Macierz złożona

W algebrze liniowej , gałęzi matematyki , ( multiplikatywna ) macierz złożona jest macierzą , której wszystkie wpisy są drugorzędne , o danym rozmiarze, innej macierzy. Macierze złożone są blisko spokrewnione z algebrami zewnętrznymi , a ich obliczenia pojawiają się w szerokim zakresie problemów, takich jak analiza nieliniowych układów dynamicznych zmiennych w czasie i uogólnienia systemów dodatnich, systemów współpracujących i systemów kontraktowych.

Definicja

Niech $A$ będzie macierzą $m \times n$ z wpisami rzeczywistymi lub zespolonymi . Jeśli $I$ jest podzbiorem o rozmiarze $r$ z ${1, ..., m}$ , a $J$ jest podzbiorem o rozmiarze $s$ z ${1, ..., n}$ , to podmacierz $(I, J)$ $A$ , zapisana $AI I, J$ , to podmacierz utworzona z $A$ przez zachowanie tylko tych wierszy indeksowanych przez $i$ kolumn indeksowanych przez $J$ . Jeśli $r = s$ , to $det AI ., J$ jest $(I, J)$ -moll _ A $_$

R - macierz złożona ta A $jest$ macierzą, oznaczoną jako $. Cr (A)$ , zdefiniowaną w następujący sposób Jeśli $r > min(m, n)$ , to $C r (A)$ jest unikalną macierzą $0 \times 0$ . W przeciwnym razie $do r (ZA) ma$ rozmiar ${\ textstyle {\ binom {m} {r}} \! \ razy \! {\ binom {n}{r}}}$ . Jego wiersze i kolumny są indeksowane przez podzbiory elementów $r odpowiednio$ ${1, ..., m}$ i ${1, ..., n}$ , w porządku leksykograficznym . Wpisem odpowiadającym podzbiorom $I$ i $J$ jest $det AI, J .$ drugorzędny

W niektórych zastosowaniach macierzy złożonych dokładne uporządkowanie wierszy i kolumn nie ma znaczenia. Z tego powodu niektórzy autorzy nie określają, w jaki sposób mają być uporządkowane wiersze i kolumny.

Weźmy na przykład macierz

{\ Displaystyle A = {\ początek {pmatrix} 1 i 2 i 3 i 4 \\ 5 i 6 i 7 i 8 \\ 9 i 10 i 11 i 12 \ koniec {pmatrix}}.}

Wiersze są indeksowane przez ${1, 2, 3}$ , a kolumny przez ${1, 2, 3, 4}$ . Dlatego wiersze $C 2 (A)$ są indeksowane przez zbiory

{\ Displaystyle \ {1,2 \ <\ {1,3 \ <\ {2,3 \}}

a kolumny są indeksowane według

{\ Displaystyle \ {1,2 \}<\ {1,3 \}<\ {1,4 \}<\ {2,3 \}<\ {2,4 \}<\ {3,4 \} .}

Używając słupków wartości bezwzględnych do oznaczenia wyznaczników , druga macierz złożona to

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} C_ {2} (A) & = {\ rozpocząć {pmatrix} \ lewo | {\ rozpocząć {mała macierz} 1 i 2 \\ 5 i 6 \ koniec {mała macierz}} \ prawo | i \ lewo | {\begin{małamacierz}1&3\\5&7\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}1&4\\5&8\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{ smallmatrix}2&3\\6&7\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}2&4\\6&8\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}3&4\ \7&8\end{małamacierz}}\right|\\\left|{\begin{małamacierz}1&2\\9&10\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}1&3\\9&11\ end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}1&4\\9&12\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}2&3\\10&11\end{małamacierz} }\right|&\left|{\begin{małamacierz}2&4\\10&12\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}3&4\\11&12\end{małamacierz}}\right| \\\left|{\begin{małamacierz}5&6\\9&10\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}5&7\\9&11\end{małamacierz}}\right|&\left |{\begin{małamacierz}5&8\\9&12\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}6&7\\10&11\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin {małamacierz}6&8\\10&12\end{małamacierz}}\right|&\left|{\begin{małamacierz}7&8\\11&12\end{małamacierz}}\right|\end{pmatrix}}\\&={ \begin{pmatrix}-4&-8&-12&-4&-8&-4\\-8&-16&-24&-8&-16&-8\\-4&-8&-12&-4&-8&-4\end{pmatrix} }.\end{wyrównane}}}

Nieruchomości

Niech $c$ będzie skalarem, $A$ będzie macierzą $m \times n$ , a $B$ będzie macierzą $n \times p .$ Dla $k$ dodatniej liczby całkowitej niech $I k$ oznacza macierz identyczności $k \times k$ . Transpozycja macierzy $M$ zostanie zapisana jako M $T,$ a transpozycja koniugatu przez $M *$ . Następnie:

$0 C (A) = I 1$ , macierz identyczności $1 \times 1$ .
$do 1 (ZA) = ZA$ .
$do r (c ZA) = do r do r (ZA)$ .
Jeśli $rk ZA = r$ , to $rk do r (ZA) = 1$ .
Jeśli $1 \leq r \leq n$ , to do $binom {n} {r}}}$ .
Jeśli $1 \leq r \leq min(m, n)$ , to $do r (ZA T) = do r (ZA) T$ .
Jeśli $1 \leq r \leq min(m, n)$ , to $do r (ZA *) = do r (ZA) *$ .
$C r (AB) = C r (A) C r (B)$ , co jest ściśle związane ze wzorem Cauchy'ego-Bineta .

Załóżmy dodatkowo, że $A$ jest macierzą kwadratową o rozmiarze $n$ . Następnie:

$do n (ZA) = det ZA$ .
Jeśli A ma jedną z następujących właściwości, to C _r ( A ) również :
- Górny trójkątny ,
- Dolny trójkątny ,
- przekątna ,
- ortogonalny ,
- Jednolity ,
- symetryczny ,
- hermitowski ,
- Skośno-symetryczny ,
- skośno-hermitowski ,
- Pozytywnie określony ,
- dodatni półokreślony ,
- Normalny .
Jeśli $A$ jest odwracalne , to także jest $C r (ZA)$ i $C r (ZA -1) = C r (ZA) -1$ .
(Twierdzenie Sylwestra-Franke'a) Jeśli $1 \leq r \leq n$ , to ${\ Displaystyle \ det C_ {r} (A) = (\ det A )^{\binom {n-1}{r-1}}}$ .

Stosunek do sił zewnętrznych

Podajmy $R n$ standardową podstawę współrzędnych $e 1, ..., e n$ . R $-$ ta potęga zewnętrzna $Rn jest$ przestrzenią wektorową

{\ Displaystyle \ klin ^ {r} \ mathbf {R} ^ {n}}

którego podstawą są symbole formalne

{\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {i_ {1}} \ klin \ kropki \ klin \ mathbf {e} _ {i_ {r}}}

Gdzie

{\ Displaystyle i_ {1}<\ kropki <i_ {r}.}

Załóżmy, że $A$ jest macierzą $m \times n$ . Wtedy $A$ odpowiada transformacji liniowej

{\ Displaystyle A \ dwukropek \ mathbf {R} ^ {n} \ do \ mathbf {R} ^ {m}.}

Biorąc $r$ -tą potęgę zewnętrzną tej transformacji liniowej, określamy transformację liniową

{\ Displaystyle \ klin ^ {r} A \ dwukropek \ klin ^ {r} \ mathbf {R} ^ {n} \ do \ klin ^ {r} \ mathbf {R} ^ {m}.}

Macierz odpowiadająca tej liniowej transformacji (w odniesieniu do powyższych podstaw potęg zewnętrznych) to $C r (A)$ . Przyjmowanie potęg zewnętrznych jest funktorem , co oznacza, że

{\ Displaystyle \ klin ^ {r} (AB) = (\ klin ^ {r} A) (\ klin ^ {r} B).}

Odpowiada to formule $C r (AB) = C r (A) C r (B)$ . Jest blisko spokrewniony ze wzorem Cauchy'ego-Bineta i jest jego wzmocnieniem .

Związek z macierzami adjugatowymi

Niech $A$ będzie macierzą $n \times n$ . Przypomnijmy, że jej $r$ -ta wyższa macierz adjugatowa $adj r (ZA)$ to ${\ textstyle {\ binom {n} {r}} \! \ razy \! {\ binom {n} r}}}$ macierz, której wpisem $(I, J)$ jest

{\ Displaystyle (-1) ^ {\ sigma (I) + \ sigma (J)} \ det A_ {J ^ {c },I^{c}},}

gdzie dla dowolnego zbioru $K$ liczb całkowitych $σ (K)$ jest sumą elementów $K$ . Adjugat A jest jego pierwszym wyższym adiugatem i jest $oznaczony$ adj $(A)$ . Uogólniony na ekspansję Laplace'a implikuje

{\ Displaystyle C_ {r} (A) \ nazwa operatora {przym.} _ {r} (A) = \ nazwa operatora {przym.} _ {r} (A) C_ {r} (A) = (\ det A) I_ { \binom {n}{r}}.}

Jeśli $A$ jest odwracalne, to

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {przym.} _ {r} (A ^ {-1}) = (\ det A) ^ {-1} C_ {r} (A).}

Konkretną konsekwencją tego jest wzór Jacobiego dla nieletnich macierzy odwrotnej :

{\ Displaystyle \ det (A ^ {-1}) _ {J ^ {c}, I ^ {c}} = (-1) ^ {\ sigma (I) + \ sigma (J)} {\ Frac { \det A_{I,J}}{\det A}}.}

Adjugaty można również wyrazić w kategoriach związków. Niech $S$ oznacza macierz znaków :

{\ Displaystyle S = \ operatorname {diag} (1, -1,1, -1, \ ldots, (-1)^{n-1}),}

i niech $J$ oznacza macierz wymiany :

{\ Displaystyle J = {\ początek {pmatrix} &&1 \\&\ cdots &\\1&&\ koniec {pmatrix}}.}

Wtedy twierdzenie Jacobiego stwierdza, że $r-$ ta wyższa macierz adjugatowa to:

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {przym.} _ {r} (A) = JC_ {nr} (SAS) ^ {T} J.}

Z twierdzenia Jacobiego wynika natychmiast, że

{\ Displaystyle C_ {r} (A) \, J (C_ {nr} (SAS)) ^ {T} J = (\ det A) ja _ {\ binom {n} {r}}.}

Przyjmowanie adjugatów i związków nie dojeżdża do pracy. Jednak związki adiugatów można wyrażać za pomocą adiugatów związków i odwrotnie. Z tożsamości

{\ Displaystyle C_ {r} (C_ {s} (A)) C_ {r} (\ nazwa operatora {przym.} _ {s}(A))=(\det A)^{r}ja,}

{\ Displaystyle C_ {r} (C_ {s} (A)} \ operatorname {przym.} _ {r} (C_ {s} (A)) = (\ det C_ {s} (A)) I,}

i twierdzenie Sylwestra-Franke'a, dedukujemy

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {przym.} _ {r} (C_ {s} (A)) = (\ det A) ^ {{\ binom {n-1} {s-1}} -r} C_ {r} (\ nazwa_operatora {przym.} _ {s} (A)).}

Ta sama technika prowadzi do dodatkowej tożsamości,

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {przym.} (C_ {r} (A)) = (\ det A) ^ {{\ binom {n-1} {r-1}} -r} C_ {r} (\ nazwa operatora { przym} (A)).}

Macierze złożone i przyporządkowane pojawiają się podczas obliczania wyznaczników liniowych kombinacji macierzy. Elementarne jest sprawdzenie, że jeśli $A$ i $B$ są macierzami $n \times n , to wtedy$

{\ Displaystyle \ det (sA + tB) = C_ {n} \! \ lewo ({\ rozpocząć {bmatrix} sA & I_ {n} \ koniec {bmatrix}} \ prawo) C_ {n} \! \ lewo ({\ początek{bmacierz}I_{n}\\tB\koniec{bmacierz}}\prawo).}

Prawdą jest również, że:

{\ Displaystyle \ det (sA + tB) = \ suma _ {r = 0} ^ {n} s ^ {r} t ^ {nr} \ nazwa operatora {tr} (\ nazwa operatora {przym.} _ {r} (A )C_{r}(B)).}

To ma natychmiastowy skutek

{\ Displaystyle \ det (I + A) = \ suma _ {r = 0} ^ {n} \ nazwa operatora {tr} \ nazwa operatora {przym.} _ {r} (A) = \ suma _ {r = 0} ^ {n}\nazwa operatora {tr} C_{r}(A).}

Obliczenia numeryczne

Ogólnie rzecz biorąc, obliczanie macierzy złożonych jest nieefektywne ze względu na dużą złożoność. Niemniej jednak istnieje kilka wydajnych algorytmów dostępnych dla rzeczywistych macierzy o specjalnej strukturze.

Notatki

Gantmacher, FR i Krein, MG, Matryce oscylacyjne i jądra oraz małe wibracje układów mechanicznych , wydanie poprawione. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 2002. ISBN 978-0-8218-3171-7