Parzystość zerowa

Empty balance scale
Szalki tej wagi zawierają zero obiektów podzielonych na dwie równe grupy.
Posłuchaj tego artykułu ( 31 minut )
Spoken Wikipedia icon
Ten plik audio został utworzony na podstawie wersji tego artykułu z dnia 27 sierpnia 2013 r. ( 27.08.2013 r. ) i nie odzwierciedla późniejszych zmian.
( Pomoc audio · Więcej artykułów mówionych )

W matematyce zero jest liczbą parzystą. Innymi słowy, jego parzystość — jakość liczby całkowitej będącej parzystą lub nieparzystą — jest parzysta. Można to łatwo zweryfikować na podstawie definicji „parzystego”: jest to całkowita wielokrotność 2 , a konkretnie 0 × 2 . W rezultacie zero ma wszystkie właściwości charakteryzujące liczby parzyste: na przykład 0 sąsiaduje z obu stron z liczbami nieparzystymi, każda dziesiętna liczba całkowita ma taką samą parzystość jak jej ostatnia cyfra - więc skoro 10 jest parzyste, 0 będzie parzyste , a jeśli y jest parzyste, to y + x ma taką samą parzystość jak x — a 0 + x zawsze mają tę samą parzystość.

Zero pasuje również do wzorców utworzonych przez inne liczby parzyste. Reguły parzystości arytmetyki, takie jak parzystość − parzystość = parzystość , wymagają, aby 0 było parzyste. Zero jest addytywnym elementem tożsamości grupy parzystych liczb całkowitych i jest to przypadek początkowy, od którego rekurencyjnie definiowane są inne parzyste liczby naturalne . Zastosowania tej rekurencji z teorii grafów do geometrii obliczeniowej polegają na tym, że zero jest parzyste. Nie tylko 0 jest podzielne przez 2, ale jest podzielne przez każdy potęga 2 , która jest odpowiednia dla binarnego systemu liczbowego używanego w komputerach. W tym sensie 0 jest „najbardziej parzystą” liczbą ze wszystkich.

Wśród ogółu społeczeństwa parytet zerowy może być źródłem zamieszania. W z czasem reakcji większość ludzi wolniej identyfikuje 0 jako parzystą niż 2, 4, 6 lub 8. Niektórzy nauczyciele [ kto? ] — a niektóre dzieci na lekcjach matematyki — uważają, że zero jest liczbą nieparzystą, parzystą i nieparzystą albo żadną. Naukowcy zajmujący się nauczaniem matematyki sugerują, że te błędne wyobrażenia mogą stać się okazją do nauki. Studiowanie równości, takich jak 0 × 2 = 0, może rozwiać wątpliwości uczniów dotyczące nazywania 0 liczbą i używania jej w arytmetyce . Dyskusje w klasie mogą sprawić, że uczniowie docenią podstawowe zasady rozumowania matematycznego, takie jak znaczenie definicji. Ocena parzystości tej wyjątkowej liczby jest wczesnym przykładem wszechobecnego tematu w matematyce: abstrakcji znanej koncepcji w nieznanym otoczeniu.

Dlaczego zero jest parzyste

Standardowej definicji „liczby parzystej” można użyć do bezpośredniego udowodnienia , że ​​zero jest parzyste. Liczba nazywana jest „parzystą”, jeśli jest całkowitą wielokrotnością 2. Na przykład powodem, dla którego 10 jest parzyste, jest to, że równa się 5 × 2 . W ten sam sposób zero jest całkowitą wielokrotnością 2, a mianowicie 0 × 2, więc zero jest parzyste.

Możliwe jest również wyjaśnienie, dlaczego zero jest parzyste bez odwoływania się do formalnych definicji. Poniższe wyjaśnienia mają sens dla idei, że zero jest parzyste pod względem podstawowych pojęć liczbowych. Na tej podstawie można uzasadnić samą definicję - i jej stosowalność do zera.

Podstawowe wyjaśnienia

On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red
Pudełko z 0 przedmiotami nie ma żadnego czerwonego przedmiotu.

Biorąc pod uwagę zestaw obiektów, używa się liczby do opisania, ile obiektów znajduje się w zestawie. Zero to liczba żadnych obiektów ; bardziej formalnie, jest to liczba obiektów w pustym zbiorze . Pojęcie parzystości służy do tworzenia grup dwóch obiektów. Jeśli obiekty w zbiorze można podzielić na grupy po dwie i nie pozostawić żadnego, to liczba obiektów jest parzysta. Jeśli obiekt zostanie pozostawiony, liczba obiektów jest nieparzysta. Pusty zbiór zawiera zero grup po dwa i żaden obiekt nie pozostaje z tego grupowania, więc zero jest parzyste.

Pomysły te można zilustrować, rysując obiekty w parach. Trudno jest zobrazować zerowe grupy po dwie lub podkreślić nieistnienie pozostawionego obiektu, dlatego dobrze jest narysować inne zgrupowania i porównać je z zerem. Na przykład w grupie pięciu obiektów są dwie pary. Co ważniejsze, istnieje resztka obiektu, więc 5 jest nieparzyste. W grupie czterech obiektów nie ma żadnego pozostałego przedmiotu, więc 4 jest parzyste. W grupie tylko jednego obiektu nie ma par, a jest jeszcze przedmiot, więc 1 jest nieparzyste. W grupie obiektów zerowych nie ma żadnego obiektu resztkowego, więc 0 jest parzyste.

Istnieje inna konkretna definicja równości: jeśli obiekty w zestawie można umieścić w dwóch grupach o równej wielkości, to liczba obiektów jest parzysta. Ta definicja jest równoważna z pierwszą. Ponownie zero jest parzyste, ponieważ pusty zbiór można podzielić na dwie grupy po elementy zerowe.

Liczby można również wizualizować jako punkty na osi liczbowej . Kiedy rozróżnia się liczby parzyste i nieparzyste, ich wzór staje się oczywisty, zwłaszcza jeśli uwzględnione są liczby ujemne:

Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots

Liczby parzyste i nieparzyste występują naprzemiennie. Zaczynając od dowolnej liczby parzystej, odliczając w górę lub w dół po dwa, dociera się do pozostałych liczb parzystych i nie ma powodu, aby pomijać zero.

Wraz z wprowadzeniem mnożenia do parzystości można podejść w bardziej formalny sposób, używając wyrażeń arytmetycznych. Każda liczba całkowita ma postać (2 × ▢) + 0 lub (2 × ▢) + 1; pierwsze liczby są parzyste, a drugie nieparzyste. Na przykład 1 jest nieparzyste, ponieważ 1 = (2 × 0) + 1, a 0 jest parzyste, ponieważ 0 = (2 × 0) + 0. Sporządzenie tabeli tych faktów wzmacnia powyższy obraz osi liczbowej.

Edukacja

Bar chart; see description in body text
Odpowiedzi procentowe w czasie

Temat parzystości zera jest często poruszany w ciągu pierwszych dwóch lub trzech klas szkoły podstawowej , ponieważ wprowadza się i rozwija pojęcie liczb parzystych i nieparzystych.

Wiedza studentów

Wykres po prawej stronie przedstawia przekonania dzieci na temat parytetu zero, w miarę jak przechodzą one od klasy 1 do klasy 6 angielskiego systemu edukacji . Dane pochodzą od Lena Frobishera, który przeprowadził dwie ankiety wśród angielskich uczniów. Frobisher był zainteresowany tym, jak znajomość parzystości jednocyfrowej przekłada się na znajomość parzystości wielocyfrowej, a liczby zerowe zajmują ważne miejsce w wynikach.

We wstępnej ankiecie przeprowadzonej wśród prawie 400 siedmiolatków, 45% wybrało liczbę parzystą zamiast nieparzystej , gdy zapytano ich o parytet zero. Dalsze dochodzenie dało więcej możliwości wyboru: ani , oba , i nie wiem . Tym razem liczba dzieci w tym samym przedziale wiekowym identyfikujących zero jako nawet spadła do 32%. Sukces w ustaleniu, że zero jest nawet początkowo, szybko rośnie, a następnie spada do około 50% w klasach od 3 do 6. Dla porównania, najłatwiejsze zadanie, określanie parzystości pojedynczej cyfry, wyrównuje się na poziomie około 85%.

W wywiadach Frobisher wywoływał rozumowanie uczniów. Pewien piątoklasista zdecydował, że 0 jest parzyste, ponieważ zostało znalezione na tabliczce mnożenia przez 2 . Kilku czwartoklasistów zdało sobie sprawę, że zero można podzielić na równe części. Inny czwartoklasista argumentował: „1 jest nieparzyste, a jeśli spadnę, to jest parzyste”. Wywiady ujawniły również błędne przekonania stojące za nieprawidłowymi odpowiedziami. Drugi rok był „całkiem przekonany”, że zero jest nieparzyste, na podstawie tego, że „jest to pierwsza liczba, którą policzysz”. Czwartoklasista odniósł się do 0 jako „brak” i pomyślał, że nie jest ani nieparzyste, ani parzyste, ponieważ „to nie jest liczba”. W innym badaniu Annie Keith obserwowała klasę 15 drugoklasistów, którzy przekonywali się nawzajem, że zero jest liczbą parzystą w oparciu o naprzemienność parzystych i nieparzystych oraz możliwość podzielenia grupy zerowych rzeczy na dwie równe grupy.

Bardziej dogłębne badania przeprowadziły Esther Levenson, Pessia Tsamir i Dina Tirosh, które przeprowadziły wywiady z parą uczniów szóstej klasy w USA, którzy osiągali wysokie wyniki na lekcjach matematyki. Jeden uczeń preferował dedukcyjne wyjaśnienia twierdzeń matematycznych, podczas gdy drugi preferował praktyczne przykłady. Obaj uczniowie początkowo myśleli, że 0 nie jest ani parzyste, ani nieparzyste, z różnych powodów. Levensona i in. pokazał, jak rozumowanie uczniów odzwierciedla ich koncepcje zera i dzielenia.

Twierdzenia uczniów
„ Zero nie jest parzyste ani nieparzyste ” .
„ Zero może być parzyste ” .
„ Zero nie jest nieparzyste ”
musi być parzyste” . .
„ Zero liczbą parzystą ” .
„ być liczbą parzystą. "
Zero nie jest
" Zero nie zawsze będzie liczbą parzystą. "
" Zero jest parzyste. "
" Zero jest wyjątkowe. "

Deborah Loewenberg Ball przeanalizowała pomysły amerykańskich uczniów trzecich klas na temat liczb parzystych, nieparzystych i zera, które właśnie omawiali z grupą czwartoklasistów. Uczniowie dyskutowali o parzystości zera, zasadach dotyczących liczb parzystych oraz o tym, jak uprawia się matematykę. Twierdzenia o zerowaniu przybierały różne formy, jak widać na liście po prawej stronie. Ball i jej współautorzy argumentowali, że odcinek pokazał, jak uczniowie mogą „uprawiać matematykę w szkole”, w przeciwieństwie do zwykłego ograniczania dyscypliny do mechanicznego rozwiązywania ćwiczeń.

Jednym z tematów w literaturze naukowej jest napięcie między wyobrażeniami studentów równości i ich definicje pojęć. Levenson i inni szóstoklasiści zdefiniowali liczby parzyste jako wielokrotności 2 lub liczby podzielne przez 2, ale początkowo nie byli w stanie zastosować tej definicji do zera, ponieważ nie byli pewni, jak pomnożyć lub podzielić zero przez 2. Ankieter ostatecznie doprowadził ich do wniosku, że zero jest parzyste; uczniowie doszli do tego wniosku różnymi drogami, opierając się na kombinacji obrazów, definicji, wyjaśnień praktycznych i wyjaśnień abstrakcyjnych. W innym badaniu David Dickerson i Damien Pitman zbadali użycie definicji przez pięć zaawansowanych kierunków studiów licencjackich z matematyki . Okazało się, że studenci byli w dużej mierze zdolni do zastosowania definicji „parzystości” do zera, ale nadal nie byli przekonani do tego rozumowania, ponieważ kolidowało to z ich wyobrażeniami.

Wiedza nauczycieli

Badacze zajmujący się nauczaniem matematyki z University of Michigan umieścili odpowiedź „prawda lub fałsz” „0 to liczba parzysta” w bazie danych zawierającej ponad 250 pytań zaprojektowanych do mierzenia wiedzy merytorycznej nauczycieli. Dla nich pytanie to jest przykładem „powszechnej wiedzy… którą powinien posiadać każdy dobrze wykształcony dorosły” i jest „neutralne ideologicznie”, ponieważ odpowiedź nie różni się między matematyką tradycyjną a reformowaną . W badaniu przeprowadzonym w latach 2000–2004 na 700 nauczycielach szkół podstawowych w Stanach Zjednoczonych standaryzowanych testów uczniów po wzięciu udziału w zajęciach prowadzonych przez nauczycieli. W bardziej dogłębnym badaniu z 2008 roku naukowcy odkryli szkołę, w której wszyscy nauczyciele uważali, że zero nie jest ani nieparzyste, ani parzyste, w tym jeden nauczyciel, który był wzorem pod każdym innym względem. Błędne przekonanie zostało rozpowszechnione przez nauczyciela matematyki w ich budynku.

Nie jest pewne, ilu nauczycieli ma błędne wyobrażenia na temat zera. W badaniach Michigan nie opublikowano danych dla poszczególnych pytań. Betty Lichtenberg, profesor nadzwyczajny nauczania matematyki na Uniwersytecie Południowej Florydy , w badaniu z 1972 r. poinformowała, że ​​kiedy grupa przyszłych nauczycieli szkół podstawowych otrzymała test typu prawda-fałsz, w tym element „Zero jest liczbą parzystą”, uznali, że jest to „podchwytliwe pytanie”, na które około dwie trzecie odpowiedziało „Fałsz”.

Implikacje dla instrukcji

Z matematycznego punktu widzenia udowodnienie, że zero jest parzyste, jest prostą kwestią zastosowania definicji, ale w kontekście edukacji potrzeba więcej wyjaśnień. Jedna kwestia dotyczy podstaw dowodu; definicja „parzystego” jako „całkowitej wielokrotności 2” nie zawsze jest odpowiednia. Uczeń w pierwszych klasach szkoły podstawowej mógł jeszcze nie wiedzieć, co oznacza „liczba całkowita” lub „wielokrotność”, a tym bardziej, jak mnożyć przez 0. Ponadto podanie definicji parzystości dla wszystkich liczb całkowitych może wydawać się arbitralnym skrótem pojęciowym, jeśli jedyne zbadane do tej pory liczby parzyste były dodatnie. Pomocne może być uznanie, że skoro koncepcja liczb jest rozszerzana z dodatnich liczb całkowitych na liczby całkowite zero i ujemne, właściwości liczb, takie jak parzystość, są również rozszerzane w nietrywialny sposób.

Poznanie numeryczne

Numbers 0–8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted line
Analiza statystyczna danych eksperymentalnych, pokazująca separację 0. W tej najmniejszej analizie przestrzennej sensowne jest tylko grupowanie danych; osie są dowolne.

Dorośli, którzy wierzą, że zero jest parzyste, mogą jednak nie być zaznajomieni z myśleniem o tym jako parzystym, na tyle, aby wymiernie spowolnić ich w eksperymencie czasu reakcji . Stanislas Dehaene , pionier w dziedzinie poznania numerycznego , przeprowadził serię takich eksperymentów na początku lat 90. Cyfra jest wyświetlana obiektowi na monitorze i komputerze rejestruje czas potrzebny badanemu na naciśnięcie jednego z dwóch przycisków w celu określenia liczby jako nieparzystej lub parzystej. Wyniki pokazały, że 0 było przetwarzane wolniej niż inne liczby parzyste. W niektórych odmianach eksperymentu opóźnienia sięgały nawet 60 milisekund lub około 10% średniego czasu reakcji — niewielka różnica, ale znacząca.

Eksperymenty Dehaene nie zostały zaprojektowane specjalnie do badania 0, ale do porównania konkurencyjnych modeli przetwarzania i wydobywania informacji o parzystości. Najbardziej konkretny model, hipoteza obliczeń umysłowych, sugeruje, że reakcje na 0 powinny być szybkie; 0 to mała liczba i łatwo ją obliczyć 0 × 2 = 0 . (Wiadomo, że badani obliczają i nazywają wynik mnożenia przez zero szybciej niż mnożenie liczb niezerowych, chociaż wolniej sprawdzają proponowane wyniki, takie jak 2 × 0 = 0 .) Wyniki eksperymentów sugerowały, że dzieje się coś zupełnie innego: informacje o parzystości najwyraźniej były przywoływane z pamięci wraz z klastrem powiązanych właściwości, takich jak liczba pierwsza lub potęga dwójki . Zarówno ciąg potęg dwójki, jak i ciąg dodatnich liczb parzystych 2, 4, 6, 8, ... są dobrze wyróżnionymi kategoriami mentalnymi, których elementy są prototypowo parzyste. Zero nie należy do żadnej z list, stąd wolniejsze odpowiedzi.

Wielokrotne eksperymenty wykazały zerowe opóźnienie w przypadku osób w różnym wieku, o różnym pochodzeniu narodowym i językowym, skonfrontowanych z nazwami liczb w formie liczbowej , przeliterowanymi i zapisanymi w lustrzanym odbiciu. Grupa Dehaene znalazła jeden czynnik różnicujący: wiedzę matematyczną. W jednym ze swoich eksperymentów studenci École Normale Supérieure zostali podzieleni na dwie grupy: literaturoznawcy oraz matematyczni, fizyczni lub biologiczni. Spowolnienie przy 0 było „zasadniczo stwierdzone w grupie [literackiej]” i faktycznie „przed eksperymentem niektórzy badani L nie byli pewni, czy 0 jest nieparzyste, czy parzyste i trzeba było przypomnieć im o matematycznej definicji”.

Ta silna zależność od znajomości ponownie podważa hipotezę kalkulacji umysłowej. Efekt sugeruje również, że niewłaściwe jest uwzględnianie zera w eksperymentach, w których liczby parzyste i nieparzyste są porównywane jako grupa. Jak ujęto w jednym z badań: „Większość badaczy wydaje się zgadzać, że zero nie jest typową liczbą parzystą i nie powinno być badane jako część mentalnej osi liczbowej”.

Konteksty dnia codziennego

Niektóre konteksty, w których pojawia się parytet zera, są czysto retoryczne. W numerze zamieszczono materiały na internetowe fora dyskusyjne i strony z pytaniami ekspertów. Lingwista Joseph Grimes zastanawia się, czy pytanie „Czy zero jest liczbą parzystą?” dla par małżeńskich to dobry sposób, aby skłonić ich do niezgody. Ludzie, którzy uważają, że zero nie jest ani parzyste, ani nieparzyste, mogą użyć parzystości zera jako dowodu, że każda reguła ma kontrprzykład , lub jako przykład podchwytliwego pytania .

Około roku 2000 media odnotowały parę niezwykłych kamieni milowych: „1999/11/19” była ostatnią datą kalendarzową składającą się ze wszystkich nieparzystych cyfr, które występowały przez bardzo długi czas, a „2000/02/02” był pierwsza całkowicie parzysta data od bardzo dawna. Ponieważ wyniki te wykorzystują 0 jako parzyste, niektórzy czytelnicy nie zgodzili się z tym pomysłem.

W standardowych testach , jeśli pytanie dotyczy zachowania liczb parzystych, może być konieczne zapamiętanie, że zero jest parzyste. Oficjalne publikacje dotyczące GMAT i GRE stwierdzają, że 0 jest parzyste.

Parytet zero odnosi się do nieparzystego i parzystego racjonowania , w którym samochody mogą jeździć lub kupować benzynę co drugi dzień, zgodnie z parzystością ostatniej cyfry na ich tablicach rejestracyjnych . Połowa liczb w danym zakresie kończy się na 0, 2, 4, 6, 8, a druga połowa na 1, 3, 5, 7, 9, więc warto dołączyć 0 do pozostałych liczb parzystych. Jednak w 1977 roku paryski system racjonowania doprowadził do zamieszania: w nieparzysty dzień policja unikała karania kierowców, których tablice rejestracyjne kończyły się na 0, ponieważ nie wiedzieli, czy 0 jest parzyste. Aby uniknąć takiego zamieszania, odpowiednie przepisy czasami stanowią, że zero jest parzyste; uchwalono takie ustawy Nowa Południowa Walia i Maryland .

Na statkach US Navy przedziały o numerach parzystych znajdują się na lewej burcie , ale zero jest zarezerwowane dla przedziałów przecinających linię środkową. Oznacza to, że numery to 6-4-2-0-1-3-5 od lewej do prawej burty.

W grze w ruletkę liczba 0 nie liczy się jako parzysta ani nieparzysta, co daje kasynu przewagę w takich zakładach. Podobnie parytet zera może wpływać na wypłaty w zakładach typu prop , gdy wynik zależy od tego, czy jakaś wylosowana liczba jest parzysta czy nieparzysta, i okazuje się, że wynosi ona zero.

grę „ nieparzyste i nieparzyste ”: jeśli obaj gracze rzucą zero palców, całkowita liczba palców wynosi zero, więc wygrywa gracz parzysty. Jeden podręcznik dla nauczycieli sugeruje grę w tę grę jako sposób na zapoznanie dzieci z koncepcją, że 0 jest podzielne przez 2.

Bibliografia

Dalsza lektura

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Parity_of_zero&oldid=1132064731 ”