Niejawna powierzchnia

Niejawny torus powierzchniowy ( R = 40, a = 15) .

Ukryta powierzchnia rodzaju 2.

Niejawna powierzchnia niealgebraiczna ( kieliszek do wina ).

W matematyce ukryta powierzchnia to powierzchnia w przestrzeni euklidesowej określona przez równanie

${\ Displaystyle F (x, y, z) = 0.}$

Powierzchnia niejawna to zbiór zer funkcji trzech zmiennych . Implicit oznacza, że ​​równanie nie zostało rozwiązane dla x lub y lub z .

$_$ funkcji opisywany nazywany jawną Trzecim istotnym opisem powierzchni jest opis parametryczny : ${\ Displaystyle (x (s, t), y (s, t), z (s, t)}}$ , gdzie x -, y - i z - współrzędne punktów powierzchniowych są reprezentowane przez trzy funkcje ${\ Displaystyle x (s, t) \, y (s, t) \, z (s, t)}$ w zależności od wspólnych parametrów ${\ displaystyle s, t}$ . Ogólnie zmiana reprezentacji jest prosta tylko wtedy, gdy podano jawną reprezentację $= f$ fa $z$ (domyślnie), ${\ Displaystyle (s, t, f (s, t))}$ (parametryczny).

Przykłady :

1. Płaszczyzna $1 = 0.}$ +
2. Kula $^ {2} + z ^ {2} -4 = 0.}$ y
3. torus $^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}$${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} +$ z
4. Powierzchnia rodzaju 2: ${\ Displaystyle 2y (y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2}-1) (1-z^{2})=0}$ (patrz diagram).
5. Powierzchnia obrotu ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} - (\ ln (z + 3,2)) ^ {2 }-0,02=0}$ (patrz schemat kieliszek do wina ).

Dla płaszczyzny, kuli i torusa istnieją proste reprezentacje parametryczne. Nie dotyczy to czwartego przykładu.

Twierdzenie $o$ funkcji niejawnej opisuje warunki równanie przynajmniej dla x , lub z Ale ogólnie rozwiązanie może nie być wyraźne. To twierdzenie jest kluczem do obliczania podstawowych cech geometrycznych powierzchni: płaszczyzn stycznych , normalnych powierzchni , krzywizn (patrz poniżej). Mają jednak zasadniczą wadę: ich wizualizacja jest trudna.

Jeśli $_$ w i , nazywana jest . _ _ _ Przykład 5 nie jest algebraiczny.

Pomimo trudności w wizualizacji, ukryte powierzchnie zapewniają stosunkowo proste techniki generowania teoretycznie (np. powierzchnia Steinera ) i praktycznie (patrz poniżej) interesujących powierzchni.

Formuły

$jest$ ukryta powierzchnia $,$ funkcja niezbędne Pochodne cząstkowe to $_$ z ${\ Displaystyle F_ {x}, F_ {y}, F_ {z}, F_ {xx}, \ ldots}$ .

Płaszczyzna styczna i wektor normalny

Punkt powierzchni $\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$$nazywany$ jest regularnym wtedy i tylko wtedy, gdy gradient w ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ nie jest wektorem zerowym ${\ Displaystyle (0,0,0)}$ , co oznacza

${\ Displaystyle (F_ {x} (x_ {0}, y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0 }))\neq (0,0,0)}$ .

Jeśli punkt $_$ nie jest regularny ,

Równanie płaszczyzny stycznej w regularnym punkcie wynosi ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

${\ Displaystyle F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (xx_ {0}) + F_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,}$

a wektor normalny to

${\ Displaystyle \ mathbf {n} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = (F_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), F_ {y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.}$

Normalna krzywizna

Aby zachować prostotę formuły, argumenty są pomijane: ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

${\ Displaystyle \ kappa _ {n} = {\ Frac {\ mathbf {v} ^ {\ szczyt} H_ {F} \ mathbf {v}} {\| \operatorname {grad} F\|}}}$

gdzie jest normalna krzywizna powierzchni w regularnym punkcie dla jednostkowego kierunku stycznej ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ . ${F}}$$macierz$ jest macierzą Hesji ( drugich pochodnych).

Dowód tego wzoru opiera się (podobnie jak w przypadku krzywej uwikłanej) na twierdzeniu o funkcji uwikłanej i wzorze na krzywiznę normalną powierzchni parametrycznej .

Zastosowania powierzchni niejawnych

Podobnie jak w przypadku niejawnych krzywych łatwo jest wygenerować niejawne powierzchnie o pożądanych kształtach poprzez zastosowanie operacji algebraicznych (dodawanie, mnożenie) na prostych prymitywach.

Powierzchnia ekwipotencjalna 4 ładunków punktowych

Powierzchnia ekwipotencjalna ładunków punktowych

Potencjał elektryczny ładunku punktowego $ja$ punkcie $} _ {i} = (x_ {i} y_ {i}, z_ {i})}$ generuje w punkcie potencjał (pomijając stałe fizyczne) ${\ Displaystyle \ mathbf {p} = (x, y, z)}$

${\ Displaystyle F_ {i} (x, y, z) = {\ Frac {q_ {i}} {\|\ mathbf {p} -\ mathbf {p} _ {i} \|}}.}$

Powierzchnia ekwipotencjalna dla wartości potencjalnej $\ Displaystyle$ powierzchnią ukrytą, $-c = 0} fa ja ( x , y , z$ do { kula ze środkiem w punkcie ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ .

Potencjał opłat $jest$ reprezentowany przez

${\ Displaystyle F (x, y, z) = {\ Frac {q_ {1}}} {\|\ mathbf {p} - \ mathbf {p} _ {1} \|}} + {\ Frac {q_ { 2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _ {3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.}$

Na rysunku cztery ładunki są równe 1 i znajdują się w punktach ${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0)}$ . Wyświetlana powierzchnia to powierzchnia ekwipotencjalna (powierzchnia ukryta) ${\ Displaystyle F (x, y, z) -2,8 = 0}$ .

Powierzchnia produktu o stałej odległości

Owal Cassiniego można zdefiniować jako zbiór punktów, dla których iloczyn odległości do dwóch danych punktów jest stały (w przypadku elipsy suma jest stała). W podobny sposób ukryte powierzchnie można zdefiniować za pomocą iloczynu stałej odległości do kilku stałych punktów.

metamorfozach diagramu górna lewa powierzchnia jest generowana przez tę regułę: Z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F (x, y, z) = {} i {\ Duży (} {\ sqrt {(x-1) ^ {2} + y ^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\&\qquad \cdot {\ sqrt {x^{2}+(y-1)^{2}+z^{2}}}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{ 2}}}{\Duży }}\end{wyrównany}}}$

wyświetlana jest powierzchnia produktu o stałej odległości ${\ Displaystyle F (x, y, z) -1.1 = 0} .$

Metamorfozy między dwoma domniemanymi powierzchniami: torusem i powierzchnią iloczynu o stałej odległości.

Metamorfozy ukrytych powierzchni

Kolejna prosta metoda generowania nowych niejawnych powierzchni nazywa się metamorfozą niejawnych powierzchni:

Dla dwóch niejawnych powierzchni ${\ Displaystyle F_ {1} (x, y, z) = 0, F_ {2} (x, y , z) = 0}$ (na diagramie: powierzchnia iloczynu o stałej odległości i torus) definiuje się nowe powierzchnie za pomocą parametru projektowego ${\ Displaystyle \ mu \ w [0,1]}$ :

${\ Displaystyle F (x, y, z) = \ mu F_ {1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0}$

Na diagramie parametr projektowy jest kolejno ${\ Displaystyle \ mu = 0, \, 0,33, \, 0,66, \, 1}$ .

Przybliżenie trzech torusów ( rzut równoległy )

POV-Ray (projekcja centralna) przybliżenia trzech tori.

Gładkie przybliżenia kilku niejawnych powierzchni

${\ displaystyle \ Pi} -powierzchnie mogą być użyte do$$powierzchnia$ dowolnego danego gładkiego i ograniczonego obiektu w, jest zdefiniowana przez pojedynczy wielomian jako iloczyn wielomianów pomocniczych. Innymi słowy, możemy zaprojektować dowolny gładki obiekt z pojedynczą powierzchnią algebraiczną. Oznaczmy definiujące wielomiany jako ${\ Displaystyle f_ {i} \ w \ mathbb {R} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] (i = 1, \ ldots, k)}$ . Następnie obiekt przybliżający jest definiowany przez wielomian

${\ Displaystyle F (x, y, z) = \ prod _ {i} f_ {i} (x, y, z )-R}$

gdzie ${\ displaystyle r \ in \ mathbb {R}}$ oznacza parametr mieszania, który kontroluje błąd przybliżenia.

Analogicznie do gładkiej aproksymacji z niejawnymi krzywymi, równanie

${\ Displaystyle F (x, y, z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)-r=0}$

reprezentuje dla odpowiednich parametrów $przybliżenia$ trzech przecinających się torusów z równaniami

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F_ {1} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} - 4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+ R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x ^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2 })=0.\end{wyrównane}}}$

(Na diagramie parametry to ${\ Displaystyle R = 1, \, a = 0,2, \, r = 0,01.}$ )

Obraz POV-Ray: metamorfoza między sferą a powierzchnią produktu o stałej odległości (6 punktów).

Wizualizacja ukrytych powierzchni

Istnieją różne algorytmy renderowania niejawnych powierzchni, w tym algorytm maszerujących kostek . Zasadniczo istnieją dwa pomysły na wizualizację ukrytej powierzchni: jeden generuje siatkę wielokątów, która jest wizualizowana (patrz triangulacja powierzchni ), a drugi opiera się na śledzeniu promieni , które określa punkty przecięcia promieni z powierzchnią. Punkty przecięcia można przybliżyć za pomocą śledzenia kuli , używając funkcji odległości ze znakiem, aby znaleźć odległość do powierzchni.

Zobacz też

• Ukryta krzywa

Dalsza lektura

•   Gomes, A., Voiculescu, I., Jorge, J., Wyvill, B., Galbraith, C .: Ukryte krzywe i powierzchnie: matematyka, struktury danych i algorytmy , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8
•   Thorpe: elementarne zagadnienia geometrii różniczkowej , Springer-Verlag, Nowy Jork, 1979, ISBN 0-387-90357-7

Linki zewnętrzne

• Sultanow: Implizite Flächen
• Hartmann: Geometria i algorytmy projektowania wspomaganego komputerowo
• WIDOK GEOM
• K3Dsurf: generator powierzchni 3D
• SURF: Visualisierung algebraischer Flächen