listu z 1694 r., także do Davida Gregory'ego. Oprócz problemu z krzywą minimalnego czasu istniał drugi problem, który Newton również rozwiązał w tym samym czasie. Oba rozwiązania pojawiły się anonimowo w Philosophical Transactions of the Royal Society ze stycznia 1697 r.

Problem brachistochrony

Ryc. 1 przedstawia diagram Gregory'ego (poza tym, że nie ma w nim dodatkowej linii IF i Z, dodano punkt początkowy). Krzywa ZVA jest cykloidą, a CHV jest jej kołem generującym. Ponieważ wydaje się, że ciało porusza się w górę od e do E, należy założyć, że małe ciało jest uwalniane z Z i ślizga się po krzywej do A, bez tarcia, pod działaniem grawitacji.

Rozważmy mały łuk eE, po którym ciało się wznosi. Załóżmy, że przechodzi on po prostej eL do punktu L, przesuniętego poziomo od E o niewielką odległość, o, zamiast łuku eE. Zauważ, że eL nie jest styczną w punkcie e, a o jest ujemne, gdy L jest między B i E. Narysuj linię przechodzącą przez E równolegle do CH, przecinając eL w n. Z właściwości cykloidy wynika, że ​​En jest normalną do stycznej w punkcie E i podobnie styczna w punkcie E jest równoległa do VH.

Ponieważ przemieszczenie EL jest małe, różni się ono nieznacznie w kierunku od stycznej w punkcie E, tak że kąt EnL jest zbliżony do kąta prostego. W granicy, gdy łuk eE zbliża się do zera, eL staje się równoległy do ​​VH, pod warunkiem, że o jest małe w porównaniu z eE, co upodabnia trójkąty EnL i CHV.

Również en zbliża się do długości cięciwy eE i przyrostu długości, $} {CV}}}$$o.CH$ ignorując warunki w wyższych, które reprezentują błąd przybliżenie, że eL i VH są równoległe.

Prędkość wzdłuż eE lub eL można przyjąć jako prędkość w E , proporcjonalną do $,$ jako CH , ${\ displaystyle CH = {\ sqrt {CB.CV}}}$

Wydaje się, że to wszystko, co zawiera notatka Gregory'ego.

Niech t będzie dodatkowym czasem dotarcia do L,

${\ Displaystyle t \ propto {\ Frac {nL}} {\ sqrt {CB}}} = {\ Frac {o.CH} {CV. {\ sqrt {CB}}}} = {\ frac {o}{\sqrt {CV}}}}$

Dlatego wydłużenie czasu przejścia przez mały łuk przesunięty w jednym punkcie końcowym zależy tylko od przemieszczenia w punkcie końcowym i jest niezależne od położenia łuku. Jednak według metody Newtona jest to tylko warunek wymagany do pokonania krzywej w możliwie najkrótszym czasie. Dlatego dochodzi do wniosku, że minimalną krzywą musi być cykloida.

Argumentuje w następujący sposób.

Zakładając teraz, że rys. 1 jest krzywą minimalną jeszcze nie wyznaczoną, z osią pionową CV i okręgiem CHV usuniętym, a rys. 2 przedstawia część krzywej między nieskończenie małym łukiem eE i dalszym nieskończenie małym łukiem Ff w skończonej odległości wzdłuż krzywa. Dodatkowy czas, t, na przejście eL (zamiast eE) to nL $)$ przez prędkość w E (proporcjonalna do , ignorując warunki w $^ {2}}$ i nowsze:

${\ Displaystyle t \ propto {\ Frac {o.DE} {eE. {\ sqrt {CB}}}}}$ ,

W punkcie L cząstka porusza się po ścieżce LM, równoległej do pierwotnego EF, do dowolnego punktu M. Ponieważ w punkcie L ma taką samą prędkość jak w punkcie E, czas potrzebny na przebycie LM jest taki sam, jak w punkcie początkowym krzywa EF. W M powraca na pierwotną ścieżkę w punkcie f. Z tego samego rozumowania wynika, że ​​skrócenie czasu T do osiągnięcia f z M, a nie z F, wynosi

${\ Displaystyle T \ propto {\ Frac {o.FG} {Ff. {\ sqrt {CI}}}}}$

Różnica (t – T) to dodatkowy czas potrzebny wzdłuż ścieżki eLMf w porównaniu z pierwotnym eEFf:

${\ Displaystyle (tT) \ propto \ lewo ({\ Frac {DE} {eE {\ sqrt {CB}}}} - {\ Frac {FG} {Ff {\ sqrt {CI}}}} \ prawej) .o}$ plus terminy w ${\ displaystyle o ^ {2}}$ wyższych (1) o

Ponieważ eEFf jest krzywą minimalną, (t – T) musi być większe od zera, niezależnie od tego, czy o jest dodatnie, czy ujemne. Wynika z tego, że współczynnik o w (1) musi wynosić zero:

$Displaystyle {\ Frac {DE} {eE {\ sqrt {CB}}}} = {\ Frac {FG} {Ff {\ sqrt {CI}}$ (2) w granicy, gdy eE i fF zbliżają się do zera. Uwaga, ponieważ $zera$ jest krzywą minimalną, należy założyć, że współczynnik .

Oczywiście muszą istnieć 2 równe i przeciwne przemieszczenia, w przeciwnym razie ciało nie powróciłoby do punktu końcowego A krzywej.

${FG} {Ff {\ sqrt {CI}} }}}$ wyżej na krzywej, to dla wszystkich takich punktów fa sol fa fa do ja { jest stała (równa się re $\ Displaystyle {\ Frac {DE} {eE {\ sqrt {CB}}$ } Utrzymując stałą f i tworząc zmienną e, $że$ stała

Ale ponieważ punkty e i f są dowolne, równanie (2) może być prawdziwe tylko wtedy, gdy re mi mi mi do $Frac {DE} {eE {\ sqrt {CB}}}} = { \text{constant}}}$ , wszędzie i ten warunek charakteryzuje szukaną krzywą. Jest to ta sama technika, której używa do znalezienia formy bryły o najmniejszym oporze.

Dla cykloidy re $}$$\ Frac {CH} CV}$$\ Displaystyle {\ Frac {DE} {eE {\ sqrt {CB}}}} = {\ Frac {CH} {CV. {\ sqrt {CB}}}}} , co zostało pokazane powyżej jako$ , więc stałe , a brachistochrona to cykloida.

Newton nie wskazuje, w jaki sposób odkrył, że cykloida spełnia tę ostatnią zależność. Mógł to zrobić metodą prób i błędów, a może od razu rozpoznał, że to sugerowało, że krzywa była cykloidą.

Zobacz też

• Paradoks koła Arystotelesa
• Tożsamość Beltramiego
• Rachunek wariacyjny
• Łańcuchowy
• Cykloida
• Problem minimalnego oporu Newtona
• Krzywa tautochrony
• Trochoid
• Ruch jednostajnie przyspieszony

Linki zewnętrzne

• „Brachistochrona” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Problem brachistochrony” . MathWorld .
• Brachistochrone (w MathCurve, z doskonałymi animowanymi przykładami)
• Brachistochrona , Matematyka Whistler Alley.
• Tabela IV z artykułu Bernoulliego w Acta Eruditorum 1697
• Brachistochrones autorstwa Michaela Trotta i Brachistochrone Problem autorstwa Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project .
• Problem brachistochrony w MacTutor
• Geodesics Revisited - Wprowadzenie do geodezji , w tym dwa sposoby wyprowadzenia równania geodezyjnego z brachistochroną jako szczególnym przypadkiem geodezyjnym.
• Optymalne rozwiązanie kontrolne problemu brachistochrony w Pythonie.
• Linia prosta, sieć trakcyjna, brachistochrona, okrąg i Fermat Ujednolicone podejście do niektórych geodezji.