Polhode
Szczegóły wirującego ciała mogą nakładać ograniczenia na ruch jego wektora prędkości kątowej ω . Krzywa utworzona przez wektor prędkości kątowej na elipsoidzie bezwładności , znana jest jako polhode , ukuta z greckiego oznaczającego „ścieżkę bieguna”. Powierzchnię utworzoną przez wektor prędkości kątowej nazywa się stożkiem ciała .
Historia
Koncepcja ruchu polhode sięga XVII wieku i stanowi wniosek 21 do Twierdzenia 66 w rozdziale 11, księdze 1, Principia Mathematica Izaaka Newtona . Później Leonhard Euler wyprowadził zestaw równań opisujących dynamikę ciał sztywnych w ruchu bez momentu obrotowego. W szczególności Euler i jemu współcześni Jean d'Alembert , Louis Lagrange i inni zauważyli niewielkie różnice w szerokości geograficznej spowodowane kołysaniem się Ziemi wokół jej bieguna . oś obrotu . Część tego wahania (nazwanego później ruchem polhody Ziemi) wynikała z naturalnego zachowania obracającej się Ziemi, pozbawionego momentu obrotowego . Zakładając, że Ziemia jest ciałem całkowicie sztywnym , obliczyli, że okres drgań polhody Ziemi wynosi około 9–10 miesięcy . [ potrzebne źródło ]
W połowie XIX wieku Louis Poinsot opracował geometryczną interpretację fizyki wirujących ciał, która zapewniła wizualny odpowiednik równań algebraicznych Eulera. Poinsot był rówieśnikiem Léona Foucaulta , który wynalazł żyroskop i którego eksperymenty z wahadłem dostarczyły niezaprzeczalnych dowodów na to, że Ziemia się obraca. Zgodnie z ówczesną modą Poinsot ukuł termin polhode i jego odpowiednik herpolhode , aby opisać to wahanie w ruchu wirujących ciał sztywnych. Poinsot zaczerpnął te terminy z starożytne greckie πόλος pólos (oś obrotu lub koniec osi) + ὁδός hodós (ścieżka lub droga) - zatem polhode jest ścieżką bieguna .
Geometryczna interpretacja ruchu polhody Ziemi dokonana przez Poinsota nadal opierała się na założeniu, że Ziemia jest całkowicie sztywnym, obracającym się ciałem. Dopiero w 1891 roku amerykański astronom Seth Carlo Chandler dokonał pomiarów wykazujących, że w wahaniach Ziemi występuje okresowy ruch trwający 14 miesięcy i zasugerował, że jest to ruch polhode. Początkowo pomiar Chandlera, obecnie określany jako „ wahanie Chandlera”. ”, został odrzucony, ponieważ był znacznie dłuższy niż od dawna akceptowany okres 9–10 miesięcy obliczony przez Eulera, Poinsota i in. oraz ponieważ Chandler nie był w stanie w przekonujący sposób wyjaśnić tej rozbieżności. Jednak w ciągu kilku miesięcy inny amerykański astronom, Simon Newcomb , zdał sobie sprawę, że Chandler miał rację i podał przekonujący powód pomiarów Chandlera. Newcomb zdał sobie sprawę, że masa Ziemi jest częściowo sztywna, a częściowo sprężysta i że składnik sprężysty nie ma wpływu na okres polhody Ziemi, ponieważ sprężysta część masy Ziemi rozciąga się w taki sposób, że zawsze symetryczny względem osi obrotu Ziemi. Sztywna część masy Ziemi nie jest rozłożona symetrycznie i to właśnie powoduje chybotanie Chandlera, a dokładniej ścieżkę polhody Ziemi.
Opis
Każde ciało stałe ma z natury trzy główne osie przechodzące przez środek masy , a każdej z tych osi odpowiada moment bezwładności . Moment bezwładności względem osi jest miarą trudności przyspieszenia ciała wokół tej osi. Im bliżej osi znajduje się skupienie masy, tym mniejszy jest moment obrotowy wymagany do wirowania wokół tej osi z tą samą prędkością .
Moment bezwładności ciała zależy od rozkładu masy ciała oraz od dowolnie wybranej osi, względem której zdefiniowany jest moment bezwładności. Momenty bezwładności względem dwóch głównych osi to maksymalne i minimalne momenty bezwładności ciała względem dowolnej osi. Trzeci jest prostopadły do pozostałych dwóch i ma moment bezwładności gdzieś pomiędzy maksimum i minimum.
Jeśli energia zostanie rozproszona, gdy obiekt się obraca, spowoduje to wytłumienie lub ustabilizowanie ruchu polhody wokół osi maksymalnej bezwładności (zwanej także główną osią główną ) , a ścieżka polhody stanie się coraz mniejszą elipsą lub kołem , zamykając się w osi.
Ciało nigdy nie jest stabilne , gdy wiruje wokół pośredniej osi głównej, a rozproszona energia spowoduje, że polhoda zacznie migrować do osi maksymalnej bezwładności obiektu . Punkt przejścia między dwiema stabilnymi osiami obrotu nazywany jest separatrixem, wzdłuż którego prędkość kątowa przechodzi przez oś pośredniej bezwładności.
Obrót wokół osi minimalnej bezwładności (zwanej także małą osią główną ) jest również stabilny, ale po odpowiednim czasie wszelkie zakłócenia spowodowane rozpraszaniem energii lub momentami obrotowymi spowodują rozszerzanie się ścieżki polhody, tworząc coraz większe elipsy lub okręgi, a ostatecznie migrują przez separatrix i jej oś pośredniej bezwładności do jej osi maksymalnej bezwładności.
Należy zauważyć, że te zmiany w orientacji ciała podczas wirowania mogą nie być spowodowane zewnętrznymi momentami obrotowymi, ale raczej wynikać z energii rozproszonej wewnętrznie podczas wirowania ciała. Nawet jeśli zachowany jest moment pędu (brak zewnętrznych momentów obrotowych), energia wewnętrzna może zostać rozproszona podczas obrotu, jeśli ciało nie jest idealnie sztywne, a każde obracające się ciało będzie nadal zmieniać swoją orientację, dopóki nie ustabilizuje się wokół własnej osi maksymalnej bezwładności, gdzie ilość energii odpowiadająca jego momentowi pędu jest najmniejsza.