Prawdopodobieństwo pokera

W pokerze prawdopodobieństwo każdego typu układu 5-kartowego można obliczyć, obliczając odsetek układów tego typu wśród wszystkich możliwych układów .

Historia

Prawdopodobieństwo i hazard były ideami na długo przed wynalezieniem pokera. Rozwój teorii prawdopodobieństwa pod koniec XV wieku przypisywano hazardowi ; grając w grę o wysokie stawki, gracze chcieli wiedzieć, jaka jest szansa na wygraną. W 1494 roku Fra Luca Paccioli wydał swoje dzieło Summa de arithmetica, geometria, proporcjonalna e proporcjonalna, które było pierwszym pisanym tekstem o prawdopodobieństwie. Zmotywowany pracami Paccioli, Girolamo Cardano (1501-1576) dokonał dalszego rozwoju teorii prawdopodobieństwa. Jego dzieło z 1550 roku zatytułowane Liber de Ludo Aleae omówili pojęcia prawdopodobieństwa i ich bezpośredni związek z hazardem. Jednak jego praca nie zyskała natychmiastowego uznania, ponieważ została opublikowana dopiero po jego śmierci. Blaise Pascal (1623-1662) również przyczynił się do powstania teorii prawdopodobieństwa. Jego przyjaciel, Chevalier de Méré, był zapalonym hazardzistą, którego celem było wzbogacenie się dzięki temu. De Méré wypróbował nowe matematyczne podejście do gry hazardowej, ale nie osiągnął pożądanych rezultatów. Zdeterminowany, aby dowiedzieć się, dlaczego jego strategia się nie powiodła, skonsultował się z Pascalem. Praca Pascala nad tym problemem zapoczątkowała ważną korespondencję między nim a innym matematykiem Pierre'a de Fermata (1601-1665). Komunikując się za pomocą listów, obaj nadal wymieniali się pomysłami i przemyśleniami. Te interakcje doprowadziły do powstania koncepcji podstawowej teorii prawdopodobieństwa. Do dziś wielu graczy nadal opiera się na podstawowych koncepcjach teorii prawdopodobieństwa, aby podejmować świadome decyzje podczas gry.

Częstotliwości

5-kartowe ręce pokerowe

Diagram Eulera przedstawiający ręce pokerowe i ich szanse z typowej amerykańskiej maszyny 9/6 Jacks or Better

W pokerze prostym i dobieraniu pięciu kart , gdzie nie ma kart własnych , gracze otrzymują po prostu pięć kart z talii 52.

Poniższy wykres wylicza (bezwzględną) częstotliwość każdego rozdania, biorąc pod uwagę wszystkie kombinacje pięciu kart losowo wylosowanych z pełnej talii 52 kart bez zwracania. Dzikie karty nie są brane pod uwagę. Na tym wykresie:

Wyraźne ręce to liczba różnych sposobów wyciągnięcia ręki, nie licząc różnych kolorów.
Częstotliwość to liczba sposobów dobierania ręki, w tym te same wartości kart w różnych kolorach.
Prawdopodobieństwo wyciągnięcia danej ręki oblicza się, dzieląc liczbę sposobów wyciągnięcia ręki ( Częstotliwość ) przez całkowitą liczbę 5-kartowych rąk ( przestrzeń próbki ; ${\ textstyle { 52 \wybierz 5}=2 598 960}$ ). Na przykład, istnieją 4 różne sposoby wylosowania pokera królewskiego (po jednym dla każdego koloru), więc prawdopodobieństwo wynosi 4 / 2 598 960 lub jeden na 649 740. Można by się więc spodziewać, że dobierze to rozdanie mniej więcej raz na 649 740 losowań, czyli prawie 0,00000154% czasu.
Prawdopodobieństwo skumulowane odnosi się do prawdopodobieństwa wylosowania układu równie dobrego lub lepszego od podanego. Na przykład prawdopodobieństwo wylosowania trójki wynosi około 2,11%, podczas gdy prawdopodobieństwo wylosowania układu co najmniej tak dobrego jak trójka wynosi około 2,87%. Skumulowane prawdopodobieństwo jest określane przez dodanie prawdopodobieństwa jednej ręki do prawdopodobieństw wszystkich rąk powyżej tego prawdopodobieństwa.
Szanse definiuje się jako stosunek liczby sposobów na niewyciągnięcie ręki do liczby sposobów na jej wyciągnięcie. W statystyce nazywa się to kursem przeciwko . Na przykład w przypadku pokera królewskiego są 4 sposoby na wylosowanie jednego i 2 598 956 sposobów na wylosowanie innego, więc szanse na wylosowanie pokera królewskiego wynoszą 2 598 956 : 4 lub 649 739 : 1. Wzór na ustalenie prawdopodobieństwa może również zapisać jako (1/p) - 1 : 1 , gdzie p jest wspomnianym prawdopodobieństwem.
Wartości podane dla Prawdopodobieństwa , Prawdopodobieństwa skumulowanego i Szans są dla uproszczenia zaokrąglone; wartości Wyraźne ręce i Częstotliwość są dokładne.

Funkcja nCr w większości kalkulatorów naukowych może być używana do obliczania częstotliwości rąk; wprowadzenie nCr z 52 i 5 daje na przykład ${\textstyle {52 \choose 5}=2 598 960}$ jak wyżej.

Ręka	Wyraźne ręce	Częstotliwość	Prawdopodobieństwo	Skumulowane prawdopodobieństwo	Szanse przeciw	Matematyczne wyrażenie częstotliwości bezwzględnej
Poker królewski	1	4	0,000154%	0,000154%	649 739: 1	${\ Displaystyle {4 \ wybierz 1}}$
Poker prosty (z wyłączeniem pokera królewskiego)	9	36	0,00139%	0,0015%	72192,33 : 1	${\ Displaystyle {10 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1} - {4 \ wybierz 1}}$
Czterech z gatunku	156	624	0,02401%	0,0256%	4165: 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 4} {12 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1}}$
Pełen dom	156	3744	0,1441%	0,17%	693.1667 : 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 3} {12 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 2}}$
Flush (z wyłączeniem pokera królewskiego i pokera prostego)	1277	5108	0,1965%	0,367%	508.8019 : 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 5} {4 \ wybierz 1} - {10 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1}}$
Strit (z wyłączeniem pokera królewskiego i pokera prostego)	10	10200	0,3925%	0,76%	253,8 : 1	${\ Displaystyle {10 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1} ^ {5} - {10 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1} }$
Trzy z rodzaju	858	54 912	2,1128%	2,87%	46,32955 : 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 3} {12 \ wybierz 2} {4 \ wybierz 1} ^ {2}}$
Dwie pary	858	123552	4,7539%	7,62%	20.03535 : 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 2} {4 \ wybierz 2} ^ {2} {11 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1}}$
Jedna para	2860	1 098 240	42,2569%	49,9%	1.366477 : 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 2} {12 \ wybierz 3} {4 \ wybierz 1} ^ {3}}$
Brak pary / Wysoka karta	1277	1302540	50,1177%	100%	0,9953015 : 1	${\ Displaystyle \ lewo [{13 \ wybierz 5} - {10 \ wybierz 1} \ prawo] \ lewo [{4 \wybierz 1}^{5}-{4 \wybierz 1}\prawo]}$
Całkowity	7462	2 598 960	100%	---	0 : 1	${\ Displaystyle {52 \ wybierz 5}}$

Poker królewski jest przypadkiem pokera prostego. Można go utworzyć na 4 sposoby (po jednym dla każdego koloru), co daje prawdopodobieństwo 0,000154% i kurs 649 739 : 1.

Kiedy strity od asa i strity od asa nie są liczone, prawdopodobieństwo każdego z nich jest zmniejszone: strity i kolory do stritów stają się 9/10 tak powszechne, jak byłyby w innym przypadku. 4 nietrafione kolory stają się kolorami, a 1020 nietrafionych stritów nie jest parą.

Zauważ, że ponieważ kolory nie mają względnej wartości w pokerze, dwie ręce można uznać za identyczne, jeśli jedną rękę można przekształcić w drugą przez zamianę kolorów. Na przykład układ 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ jest identyczny z układem 3♦ 7♦ 8♦ Q♥ A♥, ponieważ zastąpienie wszystkich trefl w pierwszym rozdaniu karo i wszystkich pik kierami daje drugie ręka. Eliminując więc identyczne ręce, które ignorują względne wartości kolorów, jest tylko 134 459 różnych rąk.

Liczba odrębnych rąk pokerowych jest jeszcze mniejsza. Na przykład 3♣ 7♣ 8♣ Q♠ A♠ i 3♦ 7♣ 8♦ Q♥ A♥ nie są identycznymi rękami, jeśli po prostu zignoruje się przydział kolorów, ponieważ jedna ręka ma trzy kolory, a druga tylko dwa — ta różnica może wpłynąć na względną wartość każdej ręki, gdy pojawi się więcej kart. Jednak nawet jeśli z tej perspektywy ręce nie są identyczne, nadal tworzą równoważne układy pokerowe, ponieważ każdy układ to AQ-8-7-3 układ z wysokimi kartami. Istnieje 7462 różnych układów pokerowych.

7-kartowe ręce pokera

W niektórych popularnych odmianach pokera, takich jak Texas Hold'em , najbardziej rozpowszechniona odmiana pokera, gracz używa najlepszego pięciokartowego układu pokerowego z siedmiu kart.

Częstotliwości są obliczane w sposób podobny do pokazanego dla układów 5-kartowych, z wyjątkiem dodatkowych komplikacji wynikających z dodatkowych dwóch kart w układzie 7-kartowym. Całkowita liczba różnych 7-kartowych rąk wynosi ${\ textstyle {52 \ wybierz 7} = 133 784 560}$ . Należy zauważyć, że prawdopodobieństwo układu bez pary jest niższe niż prawdopodobieństwo układu z jedną parą lub dwiema parami.

Poker z wysokim asem lub poker królewski występuje nieco częściej (4324) niż niższe kolory (po 4140), ponieważ pozostałe dwie karty mogą mieć dowolną wartość; Na przykład poker o wysokości króla nie może mieć w ręce asa w swoim kolorze (ponieważ zamiast tego byłby to as).

Ręka	Częstotliwość	Prawdopodobieństwo	Łączny	Szanse przeciw	Matematyczne wyrażenie częstotliwości bezwzględnej
Poker królewski	4324	0,0032%	0,0032%	30 940 : 1	${\ Displaystyle {4 \ wybierz 1} {47 \ wybierz 2}}$
Poker prosty (z wyłączeniem pokera królewskiego)	37260	0,0279%	0,0311%	3589,6 : 1	${\ Displaystyle {9 \ wybierz 1} {4 \ wybierz 1} {46 \ wybierz 2}}$
Czterech z gatunku	224 848	0,168%	0,199%	594 : 1	${\ Displaystyle {13 \ wybierz 1} {48 \ wybierz 3}}$
Pełen dom	3 473 184	2,60%	2,80%	37,5 : 1	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo [{13 \ wybrać 2} {4 \ wybrać 3} ^ {2} {44 \ wybrać 1} \ prawej] \\ +&\left[{13 \choose 1}{12 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}^{2}\right]\\+&\left[{13 \choose 1}{ 12 \choose 1}{11 \choose 2}{4 \choose 3}{4 \choose 2}{4 \choose 1}^{2}\right]\end{aligned}}}$
Flush (z wyłączeniem pokera królewskiego i pokera prostego)	4 047 644	3,03%	5,82%	32,1 : 1	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo [{4 \ wybierz 1} \ razy \ lewo [{13 \ wybierz 7} -217 \ prawo] \ prawo] \\ + & \ lewo [{4 \ wybierz 1}\times \left[{13 \choose 6}-71\right]\times 39\right]\\+&\left[{4 \choose 1}\times \left[{13 \choose 5}-10 \right]\times {39 \choose 2}\right]\end{aligned}}}$
Strit (z wyłączeniem pokera królewskiego i pokera prostego)	6180020	4,62%	10,4%	20,6 : 1	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo [217 \ razy \ lewo [4 ^ {7} -756-4-84 \ prawo] \ prawo] \\ + & {} \ lewo [71 \ razy 36 \ razy 990\right]\\+&\left[10\times 5\times 4\times \left[256-3\right]+10\times {5 \choose 2}\times 2268\right]\end{wyrównane }}}$
Trzy z rodzaju	6461620	4,83%	15,3%	19,7 : 1	${\ Displaystyle \ lewo [{13 \ wybierz 5} -10 \ prawej] {5 \ wybierz 1} {4 \choose 1}\left[{4 \choose 1}^{4}-3\right]}$
Dwie pary	31 433 400	23,5%	38,8%	3,26 : 1	${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i \ lewo [1277 \ razy 10\times \left[6\times 62+24\times 63+6\times 64\right]\right]\\+&\left[{13 \choose 3}{4 \choose 2}^{3} {40 \choose 1}\right]\end{wyrównane}}}$
Jedna para	58 627 800	43,8%	82,6%	1,28 : 1	${\ Displaystyle \ lewo [{13 \ wybierz 6} -71 \ prawo] \ razy 6 \ razy 6 \ razy 990}$
Brak pary / Wysoka karta	23 294 460	17,4%	100%	4,74 : 1	${\ Displaystyle 1499 \ razy \ lewo [4 ^ {7} -756-4-84 \ prawej]}$
Całkowity	133 784 560	100%	---	0 : 1	${\ Displaystyle {52 \ wybierz 7}}$

(Podane częstotliwości są dokładne; prawdopodobieństwa i szanse są przybliżone.)

Ponieważ kolory nie mają względnej wartości w pokerze, dwie ręce można uznać za identyczne, jeśli jedną rękę można przekształcić w drugą poprzez zamianę kolorów. Wyeliminowanie identycznych rąk, które ignorują względne wartości kolorów, pozostawia 6 009 159 odrębnych rąk 7-kartowych.

Liczba różnych 5-kartowych układów pokerowych, które są możliwe z 7 kart, wynosi 4824. Być może zaskakujące jest to, że jest to mniej niż liczba 5-kartowych układów pokerowych z 5 kart, ponieważ niektóre układy 5-kartowe są niemożliwe przy 7 kartach (np. 7-high i 8-high).

5-kartowe układy pokerowe typu lowball

Niektóre warianty pokera, zwane lowball , wykorzystują niski układ do określenia zwycięskiej ręki. W większości wariantów lowball as jest liczony jako najniższa karta, a strity i kolory nie liczą się przeciwko niskim układom, więc najniższą ręką jest układ z pięcioma wysokimi kartami A-2-3-4-5 , zwany także koło . Prawdopodobieństwo jest obliczane na podstawie ${\ textstyle {52 \ wybierz 5} = 2 598 960}$ , łączna liczba kombinacji 5-kartowych. (Podane częstotliwości są dokładne; prawdopodobieństwa i szanse są przybliżone.)

Ręka	Wyraźne ręce	Częstotliwość	Prawdopodobieństwo	Łączny	Szanse przeciw
5-wysoki	1	1024	0,0394%	0,0394%	2537,05 : 1
6-wysoki	5	5120	0,197%	0,236%	506,61 : 1
7-wysoki	15	15360	0,591%	0,827%	168,20 : 1
8-wysoki	35	35840	1,38%	2,21%	71,52 : 1
9-wysoki	70	71680	2,76%	4,96%	35,26 : 1
10-wysoki	126	129024	4,96%	9,93%	19.14 : 1
Jack-high	210	215040	8,27%	18,2%	11.09 : 1
Wysoka królowa	330	337 920	13,0%	31,2%	6,69 : 1
Król-wysoki	495	506 880	19,5%	50,7%	4,13 : 1
Całkowity	1287	1 317 888	50,7%	50,7%	0,97 : 1

Jak widać z tabeli, w nieco ponad połowie przypadków gracz otrzymuje rękę, która nie ma par, trójek lub czwórek tego samego rodzaju. (50,7%)

Jeśli asy nie są niskie, po prostu obróć opisy układów tak, aby 6-high zastępuje 5-high dla najlepszego układu, a as-high zastępuje króla-high jako najgorszą rękę.

Niektórzy gracze nie ignorują stritów i kolorów podczas obliczania niskiego układu w lowball. W tym przypadku najniższą ręką jest A-2-3-4-6 z co najmniej dwoma kolorami. Prawdopodobieństwa są dostosowywane w powyższej tabeli w taki sposób, że „5-high” nie jest wymienione, „6-high” ma jedną odrębną rękę, a „Król-wysoka” ma odpowiednio 330 różnych rąk. Linia sumy również wymaga dostosowania.

7-kartowe układy pokerowe typu lowball

W niektórych odmianach pokera gracz używa najlepszej pięciokartowej niskiej ręki wybranej z siedmiu kart. W większości wariantów lowball as jest liczony jako najniższa karta, a strity i kolory nie liczą się przeciwko niskim układom, więc najniższą ręką jest układ z pięcioma wysokimi kartami A-2-3-4-5 , zwany także koło . Prawdopodobieństwo jest obliczane na podstawie ${\textstyle {52 \choose 7}=133784560}$ , całkowitej liczby kombinacji 7-kartowych.

Stół nie obejmuje układów pięciokartowych z co najmniej jedną parą. Jego „Suma” reprezentuje 95,4% przypadków, w których gracz może wybrać 5-kartowy niski układ bez żadnej pary.

Ręka	Częstotliwość	Prawdopodobieństwo	Łączny	Szanse przeciw
5-wysoki	781 824	0,584%	0,584%	170,12 : 1
6-wysoki	3151360	2,36%	2,94%	41,45 : 1
7-wysoki	7 426 560	5,55%	8,49%	17.01 : 1
8-wysoki	13 171 200	9,85%	18,3%	9.16 : 1
9-wysoki	19 174 400	14,3%	32,7%	5,98 : 1
10-wysoki	23 675 904	17,7%	50,4%	4,65 : 1
Jack-high	24.837.120	18,6%	68,9%	4,39 : 1
Wysoka królowa	21 457 920	16,0%	85,0%	5,23 : 1
Król-wysoki	13 939 200	10,4%	95,4%	8,60 : 1
Całkowity	127 615 488	95,4%	95,4%	0,05 : 1

(Podane częstotliwości są dokładne; prawdopodobieństwa i szanse są przybliżone.)

Jeśli asy nie są niskie, po prostu obróć opisy układów tak, aby 6-high zastępuje 5-high dla najlepszej ręki, a as-high zastępuje króla-high jako najgorszą rękę.

Niektórzy gracze nie ignorują stritów i kolorów podczas obliczania niskiego układu w lowball. W tym przypadku najniższą ręką jest A-2-3-4-6 z co najmniej dwoma kolorami. Prawdopodobieństwa są dostosowane w powyższej tabeli w taki sposób, że „5-high” nie jest wymienione, „6-high” ma odpowiednio 781 824 różne ręce, a „King-high” ma odpowiednio 21 457 920 różnych rąk. Linia Total również wymaga dostosowania.

Zobacz też

Linki zewnętrzne