Metryka Cayleya-Kleina

Odległość metryczna między dwoma punktami wewnątrz absolutu jest logarytmem stosunku krzyżowego utworzonego przez te dwa punkty i dwa przecięcia ich linii z absolutem

W matematyce metryka Cayleya-Kleina jest metryką dopełnienia ustalonej kwadryki w przestrzeni rzutowej , która jest zdefiniowana za pomocą współczynnika krzyżowego . Konstrukcja wywodzi się z eseju Arthura Cayleya „O teorii odległości”, w którym nazywa kwadrykę absolutem . Konstrukcję rozwinął bardziej szczegółowo Felix Klein w artykułach z 1871 i 1873 roku oraz w późniejszych książkach i artykułach. Metryki Cayleya-Kleina są jednoczącą ideą w geometrii, ponieważ metoda ta jest używana do dostarczania metryk w geometrii hiperbolicznej , geometrii eliptycznej i geometrii euklidesowej . Dziedzina geometrii nieeuklidesowej opiera się w dużej mierze na podstawach zapewnianych przez metryki Cayleya-Kleina.

Podwaliny

Algebra rzutów Karla von Staudta (1847) to podejście do geometrii niezależne od metryki . Pomysł polegał na wykorzystaniu relacji rzutowych koniugatów harmonicznych i stosunków krzyżowych jako fundamentalnej dla miary na linii. Innym ważnym spostrzeżeniem był wzór Laguerre'a autorstwa Edmonda Laguerre'a (1853), który wykazał, że kąt euklidesowy między dwiema prostymi można wyrazić jako logarytm stosunku krzyżowego. Ostatecznie Cayley (1859) sformułował relacje, aby wyrazić odległość w kategoriach metryki rzutowej i powiązał je z ogólnymi kwadrykami lub stożkami służącymi jako absolut geometrii. Klein (1871, 1873) usunął ostatnie pozostałości koncepcji metrycznych z pracy von Staudta i połączył je z teorią Cayleya, aby oprzeć nową metrykę Cayleya na logarytmie i współczynniku krzyżowym jako liczbie generowanej przez geometryczny układ czterech punktów. Ta procedura jest konieczna, aby uniknąć okrągłej definicji odległości, jeśli stosunek krzyżowy jest jedynie podwójnym stosunkiem wcześniej zdefiniowanych odległości. W szczególności wykazał, że geometrie nieeuklidesowe mogą być oparte na metryce Cayleya-Kleina.

Geometria Cayleya-Kleina to badanie grupy ruchów , które pozostawiają niezmienną metrykę Cayleya-Kleina . Zależy to od wyboru kwadratu lub stożka, który staje się absolutem przestrzeni. Tę grupę otrzymuje się jako kolineacje , dla których absolut jest stabilny . Rzeczywiście, stosunek krzyżowy jest niezmienny w każdej kolineacji, a stabilny absolut umożliwia porównanie metryczne, które będzie równością. Na przykład okrąg jednostkowy jest absolutem modelu dysku Poincarégo i modelu Beltramiego – Kleina w geometrii hiperbolicznej . Podobnie linia rzeczywista jest absolutem modelu półpłaszczyzny Poincarégo .

Zakres geometrii Cayleya-Kleina podsumowali Horst i Rolf Struve w 2004 roku:

Istnieją trzy absoluty na rzeczywistej linii rzutowej, siedem na rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej i 18 w rzeczywistej przestrzeni rzutowej. W ten sposób można zdefiniować wszystkie klasyczne nieeuklidesowe przestrzenie rzutowe, takie jak hiperboliczna, eliptyczna, Galileuszowa i Minkowskiego oraz ich liczby podwójne.

Cayleya-Kleina Woronoja to diagramy afiniczne z liniowymi dwusiecznymi hiperpłaszczyzny .

Współczynnik krzyżowy i odległość

Metryka Cayleya-Kleina jest po raz pierwszy zilustrowana na rzeczywistej linii rzutowej P(R) i współrzędnych rzutowych . Zwykle geometria rzutowa nie jest kojarzona z geometrią metryczną, ale urządzenie z homografią i logarytmem naturalnym tworzy połączenie. Zacznij od dwóch punktów p i q na P(R). W osadzeniu kanonicznym są to [ p :1] i [ q :1]. Mapa homograficzna

${\ Displaystyle [z: 1] {\ rozpocząć {pmatrix} -1 i 1 \\ p & -q \ koniec {pmatrix}} =[pz:zq]}$

przyjmuje p do zera, a q do nieskończoności. Ponadto punkt środkowy ( p + q )/2 przechodzi do [1:1]. Logarytm naturalny przenosi obraz przedziału [ p,q ] na linię rzeczywistą, przy czym logarytm obrazu punktu środkowego wynosi 0.

W przypadku odległości między dwoma punktami w przedziale metryka Cayleya-Kleina wykorzystuje logarytm stosunku punktów. Ponieważ stosunek jest zachowany, gdy licznik i mianownik są jednakowo proporcjonalne, tak logarytm takich stosunków jest zachowany. Ta elastyczność stosunków umożliwia przesuwanie punktu zerowego na odległość: Aby przesunąć go do a , zastosuj powyższą homografię, powiedzmy uzyskując w . Następnie utwórz tę homografię:

${\ Displaystyle [z: 1] {\ początek {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & w \ koniec {pmatrix}}},$ co prowadzi w do [1: 1].

Kompozycja pierwszej i drugiej homografii przyjmuje a do 1, normalizując w ten sposób arbitralne a w przedziale. Złożone homografie nazywane są homografią ilorazu krzyżowego p , q i a . Często iloraz krzyżowy jest wprowadzany jako funkcja czterech wartości. Tutaj trzy definiują homografię, a czwarta to argument homografii. Odległość tego czwartego punktu od 0 jest logarytmem ocenianej homografii.

dany jest stożek K , z p i q na K . Homografia na większej przestrzeni może mieć K jako zbiór niezmienny , ponieważ permutuje punkty przestrzeni. Taka homografia indukuje jedynkę na P(R), a ponieważ p i q pozostają na K , iloraz krzyżowy pozostaje niezmienny. Wyższe homografie przedstawiają ruchy obszaru ograniczonego przez K , przy czym ruch zachowuje odległość, izometrię .

Aplikacje dyskowe

Załóżmy, że dla absolutu wybrano okrąg jednostkowy. Może być w P ² (R) jako

${\ Displaystyle \ {[x: y: z]: x ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \} }$ , co odpowiada ${\ Displaystyle (x/z) ^ {2} + (r/z) ^ {2} = 1.}$

Z drugiej strony koło jednostkowe w zwykłej płaszczyźnie zespolonej

${\ Displaystyle \ {z: | z|^ {2} = zzz ^ {*} = 1 \}}$ wykorzystuje arytmetykę liczb zespolonych

i znajduje się na ^zespolonej linii rzutowej P(C), coś innego niż rzeczywista płaszczyzna rzutowa P2 (R). Pojęcie odległości dla P(R) wprowadzone w poprzedniej sekcji jest dostępne, ponieważ P(R) jest zawarte zarówno w P2 ⁽ R), jak i P(C). Powiedzmy, że a i b są wewnątrz okręgu w P ² (R). Następnie leżą one na linii przecinającej okrąg w punktach p i q . Odległość od a do b jest logarytmem wartości homografii, wygenerowanej powyżej przez p, q i a po zastosowaniu do b . W tym przypadku geodezja na dysku to segmenty liniowe.

Z drugiej strony geodezja to łuki uogólnionych okręgów na dysku płaszczyzny zespolonej. Ta klasa krzywych jest permutowana przez transformacje Möbiusa , źródło ruchów tego dysku, które opuszczają okrąg jednostkowy jako zbiór niezmienny . Biorąc pod uwagę a i b na tym dysku, istnieje unikalny uogólniony okrąg, który styka się z okręgiem jednostkowym pod kątem prostym, powiedzmy, przecinając go w punktach p i q . Ponownie, dla odległości od a do b najpierw konstruuje się homografię dla p, q i a , następnie ocenia ją w b , a na końcu używa logarytmu. Dwa modele płaszczyzny hiperbolicznej otrzymane w ten sposób to model Cayleya-Kleina i model dysku Poincarégo .

Szczególna teoria względności

Osobny artykuł: Historia przemian Lorentza

W swoich wykładach z historii matematyki z lat 1919/20, wydanych pośmiertnie w 1926 r., Klein pisał:

Przypadek ${\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}$ w czterowymiarowym świecie lub ${\ Displaystyle dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} -dt ^ {2} = 0}$ (pozostać w trzech wymiarów i używać jednorodnych współrzędnych ) nabrał ostatnio szczególnego znaczenia dzięki teorii względności fizyki.

  Oznacza to, że absoluty ${\ textstyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -x_ {3} ^ {2} = 0}$ lub ${\ textstyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^{2}=0}$ w geometrii hiperbolicznej (jak omówiono powyżej), odpowiadają odstępom ${\ textstyle x ^ {2} + y ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ lub ${\ textstyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -t ^ {2} = 0}$ w czasoprzestrzeni i jego transformacja pozostawienie niezmiennika absolutnego można odnieść do przekształceń Lorentza . Podobnie równania okręgu jednostkowego lub sfery jednostkowej w geometrii hiperbolicznej odpowiadają prędkościom fizycznym ${\ textstyle {\ bigl (} {\ frac {dx }{dt}}{\bigr )}{\vphantom {}}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr)}{\vphantom {)}}^ {2} = 1}$ lub ${\ textstyle {\ bigl (} {\ Frac {dx} dt}}{\bigr )}{\vphantom {}}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr)}{\vphantom {)}}^{2 }+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}$ w teorii względności, które są ograniczone prędkością światła c , więc że dla dowolnej prędkości fizycznej v stosunek v / c jest ograniczony do wnętrza sfery jednostkowej, a powierzchnia kuli tworzy absolut Cayleya dla geometrii.

Dodatkowe szczegóły dotyczące relacji między metryką Cayleya-Kleina dla przestrzeni hiperbolicznej a przestrzenią szczególnej teorii względności Minkowskiego zostały wskazane przez Kleina w 1910 r., A także w wydaniu jego wykładów z geometrii nieeuklidesowej z 1928 r.

Afiniczna geometria CK

W 2008 roku Horst Martini i Margarita Spirova uogólnili pierwsze twierdzenie Clifforda o okręgu i inną geometrię euklidesową, używając geometrii afinicznej związanej z absolutem Cayleya:

Jeśli absolut zawiera linię, to otrzymuje się podrodzinę afinicznych geometrii Cayleya-Kleina . Jeśli absolut składa się z prostej f i punktu F na f , to mamy geometrię izotropową . Koło izotropowe to stożek stykający się z f w punkcie F .

Użyj jednorodnych współrzędnych ( x,y,z ). Prosta f w nieskończoności to z = 0. Jeśli F = (0,1,0), to parabola o średnicy równoległej do osi y jest kołem izotropowym.

Niech P = (1,0,0) i Q = (0,1,0) będą bezwzględne, więc f będzie jak powyżej. Uważa się , że prostokątna hiperbola w płaszczyźnie ( x,y ) przechodzi przez P i Q na linii w nieskończoności. Te krzywe to okręgi pseudoeuklidesowe.

Leczenie Martiniego i Spirovej wykorzystuje liczby podwójne dla geometrii izotropowej i rozdzielone liczby zespolone dla geometrii pseudoeuklidesowej. Te uogólnione liczby zespolone wiążą się z ich geometrią, tak jak zwykłe liczby zespolone z geometrią euklidesową.

Historia

Cayleya

Niedawno w rozmowie pojawiło się pytanie, czy rozprawa składająca się z 2 wierszy może zasługiwać na stypendium i otrzymać je. ... Rzutowa definicja długości Cayleya jest jasnym przypadkiem, jeśli możemy interpretować „2 linie” z rozsądną szerokością geograficzną. ... W przypadku Cayleya znaczenie pomysłu jest oczywiste na pierwszy rzut oka.

Littlewood (1986 , s. 39–40)

Arthur Cayley (1859) zdefiniował „absolut”, na którym oparł swoją metrykę rzutową, jako ogólne równanie powierzchni drugiego stopnia pod względem jednorodnych współrzędnych :

oryginalny	nowoczesny
${\ Displaystyle (a, b, c) (x, y) ^ {2} = 0}$	${\ Displaystyle \ suma _ {\ alfa, \ beta = 1,2} a _ {\ alfa \ beta} x_ {\ alfa} x_ {\ beta} =0}$

Odległość między dwoma punktami jest wtedy określona przez

oryginalny	nowoczesny
${\ Displaystyle \ sałata ^ {- 1} {\ Frac {(a, b, c) (x, y) \ lewo (x', y' \ prawo)} {{\ sqrt {(a, b, c) )(x,y)^{2}}}{\sqrt {(a,b,c)(x',y')^{2}}}}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c}$

W dwóch wymiarach

oryginalny	nowoczesny
${\ Displaystyle (a, b, c, f, g, h) (x, y, z) ^ {2} = 0}$	${\ Displaystyle \ suma _ {\ alfa, \ beta = 1} ^ {3} a _ {\ alfa \ beta} x_ {\ alfa} x_ {\ beta }=0,}$

z odległością

oryginalny	nowoczesny
${\ Displaystyle \ sałata ^ {- 1} {\ Frac {(a, \ kropki) (x, y, z) \ lewo (x ', y', z' \ prawo)} {{\ sqrt {(a,\kropki )(x,y,z)^{2}}}{\sqrt {(a,\kropki)(x',y',z')^{2}}}}}}$	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica}$

którego omówił przypadek szczególny z odległością ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 0}$

$${\ Displaystyle \ sałata ^ {- 1} {\ Frac {xx' +yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\liczba pierwsza 2}+y^{\liczba pierwsza 2} + z ^ {\liczba pierwsza 2}}}}}}$$

Nawiązywał $_$ _

Kleina

Felix Klein (1871) przeformułował wyrażenia Cayleya w następujący sposób: Zapisał absolut (który nazwał podstawowym przekrojem stożkowym) w kategoriach jednorodnych współrzędnych:

oryginalny	nowoczesny
${\ Displaystyle \ Omega = ax_ {1} ^ {2} + 2bx_ {1} x_ {2} + cx_ {2} ^ {2} }=0}$	${\ Displaystyle \ Omega = \ suma _ {\ alfa, \ beta = 1,2} a _ {\ alfa \ beta} x_ {\ alfa} x_{\beta}=0}$

i tworząc absoluty dla dwóch elementów, zdefiniował metryczną odległość między nimi w kategoriach współczynnika krzyżowego: ${\ Displaystyle \ Omega _ {xx}}$ i ${\ Displaystyle \ Omega _ {yy}}$

$${\ Displaystyle c \ log {\ Frac {\ Omega _ {xy} + {\ sqrt {\ Omega _ {xy} ^ {2} - \ Omega _ {xx} \ Omega _ {yy}}}} {\ Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{ xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}$$

oryginalny	nowoczesny
${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} \ Omega _ {xx} = ax_ {1} ^ {2} + 2bx_ {1} x_ {2 }+cx_{2}^{2}\\\Omega _{yy}=ay_{1}^{2}+2by_{1}y_{2}+cy_{2}^{2}\\\Omega _ {xy}=ax_{1}y_{1}+b\left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)+cx_{2}y_{2}\end{macierz }}}$	${\ Displaystyle {\begin{matrix}\Omega _{xx}=\suma a_{\alpha \beta}x_{\alpha}x_{\beta}=0\\\Omega _{yy}=\suma a_{\alpha \ beta }y_{\alpha }y_{\beta }=0\\\Omega _{xy}=\suma a_{\alpha \beta }x_{\alpha }y_{\beta }\\\left(\alpha , \beta =1,2\right)\end{macierz}}}$

W płaszczyźnie obowiązują te same relacje dla odległości metrycznych, z wyjątkiem tego, że $}}$$\ displaystyle x, y, z}$ teraz powiązane z trzema współrzędnymi ${\ Displaystyle$ każdy. Jako podstawowy przekrój stożkowy omówił przypadek szczególny ${\ Displaystyle \ Omega _ {xx} = z_ {1} z_ {2} -z_ {3} ^ {2} = 0}$ , która odnosi się do geometrii hiperbolicznej, gdy jest rzeczywista, i do geometrii eliptycznej, gdy jest urojona. Transformacje pozostawiające tę formę niezmienniczą reprezentują ruchy w odpowiedniej przestrzeni nieeuklidesowej. $_ {xx} = x ^ {2} + y ^ {2} -4c ^ {2} = 0}$ do $,$ gdy jest $dodatnia (model$ -Kleina) lub do geometrii eliptycznej, gdy jest ujemna. W przestrzeni omówił podstawowe powierzchnie drugiego stopnia, zgodnie z którymi urojone odnoszą się do geometrii eliptycznej, rzeczywiste i prostoliniowe odpowiadają hiperboloidzie jednopłaszczyznowej bez związku z jedną z trzech głównych geometrii, natomiast rzeczywiste i nieprostoliniowe odnoszą się do przestrzeni hiperbolicznej.

W swoim artykule z 1873 roku zwrócił uwagę na związek między grupami metrycznymi i transformacyjnymi Cayleya. W szczególności równania kwadratowe o rzeczywistych współczynnikach, odpowiadające powierzchniom drugiego stopnia, można przekształcić w sumę kwadratów, z których różnica między liczbą znaków dodatnich i ujemnych pozostaje równa (jest to obecnie nazywane prawem bezwładności Sylwestra ) . Jeśli znak wszystkich kwadratów jest taki sam, powierzchnia jest urojona z dodatnią krzywizną. Jeśli jeden znak różni się od pozostałych, powierzchnia staje się elipsoidą lub dwuwarstwową hiperboloidą o ujemnej krzywiźnie.

W pierwszym tomie swoich wykładów z geometrii nieeuklidesowej w semestrze zimowym 1889/90 (wyd. 1892/1893) omówił płaszczyznę nieeuklidesową, używając tych wyrażeń dla określenia absolutu:

$${\ Displaystyle \ suma _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{macierz}x^{2}+y^ {2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(eliptyczny)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}= 0&{\text{(hiperboliczny)}}\end{macierz}}}$$

i omówiono ich niezmienniczość w odniesieniu do kolineacji i transformacji Möbiusa reprezentujących ruchy w przestrzeniach nieeuklidesowych.

W drugim tomie zawierającym wykłady z semestru letniego 1890 (wyd. także 1892/1893) Klein omawiał przestrzeń nieeuklidesową z metryką Cayleya

$${\ Displaystyle \ suma _ {\ alfa, \ beta = 1} ^ {4} a _ {\ alfa \ beta} x_ {\ alfa} x_ {\ beta }=0,}$$

i dalej wykazał, że warianty tej czwartorzędowej formy kwadratowej można sprowadzić do jednej z następujących pięciu form za pomocą rzeczywistych przekształceń liniowych

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} z_ {1} ^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(część zerowa)}}\\z_{1}^{ 2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(owalny)}}\\z_{1}^{2}+ z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(pierścień)}}\\-z_{1}^{2}-z_{ 2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^ {2}-z_{4}^{2}\end{wyrównane}}}$$

z ${\ Displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} + z_$ był używany przez Kleina jako absolut Cayleya geometrii eliptycznej, podczas gdy do geometrii hiperbolicznej odnosił się ${\ displaystyle z_ {1} ^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$ i alternatywnie równanie sfery jednostkowej ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0}$ . W końcu omówił ich niezmienniczość w odniesieniu do kolineacji i transformacji Möbiusa reprezentujących ruchy w przestrzeniach nieeuklidesowych.

Robert Fricke i Klein podsumowali to wszystko we wstępie do pierwszego tomu wykładów o funkcjach automorficznych z 1897 r., W którym użyli mi $\ displaystyle e \ lewo (z_ {1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}$ jako absolut w geometrii płaskiej, a ${\ Displaystyle z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + z_ {3} ^ {2} -z_ {4} ^ {2} = 0}$ jak również ${\ Displaystyle X ^ {2} + Y ^ {2} + Z ^ {2} = 1}$ dla przestrzeni hiperbolicznej. Wykłady Kleina na temat geometrii nieeuklidesowej zostały pośmiertnie ponownie opublikowane jako jeden tom i znacznie zredagowane przez Walthera Rosemanna w 1928 r. Historyczną analizę prac Kleina nad geometrią nieeuklidesową przeprowadzili A'Campo i Papadopoulos (2014).

Zobacz też

• Metryka Hilberta

Notatki

Historyczny

• von Staudt, K. (1847). Geometrie der Lage . Norymberga: Nürnberg F. Korn.
• Laguerre, E. (1853). „Note sur la théorie des foyers” . Nouvelles annales de mathématiques . 12 : 57–66.
• Cayley, A. (1859). „Szósty pamiętnik o kwantowości” . Transakcje filozoficzne Royal Society of London . 149 : 61–90. doi : 10.1098/rstl.1859.0004 .
•   Kleina F. (1871). „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie” . Mathematische Annalen . 4 (4): 573–625. doi : 10.1007/BF02100583 . S2CID 119465069 .
•   Klein, F. (1873). „Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie” . Mathematische Annalen . 6 (2): 112–145. doi : 10.1007/BF01443189 . S2CID 123810749 .
• Klein, F. (1893a). Szyling, ks. (red.). Nicht-Euklidische Geometrie I, Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1889–90 . Getynga. (drugi druk, pierwodruk w 1892 r.)
• Klein F. (1893b). Szyling, ks. (red.). Nicht-Euklidische Geometrie II, Vorlesung gehalten während des Sommersemesters 1890 . Getynga. (drugi druk, pierwodruk w 1892 r.)

Drugorzędne źródła

• Zabijanie, W. (1885). Die nicht-euklidischen Raumformen . Lipsk: Teubner.
• Fricke, R.; Klein, F. (1897). Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen – Erster Band: Die gruppentoretischen Grundlagen . Lipsk: Teubner.
• Bertrand Russell (1898) An Essay on the Foundations of Geometry , ponownie wydany w 1956 przez Dover Publications, Inc.
• Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra , Księga VI Rozdział 1: Teoria odległości, s. 347–70, zwłaszcza sekcja 199 Cayley's Theory of Distance.
• Hausdorffa F. (1899). „Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie” . Leipziger Math.-Fiz. Berichte . 51 : 161–214. hdl : 2027/hvd.32044092889328 .
• Duncan Sommerville (1910/11) „Metryki Cayleya-Kleina w przestrzeni n -wymiarowej”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 28: 25–41.
•   Klein, Feliks (1910). „Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe” . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 19 : 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . ISBN 978-3-642-51898-0 . Przedruk w Klein, Felix (1921). Gesammelte mathematische Abhandlungen . Tom. 1. s. 533–552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 . Tłumaczenie na język angielski autorstwa Davida Delphenicha: O geometrycznych podstawach grupy Lorentza
• Veblen, O. i Młody JW (1918). Geometria rzutowa . Boston: Ginn.
• Liebmann, H. (1923). Nichteuklidische Geometrie . Berlin i Lipsk: Berlin W. de Gruyter.
• Klein, F. (1926). Courant, R.; Neugebauer, O. (red.). Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert . Berlin: Springer. ; Tłumaczenie angielskie: Rozwój matematyki w XIX wieku autorstwa M. Ackermana, Math Sci Press
• Klein, F. (1928). Rosemann, W. (red.). Vorlesungen über nicht-Euklidische Geometrie . Berlin: Springer.
• Pierpont, J. (1930). „Geometria nieeuklidesowa, retrospekcja” (PDF) . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 36 (2): 66–76. doi : 10.1090/S0002-9904-1930-04885-5 .
•    Littlewood, JE (1986) [1953], Miscellany Littlewooda , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-33058-9 , MR 0872858
• Harvey Lipkin (1985) Geometria metryczna z Georgia Institute of Technology
•     Struwe, Horst; Struve, Rolf (2004), „Przestrzenie rzutowe z metrykami Cayleya-Kleina”, Journal of Geometry , 81 (1): 155–167, doi : 10.1007 / s00022-004-1679-5 , ISSN 0047-2468 , MR 2134074 , S2CID 121783102
•   Martini Horst, Spirova Margarita (2008). „Geometria okręgu w afinicznych płaszczyznach Cayleya-Kleina”. Periodica Mathematica Hungarica . 57 (2): 197–206. doi : 10.1007/s10998-008-8197-5 . S2CID 31045705 .
•     Struwe, Horst; Struve, Rolf (2010), „Geometrie nieeuklidesowe: podejście Cayleya-Kleina”, Journal of Geometry , 89 (1): 151–170, doi : 10.1007 / s00022-010-0053-z , ISSN 0047-2468 , MR 2739193 , S2CID 123015988
•    A'Campo, N.; Papadopoulos, A. (2014). „O tak zwanej geometrii nieeuklidesowej Kleina”. W Ji, L.; Papadopoulos, A. (red.). Sophus Lie i Felix Klein: Program Erlangen i jego wpływ na matematykę i fizykę . s. 91–136. ar Xiv : 1406.7309 . doi : 10.4171/148-1/5 . ISBN 978-3-03719-148-4 . S2CID 6389531 .
•    Nielsen, Frank; Muzellec, Borys; Nock, Richard (2016), „Klasyfikacja z mieszaninami zakrzywionych metryk mahalanobisa”, 2016 IEEE International Conference on Image Processing (ICIP) , s. 241–245, doi : 10.1109 / ICIP.2016.7532355 , ISBN 978-1-4673-9961 -6 , S2CID 7481968

Dalsza lektura

• Jan Drösler (1979) „Podstawy wielowymiarowego skalowania metrycznego w geometriach Cayleya-Kleina”, British Journal of Mathematical and Statistical Psychology 32 (2); 185–211