n ! przypuszczenie
W matematyce n ! _ przypuszczenie to przypuszczenie , że wymiar pewnego dwustopniowego modułu diagonalnych harmonicznych wynosi n !. Dokonali tego AM Garsia i M. Haiman , a później udowodnił to M. Haiman . Implikuje to hipotezę dodatnią Macdonalda dotyczącą wielomianów Macdonalda .
Formuła i tło
Wielomiany Macdonalda dwuparametrowa rodzina wielomianów ortogonalnych indeksowanych dodatnią wagą λ systemu , wprowadzona przez G. Macdonalda (1987). Uogólniają kilka innych rodzin wielomianów ortogonalnych, takich jak wielomiany Jacka i wielomiany Halla-Littlewooda . Wiadomo, że mają głębokie związki z afinicznymi algebrami Heckego i schematami Hilberta , które posłużyły do udowodnienia kilku przypuszczeń Macdonalda na ich temat.
Macdonald (1988) wprowadził nową bazę dla przestrzeni funkcji symetrycznych , która specjalizuje się w wielu dobrze znanych podstawach funkcji symetrycznych, poprzez odpowiednie podstawienia parametrów q i t .
W rzeczywistości możemy w ten sposób otrzymać funkcje Schura , funkcje symetryczne Halla-Littlewooda, funkcje symetryczne Jacka, strefowe funkcje symetryczne, strefowe funkcje sferyczne oraz elementarne i jednomianowe funkcje symetryczne.
Tak zwane wielomiany q , t - Kostka są współczynnikami wynikowej macierzy przejścia . Macdonald przypuszczał, że są to wielomiany w q i t , z nieujemnymi współczynnikami całkowitymi .
Adriano Garsii polegał na skonstruowaniu odpowiedniego modułu w celu udowodnienia dodatniości (tak jak to miało miejsce w jego poprzedniej wspólnej pracy z Procesim na temat dodatniości Schura wielomianów Kostki-Foulkesa ).
Próbując udowodnić przypuszczenie Macdonalda, i Haiman (1993) wprowadzili dwustopniowy moduł ukośnych i przypuszczali, że (zmodyfikowane) wielomiany Macdonalda są obrazem Frobeniusa funkcja generująca H μ , pod diagonalnym działaniem grupy symetrycznej .
Dowód hipotezy Macdonalda został następnie sprowadzony do n ! przypuszczenie; tj. udowodnić, że wymiar H μ wynosi n !. W 2001 roku Haiman udowodnił, że wymiar rzeczywiście wynosi n ! (patrz [4]).
Ten przełom doprowadził do odkrycia wielu ukrytych powiązań i nowych aspektów teorii reprezentacji grup symetrycznych , a także obiektów kombinatorycznych (np. tablic wstawiania, liczb inwersji Haglunda i roli funkcji parkowania w teorii reprezentacji ).
- Garsia, AM; Procesi, C. (1992). „O niektórych stopniowanych modułach S n i wielomianach q-Kostki” . Postępy w matematyce . 94 (1): 82–138. doi : 10.1016/0001-8708(92)90034-I .
- Garsia, AM; Haiman, M. (1993). „Stopniowany model reprezentacji wielomianów Macdonalda” . Obrady Narodowej Akademii Nauk . 90 (8): 3607–3610. doi : 10.1073/pnas.90.8.3607 . PMC46350 . _ PMID 11607377 .
-
Garsia, AM; Haiman, M. „Harmoniczne orbity i reprezentacje stopniowane, monografia badawcza”.
{{ cite journal }}: Cite journal wymaga, aby|journal=( help ) pojawiał się jako część kolekcji opublikowanej przez Lab. de. Grzebień. et Informatique Mathématique, pod redakcją S. Brlek, U. du Québec á Montréal. - Haiman, M. (2001). „Schematy Hilberta, wariografy i hipoteza pozytywności Macdonalda” . Dziennik Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 14 (4): 941–1006. doi : 10.1090/S0894-0347-01-00373-3 .
- Macdonald, IG (1988). „Nowa klasa funkcji symetrycznych” . Séminaire Lotharingien de Combinatoire . Publikacja IRMA Strasburg. 20 : 131–171.