Poszczególne wartości funkcji gamma

Funkcja gamma jest ważną funkcją specjalną w matematyce . Jego poszczególne wartości można wyrazić w postaci zamkniętej dla całkowitych i półcałkowitych , ale ogólnie nie są znane żadne proste wyrażenia dla wartości w punktach wymiernych . Inne argumenty ułamkowe można przybliżyć za pomocą wydajnych iloczynów nieskończonych, nieskończonych szeregów i relacji powtarzalności.

Liczby całkowite i pół-całkowite

Dla dodatnich argumentów całkowitych funkcja gamma pokrywa się z silnią . To jest,

${\ Displaystyle \ Gamma (n) = (n-1) !,}$

i stąd

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma (1) i = 1, \\\ Gamma (2) i = 1, \\\ Gamma (3) i = 2, \\\ Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{wyrównane}}}$

i tak dalej. Dla liczb całkowitych nie dodatnich funkcja gamma nie jest zdefiniowana.

W przypadku dodatnich pół-całkowitych wartości funkcji są podane dokładnie przez

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {n} {2}} \ prawej) = {\ sqrt {\ pi}} {\ Frac {(n-2) !!} {2 ^ {\ Frac {n-1} {2}}}} \,,}$

lub równoważnie, dla nieujemnych wartości całkowitych n :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} + n \ prawej) & = {\ Frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n} }}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi}}={\ frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi}}\end{wyrównane}}}$

gdzie n !! oznacza podwójną silnię . W szczególności,

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = {\ sqrt {\ pi}} \,}$	${\ Displaystyle \ około 1,772 \, 453 \, 850 \, 905 \, 516 \, 0273 \,,}$	OEIS : A002161
${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {3} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {\ pi}} \,}$	$\ Displaystyle \ około 0,886 \, 226 \, 925 \, 452 \, 758 \, 0137 \,,}$	OEIS : A019704
${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {5} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = {\ tfrac {3} {4}} {\ sqrt {\ pi}} \,}$	${\ Displaystyle \ około 1,329 \, 340 \, 388 \, 179 \, 137 \, 0205 \,,}$	OEIS : A245884
${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {7} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = {\ tfrac {15} {8}} {\ sqrt {\ pi}} \,}$	${\ Displaystyle \ około 3,323 \ 350 \, 970 \, 447 \, 842 \, 5512 \,,}$	OEIS : A245885

i za pomocą formuły refleksji ,

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo (- {\ tfrac {1} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = -2 {\ sqrt {\ pi}} \,}$	$\ Displaystyle \ około -3,544 \, 907 \, 701 \, 811 \, 032 \, 0546 \,,}$	OEIS : A019707
${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo (- {\ tfrac {3} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = {\ tfrac {4} {3}} {\ sqrt {\ pi}} \,}$	${\ Displaystyle \ około 2,363 \, 271 \, 801 \, 207 \, 354 \, 7031 \,,}$	OEIS : A245886
${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo (- {\ tfrac {5} {2}} \ prawo) \,}$	${\ Displaystyle = - {\ tfrac {8} {15}} {\ sqrt {\ pi}} \,}$	$\ Displaystyle \ około -0,945 \, 308 \, 720 \, 482 \, 941 \, 8812 \,,}$	OEIS : A245887

Ogólny racjonalny argument

Analogicznie do formuły pół-całkowitej,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma \ lewo (n + {\ tfrac {1} {3}} \ prawej) & = \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {3}} \ prawej) { \frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\ tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{q} }\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{q}}\right){\frac {{\big (}qn-(q-1){\big )}!^{(q )}}{q^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {p}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {p}{q}}\ dobrze){\frac {1}{q^{n}}}\prod _{k=1}^{n}(kq+pq)\end{wyrównane}}}$

gdzie n ! ^{( q )} oznacza q -tą wieloczynnikową z n . Liczebnie,

$\ 938 \ 534 \ 707 \ 747 \ 6337} OEIS: A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3,625 609 908 221 908 3119 {\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) \ około 3,625 \$ 609 \ ,

$}$ OEIS : A068466

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {5}} \ prawej) \ około 4,590 \ 843 \ 711 \ 998 \ 803 \ 0532} OEIS: A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5 0,566 316 001 780 235 2043 {\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {6}} \ prawej) \$ około 5,566 \

$}$ OEIS : A175379

$_$ _ _ _

${\ tfrac {1} {8}} \ prawej) \ około 7,533 \ 941 \ 598 \ 797 \ 611 \ 9047}$ OEIS : A203142 .

Ponieważ dąży do nieskończoności, ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {n}} \ prawej) \ sim n + \ gamma -1}$

gdzie jest $stałą$ – $asymptotyczną$ i oznacza równoważność .

Nie wiadomo, czy te stałe są Γ( 1/4 ogólnie transcendentalne ) , ale GV Chudnovsky 1/3 wykazał , że transcendentalne Γ( ) i są . Γ( 1 / 4 ) / ⁴ √ π również od dawna wiadomo, że jest transcendentalne, a Jurij Nesterenko udowodnił w 1996 r., że Γ ( 1 / 4 ) , π , i e ^π są algebraicznie niezależne .

Liczba Γ( 1 / 4 ) jest powiązana ze stałą lemniskatą ϖ przez

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) = {\ sqrt {2 \ varpi {\ sqrt {2 \ pi}}} },}$

i Gramain przypuszczał, że

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) = {\ sqrt [{4}] {4 \ pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta} +1}}}}$

gdzie δ jest stałą Massera-Gramaina OEIS : A086058 , chociaż praca numeryczna Melquionda i in. wskazuje, że to przypuszczenie jest fałszywe.

Borwein i Zucker odkryli, że Γ( n / 24 ) można wyrazić algebraicznie za pomocą π , K ( k (1)) , K ( k (2)) , K ( k (3)) i K ( k (6)) , gdzie K ( k ( N )) jest całkowitą całką eliptyczną pierwszego rodzaju . Pozwala to na efektywne przybliżenie funkcji gamma racjonalnych argumentów z dużą precyzją przy użyciu zbieżnych kwadratowo średnich arytmetyczno-geometrycznych iteracji. Na przykład:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {6}} \ prawej) & = {\ Frac {{\ sqrt {\ Frac {3} {\ pi}}} \ Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{4} }\right)&=2{\sqrt {K\left({\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1 }{3}}\right)&={\frac {2^{7/9}{\sqrt[{3}]{\pi K\left({\frac {1}{4}}\left(2 -{\sqrt {3}}\right)\right)}}}{\sqrt[{12}]{3}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right) \Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)&=8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\ right)\pi }}K\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)}{\ Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)}}&={\frac {2{\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)K\left({ \frac {1}{2}}\right)}}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\end{wyrównane}}}$

Żadne podobne relacje nie są znane dla Γ( 1 / 5 ) ani innych mianowników.

W szczególności, gdzie AGM() jest średnią arytmetyczno-geometryczną , mamy

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {3}} \ prawej) = {\frac {2^{\frac {7}{9}}\cdot \pi ^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname { AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}$

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) = {\ sqrt {\ Frac {(2 \ pi) ^ {\ Frac {3 }{2}}}{\operatorname {ZWZ} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1}{6}} \ prawej) = {\ Frac {2 ^ {\ Frac {14} {9}} \ cdot 3 ^ {\ Frac {1} {3}} \ cdot \ pi ^ {\ Frac {5} {6}}} {\ operatorname {AGM} \ lewo (1 + {\ sqrt {3}}, {\ sqrt {8}} \ right) ^ {\ fra c {2}{3}}}}.}$

Inne formuły obejmują produkty nieskończone

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) = (2 \ pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty}\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

I

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {4}} \ prawej) = A ^ {3} e ^ {- {\ Frac {G} {\ pi}}}} {\ sqrt {\ pi}} 2 ^ {\ frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty}\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}$

gdzie A to stała Glaishera-Kinkelina, a G to stała katalońska .

Następujące dwie reprezentacje dla Γ( 3 / 4 ) zostały podane przez I. Mező

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {\ pi {\ sqrt {e ^ {\ pi}}}} {2}}} {\ Frac {1} {\ Gamma ^ {2} \ lewo ({\ frac { 3}{4}}\right)}}=i\suma _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\theta _{1}\ lewo({\frac {i\pi}}(2k-1),e^{-\pi}\prawo),}$

I

${\ Displaystyle {\ sqrt {\ Frac {\ pi} {2}} }{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty}{\ frac {\theta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi})}{e^{2\pi k^{2}}}},}$

gdzie θ ₁ i θ ₄ to dwie z funkcji theta Jacobiego .

Produkty

Niektóre tożsamości produktów obejmują:

${\ Displaystyle \ prod _ {r = 1} ^ {2} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {r} {3} }\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\około 3,627\,598\,728\,468\,435\,7012}$ OEIS : A186706

${\ Displaystyle \ prod _ {r = 1} ^ {3} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {r} {4}} \ prawej) = {\ sqrt {2 \ pi ^ {3} }}\około 7,874\,804\,972\,861\,209\,8721}$ OEIS : A220610

${\ Displaystyle \ prod _ {r = 1} ^ {4} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {r} {5}} \ prawej) = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {\ sqrt { 5}}} \ około 17,655 \ 285 \ 081 \ 493 \ 524 \ 2483} γ$

$\ Displaystyle \ prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\ około 40,399\,319\,122\,003\,790\,0785}$

${\ Displaystyle \ prod _ {r = 1} ^ {6} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {r} {7}} \ prawej) = { \frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\około 93,754\,168\,203\,582\,503\,7970}$

${\ Displaystyle \ prod _ {r = 1} ^ {7} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {r} {8}} \ prawej) = 4 {\ sqrt {\ pi ^ {7}}} \ około 219,828 \,778\,016\,957\,263\,6207}$

Ogólnie:

${\ Displaystyle \ prod _ {r = 1} ^ {n} \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {r} {n + 1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi)^{n}}{n+1}}}}$

$} \ prawej$${$$\ lewo ($ , na przykład z poprzednich równań dla {2} {4} ,

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {3} {4}} \ prawej) = \ lewo ({\ tfrac { \pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1} {2}}}$

Inne relacje racjonalne obejmują

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {5}} \ prawej) \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {4} {15}} \ prawej)} {\ Gamma \ lewo ( {\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt [{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}} +{\sqrt {6- {\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ tfrac {1} {20}} \ prawej) \ Gamma \ lewo ({\ tfrac {9} {20}} \ prawej)} {\ Gamma \ lewo ( {\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}} \left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {1} {5}} \ prawej) ^ {2}} {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {1} {10}} \ prawej) \ Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10} }{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

i wiele innych relacji dla Γ( n / d ) , gdzie mianownik d dzieli 24 lub 60.

Ilorazy gamma z wartościami algebraicznymi muszą być „gotowe” w tym sensie, że suma argumentów jest taka sama (modulo 1) dla mianownika i licznika.

Bardziej wyrafinowany przykład:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {11} {42}} \ prawej) \ Gamma \ lewo ({\ Frac {2} {7}} \ prawej)}} \Gamma \left({\frac {1}{21}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {8\sin \left({ \frac {\pi }{7}}\right){\sqrt {\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {4\pi}} 21}}\right)\sin \left({\frac {5\pi }{21}}\right)}}}{2^{\frac {1}{42}}3^{\frac {9} {28}}7^{\frac {1}{3}}}}}$

Wyimaginowane i złożone argumenty

Funkcja gamma w jednostce urojonej i = √ −1 daje OEIS : A212877 , OEIS : A212878 :

${\ Displaystyle \ Gamma (i) = (-1 + i)! \ około -0,1549-0,4980i.}$

Można to również przedstawić w postaci funkcji G Barnesa :

${\ Displaystyle \ Gamma (i) = {\ Frac {G (1 + i)} {G (i)}} = e ^ {- \ log G (i) + \ log G (1 + i)}.}$

Co ciekawe, w poniższej ocenie całkowej pojawia się ${\ Displaystyle \ Gamma (i)}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ {\ łóżeczko (x) \} \, dx = 1- {\ Frac {\ pi} {2}} + {\ Frac {i} 2}}\log \left({\frac {\pi}}\sinh(\pi)\Gamma (i)^{2}}}\right).}$

Tutaj ${\ Displaystyle \ {\ cdot \}}$ oznacza część ułamkową .

Ze względu na $funkcji gamma$ odbicia Eulera i , że na osi

${\ Displaystyle \ lewo | \ Gamma (i \ kappa) \ prawo | ^ {2} = {\ Frac {\ pi} {\ kappa \ sinh (\ pi \ kappa)} }}$

Powyższa całka odnosi się zatem do fazy ${\ Displaystyle \ Gamma (i)}$ .

Funkcja gamma z innymi złożonymi argumentami zwraca wartość

${\ Displaystyle \ Gamma (1 + i) = i \ Gamma (i) \ około 0,498-0,155i}$

${\ Displaystyle \ Gamma (1-i) = -i \ Gamma (-i) \ około 0,498 + 0,155i}$

${\ Displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} i) \ około 0,818 \, 163 \, 9995-0,763 \ 313 \, 8287 \, i}$

${\ Displaystyle \ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1}{2}}i)\około 0,818\,163\,9995+0,763\,313\,8287\,i}$

${\ Displaystyle \ Gamma (5 + 3i) \ około 0,016 \ 041 \ 8827-9,433 \ 293 \, 2898 \, i}$

${\ Displaystyle \ Gamma (5-3i) \ około 0,016 \ 041 \, 8827 + 9,433 \, 293 \, 2898 \, i.}$

Inne stałe

Funkcja gamma ma lokalne minimum na dodatniej osi rzeczywistej

${\ Displaystyle x _ {\ min} = 1,461 \ 632 \ 144 \ 968 \ 362 \ 341 \ 262 \ ldots \,}$ OEIS : A030169

z wartością

${\ Displaystyle \ Gamma \ lewo (x _ {\ min} \ prawej) = 0,885 \, 603 \, 194 \, 410 \, 888 \ ldots \,}$ OEIS : A030171 .

Całkowanie odwrotnej funkcji gamma wzdłuż dodatniej osi rzeczywistej również daje stałą Franséna – Robinsona .

Na ujemnej osi rzeczywistej pierwsze lokalne maksima i minima (zera funkcji digamma ) to:

Przybliżone ekstrema lokalne Γ( x )

X	Γ( x )	OEIS
−0,504 083 008 264 455 409 258 269 3045	−3,544 643 611 155 005 089 121 963 9933	OEIS : A175472
−1,573 498 473 162 390 458 778 286 0437	− 2.302 407 258 339 680 135 823 582 0396	OEIS : A175473
−2.610 720 868 444 144 650 001 537 7157	−0,888 136 358 401 241 920 095 528 0294	OEIS : A175474
−3,635 293 366 436 901 097 839 181 5669	− 0,245 127 539 834 366 250 438 230 0889	OEIS : A256681
−4,653 237 761 743 142 441 714 598 1511	−0,052 779 639 587 319 400 760 483 5708	OEIS : A256682
−5,667 162 441 556 885 535 849 474 1745	− 0,009 324 594 482 614 850 521 711 9238	OEIS : A256683
−6,678 418 213 073 426 742 829 855 8886	−0,001 397 396 608 949 767 301 307 4887	OEIS : A256684
−7,687 788 325 031 626 037 440 098 8918	− 0,000 181 878 444 909 404 188 101 4174	OEIS : A256685
−8,695 764 163 816 401 266 488 776 1608	−0,000 020 925 290 446 526 668 753 6973	OEIS : A256686
−9,702 672 540 001 863 736 084 426 7649	− 0,000 002 157 416 104 522 850 540 5031	OEIS : A256687

Zobacz też

• Formuła Chowli-Selberga

•   Gramain, F. (1981). „Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond” . Wynaleźć. matematyka _ 63 (3): 495–506. Bibcode : 1981InMat..63..495G . doi : 10.1007/BF01389066 . S2CID 123079859 .
•   Borwein, JM; Zucker, IJ (1992). „Szybka ocena funkcji gamma dla małych ułamków wymiernych przy użyciu kompletnych całek eliptycznych pierwszego rodzaju”. IMA Journal analizy numerycznej . 12 (4): 519–526. doi : 10.1093/imanum/12.4.519 . MR 1186733 .
• X. Gourdon i P. Sebah. Wprowadzenie do funkcji gamma
• S. Finch. Stałe funkcji Eulera Gamma
• Weisstein, Eric W. „Funkcja gamma” . MathWorld .
•   Vidunas, Raimundas (2005). „Wyrażenia dla wartości funkcji gamma”. Kyushu Journal of Mathematics . 59 (2): 267–283. arXiv : math.CA/0403510 . doi : 10.2206/kyushujm.59.267 . S2CID 119623635 .
•    Vidunas, Raimundas (2005). „Wyrażenia dla wartości funkcji gamma”. Kyushu J. Matematyka . 59 (2): 267–283. arXiv : matematyka/0403510 . doi : 10.2206/kyushujm.59.267 . MR 2188592 . S2CID 119623635 .
•    Adamczik, VS (2005). „Wielokrotna funkcja gamma i jej zastosowanie do obliczania serii” (PDF) . Dziennik Ramanujana . 9 (3): 271–288. arXiv : matematyka/0308074 . doi : 10.1007/s11139-005-1868-3 . MR 2173489 . S2CID 15670340 .
•   Duke, W.; Imamoglu, O. (2006). „Specjalne wartości wielu funkcji gamma” (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 18 (1): 113–123. doi : 10.5802/jtnb.536 . MR 2245878 .